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2014高考数学复习二次函数测试题(带答案)


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高考数学复习二次函数测试题
1. (人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法 若 f ? x ? ? x ? bx ? c ,且 f ?1? ? 0 , f ? 3? ? 0 ,求 f ? ?1? 的值


2

变式 1:若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? ,与 y 轴的交点坐标为
2

(0,11),则 A. a ? 1, b ? ?4, c ? ?11 C. a ? 3, b ? ?6, c ? 11
2

B. a ? 3, b ? 12, c ? 11 D. a ? 3, b ? ?12, c ? 11

变式 2:若 f ? x ? ? ?x ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b, c] 的图像 x=1 对称,则 c=_______. 变 式 3: 若二次函数 f ? x? ? ax ? bx? c 的图像与 x 轴有 两个不同 的交点 A ? x1 ,0? 、
2

B ? x2 ,0? ,且 x12 ? x2 2 ?
单位得到?

26 2 ,试问该二次函数的图像由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移几个 9

2. (北师大版第 52 页例 2)图像特征 将函数 f ? x ? ? ?3x ? 6x ?1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值
2

或最小值,并画出它的图像. 变 式 1 : 已 知 二次 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c , 如 果 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ( 其 中 x1 ? x2 ) , 则
2

?x ?x ? f ? 1 2 ?? ? 2 ?
b A. ? 2a b B. ? a
2

C.

c

4ac ? b 2 D. 4a

变式 2: 函数 f ? x ? ? x ? px ? q 对任意的 x 均有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? , 那么 f ? 0 ? 、f ? ?1? 、

f ?1? 的大小关系是
A. f ?1? ? f ? ?1? ? f ? 0? C. f ?1? ? f ? 0? ? f ? ?1?
2

y B. f ? 0? ? f ? ?1? ? f ?1? D. f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1?

变式 3:已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_________. 3. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性 O x

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已知函数 f ? x ? ? x ? 2x , g ? x ? ? x ? 2x ? x ?[2,4]? .
2 2

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 4ax ? 2 在区间 ? ??,6? 内单调递减,则 a 的取值范围是
2

A. a ? 3

B. a ? 3
2

C. a ? ?3

D. a ? ?3

变式 2:已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 5 在区间( 是_________.

1 ,1)上为增函数,那么 f ? 2 ? 的取值范围 2

变式 3:已知函数 f ? x ? ? ?x ? kx 在 [2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.
2

4. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值 已知函数 f ? x ? ? x ? 2x , g ? x ? ? x ? 2x ? x ?[2,4]? .
2 2

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 3 在区间[0, m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围
2

是 A. 1, ?? ?

?

B. 0, 2

?

?

C. 1, 2

? ?

D. ? ??,2?

变式 2:若函数 y ? 3 ? x2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于________. 变式 3:已知函数 f ? x ? ? 4x ? 4ax ? a ? 2a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值.
2 2

5. (人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? .画出函数 f ? x ? 的 图像,并求出函数的解析式.
2 2 变式 1:若函数 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? m ? 1 x ? 1 是偶函数,则在区间 ? ??,0 上 f ? x ? 是

?

?

?

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A.增函数

B.减函数
2

C.常数

D.可能是增函数,也可能是常数

变式 2:若函数 f ? x? ? ax ? bx?3 a? b a是偶函数,则点 ? a, b ? 的坐标是 ? a?1 ? x?2 ? ________. 变式 3:设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R . (I)讨论 f ( x) 的奇偶性;(II)求 f ( x) 的最小值.

6. (北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换

? x 2 ? 4 x ? 3, ?3 ? x ? 0 ? 已知 f ( x) ? ??3 x ? 3, 0 ? x ? 1. ? 2 ?? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6
(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值. 变式 1:指出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的单调区间.
2

变式 2:已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R) . 给下列命题:① f ( x) 必是偶函数; ② 当 f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x=1 对称; ③ 若 a ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数;
2

④ f ( x) 有最大值 | a ? b | .
2

其中正确的序号是________.③ 变式 3:设函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c, 给出下列 4 个命题:

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①当 c=0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ( x) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为 7. (北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域 求二次函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 6 x 在下列定义域上的值域: (1)定义域为 x ? Z 0 ? x ? 3 ;(2) 定义域为 ?2,1 . 变式 1:函数 f ( x) ? ?2x ? 6x ? ?2 ? x ? 2? 的值域是
2



?

?

?

?

A. ? ?20,

? ?

3 2? ? 2 ?

