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2010全国高中数学联赛模拟试题(一)


全国高中数学联赛模拟试题( 2010 全国高中数学联赛模拟试题(一)
一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、 方程 6×(5a2+b2)=5c2 满足 c≤20 的正整数解(a,b,c)的个数是 (B)3 (C)4 (D)5

(A)1 2、

x2 函数 y = (x∈R,x≠1)的递增区间是 R x ?1

(A)x≥2 (C)x≤0 3、

(B)x≤0 或 x≥2 (D)x≤1 ? 2 或 x≥ 2

过定点 P(2,1)作直线 l 分别交 x 轴正向和 y 轴正向于 A、B,使△AOB

(O 为原点)的面积最小,则 l 的方程为 (A)x+y-3=0 (C)2x+y-5=0 4、 (B)x+3y-5=0 (D)x+2y-4=0
? 2?

π 若方程 cos2x+ 3 sin2x=a+1 在 ?0, ? 上有两个不同的实数解 x,则 ? ?

参数 a 的取值范围是 (A)0≤a<1 (C)a<1 5、 (B)-3≤a<1 (D)0<a<1

数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项是 (B)45 (C)48 (D)51

(A)42 6、

在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足条件 a1<a2,a2>a3,a3

<a4,a4>a5 的排列的个数是 (A)8 (B)10 (C)14 (D)16

二、 填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、[x]表示不大于 x 的最大整数,则方程 ×[x2+x]=19x+99 的实数解 x 是 . . .
5 ,则 cosC= 13 1 2

2、设 a1=1,an+1=2an+n2,则通项公式 an= 3、数 799 被 2550 除所得的余数是 4、在△ABC 中,∠A= ,sinB=
3

π



5、设 k、?是实数,使得关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2-1=0 的两个根为 sin?和 cos?,则?的取值范围是 6、数 (5 + 24 ) (n∈N)的个位数字是 N
2n

. .

三、 (20 分) 已知 x、y、z 都是非负实数,且 x+y+z=1. 求证:x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)≥0, 并确定等号成立的条件.

四、 (20 分) (1) 求出所有的实数 a,使得关于 x 的方程 x2+(a+2002)x+a=0 的两根 皆为整数. (2) 试求出所有的实数 a, 使得关于 x 的方程 x3+(-a2+2a+2)x-2a2-2a =0 有三个整数根.

五、 (20 分) 试求正数 r 的最大值,使得点集 T={(x,y)|x、y∈R,且 x2+(y-7)2 R ≤r2}一定被包含于另一个点集 S={(x,y)|x、y∈R,且对任何?∈R,都 R R

有 cos2?+xcos?+y≥0}之中. 第二试 一、 (50 分) 设 a、b、c∈R,b≠ac,a≠-c,z 是复数,且 z2-(a-c)z-b=0. R 求证:
a 2 + b ? (a + c )z 2 = 1 的充分必要条件是(a-c) +4b≤0. ac ? b

二、 (50 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 均是锐角,D 是 BC 边上的内点,且 AD 平分∠BAC,过点 D 分别 向两条直线 AB、AC 作垂线 DP、DQ,其垂足是 P、Q, B 两条直线 CP 与 BQ 相交与点 K.求证: (1) AK⊥BC; (2) AK < AP = AQ <
2 S △ ABC ,其中 S △ ABC 表示△ABC 的面积. BC

A P K D Q C

三、 (50 分) 给定一个正整数 n,设 n 个实数 a1,a2,…,an 满足下列 n 个方程:

∑ i + j = 2 j + 1 ( j = 1,2,3,?, n) .
i =1

n

ai

4

确定和式 S = ∑
i =1

n

ai 的值(写成关于 n 的最简式子) . 2i + 1

参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D

二、填空题: 1、 ?
181 1587 或 ; 38 38

2、7×2n-1-n2-2n-3; 4、
π
5 3 ? 12 ; 26

3、343;

5、{?|?=2n?+?或 2n?- ,n∈Z} ;6、1(n 为偶数) ;7(n 为奇数) . Z
2

1 1 1 ? ? ? 1 ?x = y = ?x = z = ?y = z = 三、证略,等号成立的条件是 x = y = z = 或 ? 2 或? 2 或? 2. 3 ?z = 0 ?y = 0 ?z = 0 ? ? ?

四、 (1)a 的可能取值有 0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-2040; (2)a 的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax= 4 2 .

第二试
a ? c ± ? (a ? c ) ? 4b ? i ,通过变形即得充分性成立, 一、证略(提示:直接解出 z = 2
2

然后利用反证法证明必要性) .

二、证略(提示:用同一法,作出 BC 边上的高 AR,利用塞瓦定理证明 AR、BQ、

CP 三线共点,从而 AK⊥BC;记 AR 与 PQ 交于点 T,则 AP,对于 AK<AP,可证∠APK<∠AKP) .

2 S △ ABC =AR>AT>AQ= BC

三、 S = ?

(2n + 1)2

1

+1.


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