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2014高考数学复习二次函数测试题(带答案)


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高考数学复习二次函数测试题
1. (人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法 若 f ? x ? ? x ? bx ? c ,且 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 ,求 f ? ?1? 的值


2

变式 1:若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? ,与 y 轴的交点坐标为
2

(0,11),则 A. a ? 1, b ? ?4, c ? ?11 C. a ? 3, b ? ?6, c ? 11
2

B. a ? 3, b ? 12, c ? 11 D. a ? 3, b ? ?12, c ? 11

变式 2:若 f ? x ? ? ?x ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b, c] 的图像 x=1 对称,则 c=_______. 变 式 3: 若二次函数 f ? x? ? ax ? bx? c 的图像与 x 轴有 两个不同 的交点 A ? x1 ,0? 、
2

B ? x2 ,0? ,且 x12 ? x2 2 ?
单位得到?

26 2 ,试问该二次函数的图像由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移几个 9

2. (北师大版第 52 页例 2)图像特征 将函数 f ? x ? ? ?3x ? 6x ?1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值
2

或最小值,并画出它的图像. 变 式 1 : 已 知 二次 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c , 如 果 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ( 其 中 x1 ? x2 ) , 则
2

?x ?x ? f ? 1 2 ?? ? 2 ?
b A. ? 2a b B. ? a
2

C.

c

4ac ? b 2 D. 4a

变式 2: 函数 f ? x ? ? x ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? , 那么 f ? 0 ? 、f ? ?1? 、

f ?1? 的大小关系是
A. f ?1? ? f ? ?1? ? f ? 0? C. f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?1?
2

y B. f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? D. f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1?

变式 3:已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_________. 3. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性 O x

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已知函数 f ? x ? ? x ? 2x , g ? x ? ? x ? 2x ? x ?[2,4]? .
2 2

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 4ax ? 2 在区间 ? ??,6? 内单调递减,则 a 的取值范围是
2

A. a ? 3

B. a ? 3
2

C. a ? ?3

D. a ? ?3

变式 2:已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 5 在区间( 是_________.

1 ,1)上为增函数,那么 f ? 2 ? 的取值范围 2

变式 3:已知函数 f ? x ? ? ?x ? kx 在 [2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.
2

4. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值 已知函数 f ? x ? ? x ? 2x , g ? x ? ? x ? 2x ? x ?[2,4]? .
2 2

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 3 在区间[0, m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围
2

是 A. 1, ?? ?

?

B. 0, 2

?

?

C. 1, 2

? ?

D. ? ??,2?

变式 2:若函数 y ? 3 ? x2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________. 变式 3:已知函数 f ? x ? ? 4x ? 4ax ? a ? 2a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值.
2 2

5. (人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? .画出函数 f ? x ? 的 图像,并求出函数的解析式.
2 2 变式 1:若函数 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? m ? 1 x ? 1 是偶函数,则在区间 ? ??,0 上 f ? x ? 是

?

?

?

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A.增函数

B.减函数
2

C.常数

D.可能是增函数,也可能是常数

变式 2:若函数 f ? x? ? ax ? bx?3 a? b a是偶函数,则点 ? a, b ? 的坐标是 ? a?1 ? x?2 ? ________. 变式 3:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R . (I)讨论 f ( x) 的奇偶性;(II)求 f ( x) 的最小值.

6. (北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换

? x 2 ? 4 x ? 3, ?3 ? x ? 0 ? 已知 f ( x) ? ??3 x ? 3, 0 ? x ? 1. ? 2 ?? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6
(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值. 变式 1:指出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的单调区间.
2

变式 2:已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给下列命题:① f ( x) 必是偶函数; ② 当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对称; ③ 若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;
2

④ f ( x) 有最大值 | a ? b | .
2

其中正确的序号是________.③ 变式 3:设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c, 给出下列 4 个命题:

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①当 c=0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ( x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为 7. (北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域 求二次函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 6 x 在下列定义域上的值域: (1)定义域为 x ? Z 0 ? x ? 3 ;(2) 定义域为 ?2,1 . 变式 1:函数 f ( x) ? ?2x ? 6x ? ?2 ? x ? 2? 的值域是
2



?

?

?

?

A. ? ?20,

? ?

3 2? ? 2 ?

B. ? ?20, 4?

C. ? ?20,

? ?

9? ? 2?

D. ? ?20,

? ?

9? ? 2?

变式 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0) ,满足条件 f (1 + x) = f (1 -x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m, n] 和 [3m,3n],如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.

8. (北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 当 a, b, c 具有什么关系时,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于零?
2

变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

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变式 2:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? ?2,2 时,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取 值范围.

?

?

变式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? )≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值.

9. (北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系

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右图是二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像,它与 x 轴交于点 ? x1 ,0? 和 ? x2 ,0? ,试确定
2

a, b, c 以及 x1 x2 , x1 ? x2 的符号.

y

变式 1:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b(a ? b) 在同一个直角坐标系的图像为

1

x
x1
O
1

x2

y

y
O

y x
O

y x

O A.

x

O B.

x
C. D.

变式 2:直线 y ? m x ? 3 与抛物线 C1 : y ? x 2 ? 5mx ? 4m, C2 : y ? x 2 ? (2m ? 1) x ?m2 ? 3,

C3 : y ? x2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ? R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如果 函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1 、x2 . (I)若 x1 < 1 < x2 ,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > (II)若 | x1 | < 2 且 | x1 -x2 | = 2,求 b 的取值范围. 1 ; 2

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10. (北师大版第 52 页例 3)应用 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进货量当月销 售完的前提下,请你给该商店设计一个方安:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可 获得最大的利润? 变式 1:在抛物线 f ? x ? ? ?x ? ax 与 x 轴所围成图形的内接
2

y

矩形(一边在 x 轴上)中(如图), 求周长最长的内接矩形两边之比, 其 中 a 是正实数.

A

D

x
O B C

变式 2:某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B 产品的利润与投资的算术 平方根成正比, 其关系如图二 (注: 利润和投资单位: 万元) (1) 分别将 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关 系式;

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(2) 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A ,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少元 (精确到 1 万元)?

变式 3:设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) . 1 (Ⅰ)求 g(a); (Ⅱ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. a

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二次函数答案
1. (人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法

? b ? ? 2a ? 2 ?a ? 3 ? ? ? 4ac ? b 2 变式 1: 解:由题意可知 ? ? ?1 ,解得 ?b ? ?12 ,故选 D. ? c ? 11 ? 4a ? ?c ? 11 ? ?
变式 2: 解:由题意可知

b?2 0?c ? 1 ,解得 b=0,∴ ? 1 ,解得 c=2. 2 2
2

变式 3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? ? k , 展开得 f ? x ? ? ?3x ? 6x ? 3 ? k ,
2

∴ x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?
2 2

3? k , 3
2

∴ x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ?

2 ? 3 ? k ? 26 26 4 ? ,即 4 ? ,解得 k ? . 9 3 3 9
2

所以,该二次函数的图像是由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移 式是 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? ?
2

4 单位得到的,它的解析 3

4 5 2 ,即 f ? x ? ? ?3 x ? 6 x ? . 3 3
2 x1 ? x2 b ? x ? x2 ? 4ac ? b ?? ,∴ f ? 1 ,故选 D. ? ? 2 2a 4a ? 2 ?

2. (北师大版第 52 页例 2)图像特征 变式 1: 解:根据题意可知

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