B. ? ?20, 4?

C. ? ?20,

? ?

9? ? 2?

D. ? ?20,

? ?

9? ? 2?

变式 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0) ,满足条件 f (1 + x) = f (1 -x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m, n] 和 [3m,3n],如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.

8. (北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 当 a, b, c 具有什么关系时,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于零?
2

变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围.

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变式 2:已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? ?2,2 时,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取 值范围.

?

?

变式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? )≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值.

9. (北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系

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右图是二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像,它与 x 轴交于点 ? x1 ,0? 和 ? x2 ,0? ,试确定
2

a, b, c 以及 x1 x2 , x1 ? x2 的符号.

y

变式 1:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b(a ? b) 在同一个直角坐标系的图像为

1

x
x1
O
1

x2

y

y
O

y x
O

y x

O A.

x

O B.

x
C. D.

变式 2:直线 y ? m x ? 3 与抛物线 C1 : y ? x 2 ? 5mx ? 4m, C2 : y ? x 2 ? (2m ? 1) x ?m2 ? 3,

C3 : y ? x2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ? R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如果 函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1 、x2 . (I)若 x1 < 1 < x2 ,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > (II)若 | x1 | < 2 且 | x1 -x2 | = 2,求 b 的取值范围. 1 ; 2

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10. (北师大版第 52 页例 3)应用 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进货量当月销 售完的前提下,请你给该商店设计一个方安:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可 获得最大的利润? 变式 1:在抛物线 f ? x ? ? ?x ? ax 与 x 轴所围成图形的内接
2

y

矩形(一边在 x 轴上)中(如图), 求周长最长的内接矩形两边之比, 其 中 a 是正实数.

A

D

x
O B C

变式 2:某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B 产品的利润与投资的算术 平方根成正比, 其关系如图二 (注: 利润和投资单位: 万元) (1) 分别将 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关 系式;

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(2) 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A ,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少元 (精确到 1 万元)?

变式 3:设 a 为实数,记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) . 1 (Ⅰ)求 g(a); (Ⅱ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a. a

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二次函数答案
1. (人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法

? b ? ? 2a ? 2 ?a ? 3 ? ? ? 4ac ? b 2 变式 1: 解:由题意可知 ? ? ?1 ,解得 ?b ? ?12 ,故选 D. ? c ? 11 ? 4a ? ?c ? 11 ? ?
变式 2: 解:由题意可知

b?2 0?c ? 1 ,解得 b=0,∴ ? 1 ,解得 c=2. 2 2
2

变式 3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? ? k , 展开得 f ? x ? ? ?3x ? 6x ? 3 ? k ,
2

∴ x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?
2 2

3? k , 3
2

∴ x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ?

2 ? 3 ? k ? 26 26 4 ? ,即 4 ? ,解得 k ? . 9 3 3 9
2

所以,该二次函数的图像是由 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? 的图像向上平移 式是 f ? x ? ? ?3 ? x ? 1? ?
2

4 单位得到的,它的解析 3

4 5 2 ,即 f ? x ? ? ?3 x ? 6 x ? . 3 3
2 x1 ? x2 b ? x ? x2 ? 4ac ? b ?? ,∴ f ? 1 ,故选 D. ? ? 2 2a 4a ? 2 ?

2. (北师大版第 52 页例 2)图像特征 变式 1: 解:根据题意可知

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变式 2: 解:∵ f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ,∴抛物线 f ? x ? ? x ? px ? q 的对称轴是 x ? 1 ,
2

∴ ?

p ? 1即 p ? ?2 , 2
2

∴ f ? x ? ? x ? 2x ? q ,∴ f ? 0? ? q 、 f ? ?1? ? 3 ? q 、 f ?1? ? ?1 ? q , 故有 f ? ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ,选 C. 变式 3: 解:观察函数图像可得: ① a>0(开口方向);② c=1(和 y 轴的交点); ③ 4a ? 2b ? 1 ? 0 (和 x 轴的交点);④ a ? b ? 1 ? 0 ( f ?1? ? 0 ); ⑤ b2 ? 4a ? 0 (判别式);⑥ 1 ? ? y

b ? 2 (对称轴). 2a
O x

3. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性 变式 1: 解:函数 f ? x ? ? x ? 4ax ? 2 图像是开口向上的抛物线,
2

其对称轴是 x ? ?2a , 由已知函数在区间 ? ??,6? 内单调递减可知区间 ? ??,6? 应在直线 x ? ?2a 的左侧, ∴ ?2a ? 6 ,解得 a ? ?3 ,故选 D. 1 2 变式 2:解:函数 f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 5 在区间( ,1)上为增函数,由于其图像(抛物线)开 2 口向上, 所以其对称轴 x ? 解得 a ? 2 , ∴

a ?1 1 1 a ?1 1 ? , 或与直线 x ? 重合或位于直线 x ? 的左侧, 即应有 2 2 2 2 2

f ? 2? ? 4 ? ? a ?1? ? 2 ? 5 ? 7 ,即 f ? 2? ? 7 .
2

变式 3:解:函数 f ? x ? ? ?x ? kx 的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是

x?

k , 2
∵ 已知函数在 [2, 4] 上是单调函数,∴ 区间 [2, 4] 应在直线 x ? 即有

k 的左侧或右侧, 2

k k ? 2 或 ? 4 ,解得 k ? 4 或 k ? 8 . 2 2
y
2

4. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值 变式 1: 解:作出函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 3 的图像,

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O

x

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开口向上,对称轴上 x=1,顶点是(1,2),和 y 轴的交点是(0,3), ∴m 的取值范围是 1 ? m ? 2 ,故选 C. 变式 2: 解:函数有意义,应有 ? x2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 2 , ∴

0 ? ? x 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? ? x2 ? 4 ? 2 ? 0 ? 3 ? x 2 ? 4 ? 6 ,

∴ M=6,m=0,故 M + m=6. 变式 3: 解:函数 f ? x ? 的表达式可化为 f ? x ? ? 4 ? x ? ① 当0?

? ?

a? ? ? ? 2 ? 2a ? . 2?

2

a ? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f ? x ? 有最小值 2 ? 2a ,依题意应有 2 ? 2a ? 3 ,解得 2

1 a ? ? ,这个值与 0 ? a ? 4 相矛盾. 2 a 2 2 ②当 ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? 0? ? a ? 2a ? 2 是最小值,依题意应有 a ? 2a ? 2 ? 3 ,解得 2

a ? 1 ? 2 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ? 2 为所求.
③当

a ? 2 ,即 a ? 4 时, f ? 2? ? 16 ? 8a ? a2 ? 2a ? 2 是最小值, 2

2 依题意应有 16 ? 8a ? a ? 2a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 5 ? 10 ,又∵ a ? 4 ,∴ a ? 5 ? 10 为所

求. 综上所述, a ? 1 ? 2 或 a ? 5 ? 10 . 5. (人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性
2 2 2 变式 1: 解:函数 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? m ? 1 x ? 1 是偶函数 ? m ? 1 ? 0 ? m ? ?1 ,

?

?

当 m ? 1 时, f ? x ? ? 1 是常数;当 m ? ?1 时, f ? x ? ? ?2x ? 1 ,在区间 ? ??,0 上 f ? x ? 是
2

?

增函数,故选 D. 变式 2:解:根据题意可知应有 a ? 1 ? 2a ? 0 且 b ? 0 ,即 a ?

1 且 b ? 0 ,∴点 ? a, b ? 的坐 3

标是 ? , 0 ? .
2 变式 3: 解: (I)当 a ? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) ? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时, f ( x) 为偶函

?1 ?3

? ?

数;

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当 a ? 0 时, f (a) ? a 2 ? 1, f (?a) ? a 2 ? 2 | a | ?1 ,

f (a) ? f (?a) , f (a) ? ? f (?a) ,此时 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(II) (i)当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 若a ?

1 2

3 , 4

1 ,则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上单调递减,从而函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值 2

为 f (a) ? a 2 ? 1.

1 1 3 1 ,则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f (a ) . 2 2 4 2 1 3 2 2 (ii)当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 1 3 1 若a ? ? , 则函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f (? ) ? ? a , 且 f (? ) ? f (a) , 2 2 4 2 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 [a,??) 上单调递增,从而函数 f ( x) 在 [a,??) 上的最小值 2
若a ? 为 f (a) ? a 2 ? 1. 综上,当 a ? ?

1 3 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a ; 2 4 1 1 2 当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? 1 ; 2 2 1 3 当 a ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? a . 2 4

6. (北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换 变式 1: 解:函数可转化为二次函数,作出函数图像, 由图像可得单调区间.
2 当 x ? 0 时, y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1? ? 4 , 2 2 当 x ? 0 时, y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1? ? 4 . 2

y x

作出函数图像,由图像可得单调区间.

O

x

在 ? ??, ?1? 和 ? 0,1 上,函数是增函数;在 ?1,0 和 ?1, ?? ? 上,函数是减函数. 变式 2: 解:若 a ? 1, b ? 1, 则 f ( x) ?| x ? 2x ? 1|? x ? 2x ? 1 ,显然不是偶函数,所以①是不
2 2

?

?

?

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正确的; 若 a ? ?1, b ? ?4, 则 f ( x) ?| x2 ? 2 x ? 4 | ,满足 f (0) ? f (2) ,但 f ( x) 的图像不关于直线 x=1 对称,所以②是不正确的; 若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x) ?| x2 ? 2ax ? b |? x2 ? 2ax ? b ,图像是开口向上的抛物线,其对称 轴是 x ? a ,∴ f ( x) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数,即③是正确的; 显然函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ? x ? R? 没有最大值,所以④是不正确的.
2

变式 3: 解: f ( x) ? x | x | ?bx ? c ? ?

? x 2 ? bx ? c, x ? 0 ? , 2 ? x ? bx ? c , x ? 0 ? ?

(1)当 c=0 时, f ( x) ? x x ? bx ,满足 f (? x) ? ? f ? x ? ,是奇函数,所以①是正确的;
2 ? ? x ? c, x ? 0 (2)当 b=0,c>0 时, f ( x) ? x x ? c ? ? , 2 ? ? ? x ? c, x ? 0

方程 f ( x) ? 0 即 ?

? x2 ? c ? 0 ?x ? 0

或?

?? x 2 ? c ? 0 ?x ? 0 ?? x 2 ? c ? 0 ?x ? 0



显然方程 ?

? x2 ? c ? 0 ?x ? 0

无解;方程 ?

的唯一解是 x ? ? c ,所以② 是正确的;

(3)设 ? x0 , y0 ? 是函数 f ( x) ? x | x | ?bx ? c 图像上的任一点,应有 y0 ? x0 | x0 | ?bx0 ? c , 而该点关于(0 , c )对称的点是 ? ? x0 , 2c ? y0 ? ,代入检验 2c ? y0 ? ? x0 | x0 | ?bx0 ? c 即

? y0 ? ? x0 | x0 | ?bx0 ? c , 也 即 y0 ? x 0| x |0?bx ?0c , 所 以 ? ? x0 , 2c ? y0 ? 也 是 函 数
f ( x)? x| x ? |
图像上的点,所以③是正确的; b?x c

(4)若 b ? ?1, c ? 0 ,则 f ( x) ? x | x | ? x ,显然方程 x | x | ? x ? 0 有三个根,所以④ 是不正 确的. 7. (北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域 变式 1: 解:作出函数 f ( x) ? ?2x ? 6x ? ?2 ? x ? 2? 的图象,容易发现在 ? ?2, ? 上是增 2
2

? ?

3? ?

函数,在 ? , 2 ? 上是减函数,求出 f (?2) ? ?20 , f (2) ? 4 , f ( ) ?

?3 ?2

? ?

3 2

9 ,注意到函数定义不包 2

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含 x ? ?2 ,所以函数值域是 ? ?20,

? ?

9? ?. 2?
2

变式 2:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin x+sinx+1,令 t= sinx ? [-1,1], 则 y=-2t2 +t+1,其中 t? [-1,1], ∴y ? [-2, 9 9 ],即原函数的值域是[-2, ]. 8 8 f (1 + x) = f (1-x),

变式 3: 解:(I) ∵ b ∴ - 2a

= 1,

又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b-1) x = 0 有等根, 1 2 ∴ △= (b-1) = 0 ? b = 1 ? a = - , 2 1 ∴ f (x) = - x 2 + x. 2 (II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线,对称轴为 x = 1, 1? 当 m≥1 时,f (x) 在 [m, n] 上是减函数, 1 2 ∴ 3m = f (x)min = f (n) = - n + n (*), 2 1 2 3n = f (x)max = f (m) = - m + m, 2 1 两式相减得:3 (m-n) = - (n 2 -m 2 ) + (n-m), 2 ∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8, 代入 (*) 化简得:n 2 -8n + 48 = 0 无实数解. 2? 当 n≤1 时,f (x) 在 [m, n] 上是增函数, 1 2 ∴ 3m = f (x)min = f (m) = - m + m, 2 1 3n = f (x)max = f (n) = - n 2 + n, 2 ∴ m = -4,n = 0. 3? 当 m≤1≤n 时,对称轴 x = 1 ? [m, n], ∴ 3n = f (x)max = f (1) = 1 2 ?n= 1 与 n≥1 矛盾. 6

综合上述知,存在 m = -4、n = 0 满足条件. 8. (北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 变式 1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R ,即不等式 a x + 2x + 1 > 0 的解集为 R , ? a> 0 ∴应有 ? ? a > 1, ? △= 4-4a < 0 ∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) . (II) 函数 f (x) 的值域为 R ,即 a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值. 1? 当 a = 0 时,a x + 2x + 1 = 2x + 1 满足要求; 2? 当 a ≠ 0 时,应有?
? a> 0 ? △= 4-4a ≥0
2 2

? 0 < a≤1.

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∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] . 变式 2: 解法一: (转化为最值 )

f ( x) ? 2 在 ? ?2,2? 上恒成立,即 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? a ? 0 在 ? ?2,2? 上恒成立.
⑴ ? ? a ? 4 ?1 ? a ? ? 0 , ??2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2 ;
2

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? f (2) ? 0 ? ? ⑵ ? f (?2) ? 0 ,??5 ? a ? ?2 2 ? 2 . ? ?? a ? 2或 ? a ? ?2 ? ? 2 2
综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 . 解法二: (运用根的分布) ⑴当 ?

a 5 ? ?2 ,即 a ? 4 时,应有 g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 , 即 a ? ,? a 不存在; 2 3

⑵当 ?2 ? ?

a a2 a ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时,应有 g (a) ? f (? ) ? ? ? a ? 3 ? 2 , 2 2 4

即 -2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ,? ?4 ? a ? 2 2 ? 2 ; ⑶当 ?

a ? 2 ,即 a ? ?4 时,应有 g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 2 ,即 a ? ?5 , ??5 ? a ? ?4 2

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 . 变式 3: 证明:(I) 依题意,f (sin

?
2

) = f (1)≥0,f (2 + cos ?) = f (1)≤0,

∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = -1, (II) 由 (I) 得: f (x) = x 2 -(c + 1) x + c (*) ∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? ) -(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0 ? (1 + cos ? ) [c-(2 + cos ? )]≥0,对任意 ? 成立.
2

∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? , ∴ c≥(2 + cos ? )max = 3. (III) 由 (*) 得:f (sin ? ) = sin 2? -(c + 1) sin ? + c, 设 t = sin ? ,则 g(t) = f (sin ? ) = t 2 -(c + 1) t + c,-1≤t≤1, 这是一开口向上的抛物线,对称轴为 t = 3+1 由 (II) 知:t≥ = 2, 2 ∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数. ∴ g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8, ∴ c=3 c+1 , 2

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∴ b = -c-1 = -4. 9. (北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系 变式 1: 解:二次函数 y ? ax2 ? b 与一次函数图象 y ? ax ? b 交于两点 (o, b) 、 (1, a ? b) , 由二次函 数图象知 a , b 同号,而由 B, C 中一次函数图象知 a , b 异号,互相矛盾,故舍去 B, C . 又由 a ? b 知, 当 a ? b ? 0 时,? 与 D 中图形相符. 变 式 2 : 解 : 原 命 题 可 变 为 : 求 方 程 mx ? 3 ? x 2 ? 5mx ? 4m ,

b b 此时与 A 中图形不符, 当 0 ? a ? b 时, ? ?1 , ? ? ?1 , a a

mx ? 3 ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 3 ,
“三个方程均无实 mx ? 3 ? x 2 ? 3mx ? 2m ? 3 中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是: 数解” ,于是,从全体实数中除去三个方程均无实数解的 m 的值,即得所求.

?(4m) 2 ? 4(?4m ? 3) ? 0, ? 3 2 2 解不等式组 ?(m ? 1) ? 4m ? 0, 得 ? ? m ? ?1 , 2 ?4m 2 ? 4(?2m) ? 0, ?
故符合条件的 m 取值范围是 m ? ?

3 或 m ? ?1 . 2

b 变式 3: 解:(I) 由 f (x) 表达式得 m = - , 2a ∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0, 由 x1 ,x2 是方程 f (x) = x 的两相异根,且 x1 < 1 < x2 , b b 1 1 ∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? - > 1 ? - > ,即 m > . a 2a 2 2 (II) △= (b-1) -4a > 0 ? (b-1) > 4a, x1 + x2 = 1-b 1 ,x1 x2 = , a a
2 2

1-b 2 4 2 2 2 ∴ | x1 -x2 | = (x1 + x2) -4x1 x2 = ( ) - =2 , a a ∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*) 又 | x1 -x2 | = 2, 1-b 的距离都为 1, 2a 要 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2), ∴ x1 、x2 到 g(x) 对称轴 x = 则 g(x) 对称轴 x = ∴ -3 < 1-b ? (-3,3), 2a

b- 1 1 < 3 ? a > | b-1 |, 2a 6

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把代入 (*) 得:(b-1) 2 > 解得:b < 1 7 或 b> , 4 4

2 1 | b-1 | + (b-1) 2 , 3 9

∴ b 的取值范围是:(-?, 10. (北师大版第 52 页例 3)应用

1 7 ) ∪( ,+?). 4 4

变式 1: 解:设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是 BC,BC 的长是 x(0<x<a), 则 B 点的坐标为 ?

? a ? x a2 ? x2 ? ?a?x ? , , A 点的坐标为 ,0? ? ?. 4 ? ? 2 ? ? 2

设矩形 ABCD 的周长为 P , 则 P =2 ? x ?

? ?

a2 ? x2 ? 1 2 a2 1 a2 2 ? ? x ? 2 x ? ? ? x ? 2 ? ? 2 (0<x<a). ? ? ? 4 ? 2 2 2 2
a2 ? x2 , 4

① 若 a>2,则当 x=2 时,矩形的周长 P 有最大值,这时矩形两边的长分别为 2 和 两边之比为 8: a 2 ? 4 ;

?

?

1 a2 2 ? 2 无最大值,也就是说周长最大的内接矩形 ②若 0 <a≤2,此时函数 P = ? ? x ? 2 ? ? 2 2
不存在. 综上所述,当 a>2 时,周长最大的内接矩形两边之比为 8: a 2 ? 4 ;当 0 <a≤2 时,周长最 大的内接矩形不存在. 变式 2: 解:(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x) = kx,g(x) = m x , 由 f (1) = k = 0.25, g(4) = 2m = 2.5 ? m = ∴ f (x) = 5 , 4

?

?

1 5 x(x≥0) ,g(x) = x . 4 4 (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元,则在 A 产品投资 10-x 万元, ∴ 企业的利润 y = ∴ x = 1 5 (10-x) + 4 4 x = 1 5 65 [-( x - ) 2 + ](0≤x≤10) , 4 2 4

5 65 ,即 x = 6.25 万元时,企业获得最大利润 ≈4 万元. 2 16 答:在 A 产品投资 3.75 万元,在 B 产品投资 6.25 万元,企业获得最大利润约 4 万元. 变式 3: 解: 设t ? 1? x ? 1? x , 要使 t 有意义, 必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 , 即?1 ? x ? 1 , ∵ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2,4] ,且 t ? 0 ??① ∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] .

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由①得: 1 ? x 2 ?

1 2 t ? 1, 2

1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] . 2 1 (I)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2 当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2; 1 1 当 a ? 0 时,此时直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a 的对称轴, a 2
不妨设 m(t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? ∴可分以下几种情况进行讨论: (1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

1 2

1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ; a (2)当 a ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
由t ? ?

1 2 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 2 1 1 1 2 1 若 t ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , ,? ] 时, g (a) ? m(? ) ? ?a ? a a 2a 2 2 1 1 若 t ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? m(2) ? a ? 2 . a 2 1 ? (a ? ? ) ? a?2 2 ? 1 2 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? , (? ?a ?? ). 2a 2 2 ? 2 ? 2 (a ? ? ) ? 2 ?
若t ? ? 1 1 1 1 (II)若 a>0,则 >0,此时 g(a)=g( ) ? a+2= +2 ? a = ?a =1(舍去 a=-1); a a a a 1 1 1 1 若- <a<0,则 <-2,此时 g(a)=g( ) ? a+2= 2 ? a=-2+ 2 <- (舍去); 2 a a 2 2 1 1 若- <a≤- ,则-2≤ <- 2 , 2 2 a 1 1 2 此时 g(a)=g( ) ? -a- = 2 ? a=- (舍去); a 2a 2 2 1 2 若- 2 ≤a≤- ,则- 2 ≤ ≤- , 2 a 2 1 此时 g(a)=g( ) ? 2 = 2 恒成立; a 2 1 1 若-2≤a<- 2 ,则- < ≤- , 2 a 2 1 1 2 此时 g(a)=g( ) ? 2 =-a- ? a=- (舍去); a 2a 2 1 1 若 a<-2,则- < <0, 2 a 1 此时 g(a)=g( ) ? 2 = a+2? a=-2+ 2 >-2 (舍去) . a

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2 1 综上所述,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 或a ? 1. a 2

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