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立体几何专项训练(专家总结)


立体几何 一、选择题

1.(2010· 广东)如图,△ABC 为正三角形,若 AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面 ABC, 3 且 3AA′= BB′=CC′=AB,则多面体 ABC-A′B′C′的正视图(也称主视图)是( 2 )

2.下列叙述中正确的个数是(

)

①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直. A.0 C.2 B.1 D.3

5. 如图所示, △A′ O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图, B′在 x′轴上, A′O′ 和 x′轴垂直,且 A′O′=2,则△AOB 的边 OB 上的高为( )

A.2 C.2 2

B.4 D.4 2

6.(2008· 宁夏、海南)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的主视图中,这条棱的投 影是长为 6的线段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的 线段,则 a+b 的最大值为( A.2 2 C.4 ) B.2 3 D.2 5

二、填空题 7.设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是__________. 8.如图,在斜二测投影下,四边形 ABCD 是下底角为 45° 的等腰梯形,其下底长为 5, 一腰长为 2,则原四边形的面积是__________.

三、解答题 10. (2011· 黄山适应性测试)一个正方体内接于高为 40 cm, 底面半径为 30 cm 的圆锥中, 求正方体的棱长.

一、选择题 1.(2011· 聊城质检)当圆锥的侧面积与底面积的比值是 2时,圆锥的轴截面的顶角等于 ( ) A.45° C.90° B.60° D.120°

2.圆台上、下底面面积分别为 π、4π,侧面积为 6π,这个圆台的体积为( 2 3 A. π 3 7 3 C. π 6 B.2 3π 7 3 D. π 3 )

)

3.(2010· 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为(

A.280 C.360

B.292 D.372

4.(2007· 宁夏、海南)已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm), 可得这个几何体的体积是( )

4 000 A. cm3 3 C.2 000 cm3

B.

8 000 cm3 3

D.4 000 cm3

5.(2011· 东营质检)有一个正三棱柱,其三视图如图所示:

则其体积等于( A.3 cm3 3 3 C. cm3 2

) B.1 cm3 D.4 cm3
[来源:学科网]

6.(2011· 潍坊月考)如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形,俯 视图为一个半径为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( A. 3 π 3 2 3 B. π 3 π D. 3 )

C. 3π 二、填空题

7.(2010· 天津)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________.

8.(2008· 天津)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3π,则该 正方体的表面积为________. 三、解答题 10.(2007· 广东)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

1.(2010· 辽宁)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,若 SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA =AB=1,BC= 2,则球 O 的表面积等于( A.4π C.2π B.3π D.π )

2.(2010· 北京)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上, 动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上.若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零),则 四面体 PEFQ 的体积( )

A.与 x,y,z 都有关 B.与 x 有关,与 y,z 无关 C.与 y 有关,与 x,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关 3.(2010· 全国Ⅰ)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四 面体 ABCD 的体积的最大值为( 2 3 A. 3 C.2 3 ) 4 3 B. 3 8 3 D. 3

4.(2010· 湖北)圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径 与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球(如图所示), 则球的半径是__________cm. 一、选择题 1.(2011· 大连模拟)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直 线没有公共点”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件

2.以下四个命题中,正确命题的个数是( ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;

②点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C 、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. A.0 C.2 B.1 D.3
[来源:学_科_网]

4.(2011· 沈阳模拟)正方体 AC 1 中,E、F 分别是线段 BC、C1D 的中点,则直线 A1B 与 直线 EF 的位置关系是( A.相交 C.平行 ) B.异面 D.垂直

5.(2011· 六安联考)若 P 是两条异 面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直
[来源:学科网 ZXXK]

)

C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 6.(2008· 辽宁)在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1 、CC1 的中点,则在 空间中与三条直线 A1D1、EF、CD 都相交的直线( A.不存在 C.有且只有三条 二、填空题 8.(2011· 南阳模拟)如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶AB = 2∶1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为__________. 10.在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1,B C= 3,且 AD⊥BC,对角线 BD= AC= 3 ,求 AC 和 BD 所成的角. 2 13 , 2 )

B.有且只有两条 D.有无数条

11.(2008· 四川)如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° , 1 1 BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

2.(2011· 天津模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则异面直 线 CP 与 BA1 所成的角 θ 的取值范围是( π A.0<θ< 2 π C.0≤θ≤ 3 ) π B.0<θ≤ 2 π D.0<θ≤ 3

一、选择题 1.(2010· 山东)在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.(2010· 湖北)用 a,b,c 表示三条不同 的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A .①② C.①④ ) B.②③ D.③④ ) )

3.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β

C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 4.已知直线 m、n 及平面 α、β,则下列命题正确的是( A.
? m∥α? ??α∥β ? m∥β ?

)

[来源:Zxxk.Com]

B.

? m∥α? ??n∥α ? m∥n ?

C.

m⊥α? ? ??m∥β ? α⊥β ?

D.

m⊥α? ? ??m∥n ? n⊥α ?

5.(2008· 安徽)已知 m、n 是两条不同直线,α、β、γ 是三个不同平面.下列命题中正确 的是( )

A.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β 7.已知 a、b 是异面直线,且 a?平面 α,b?平面 β,a∥β,b∥α,则平面 α 与平面 β 的位置关系是______.

8.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 DC 的中点, N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件__________ 时, 有 MN∥平面 B1BDD1. 9.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m? β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号). 三、解答题

10.如图,PA⊥平面 AC,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证: AF∥平面 PCE.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

11.如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中 点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)在 PB 上确定一个点 Q,使平面 MNQ∥平面 PAD.

12.(2010· 陕西)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)求三棱锥 E-ABC 的体积 V.

一、选择题 1.(2011· 浙江)若 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确 的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m )

2.已知直线 a,b 和平面 α,β,且 a⊥α,b⊥β,那么 α⊥β 是 a⊥b 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件 )

)

3.已知平面 α∩平面 β=l,m 是 α 内的一条直线,则在平面 β 内( A.一定存在直线与直线 m 平行,也一定存在直线与直线 m 垂直 B.一定存在直线与直线 m 平行,但不一定存在直线与直线 m 垂直 C.不一定存在直线与直线 m 平行,但一定存在直线与直线 m 垂直 D.不一定存在直线与直线 m 平行,也不一定存在直线与直线 m 垂直

4.(20 09· 海南、宁夏)已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( A.AB∥m C.AB∥β B.AC⊥m D.AC⊥β )

5.(2011· 柳州模拟)设 a、b 是不同的直线,α、β 是不同的平面,则下列四个命题中正 确的是( )

A.若 a⊥b,a⊥α,则 b∥ α B.若 a∥α,α⊥β,则 a⊥β C.若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β 7.m、n 是空间两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题 的序号是__________. ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 8.在△ABC 中,∠ACB=90° ,AB=8,∠ABC=60° ,PC⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM 的最小值为__________.

9.如图,平面 ABC⊥平面 BDC,∠BAC=∠BDC=90° ,且 AB=AC=a,则 AD= __________. 11.(2010· 陕西)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,

AP=AB=2,B C=2 2,E、F 分别是 AD、PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

1.(2010· 浙江)如图,在矩形 ABCD 中,点 E、F 分别在线段 AB、AD 上,AE=EB=AF 2 = FD=4.沿直线 EF 将△AEF 翻折成△A′EF,使平面 A′EF⊥平面 BEF. 3 (1)求二面角 A′-FD-C 的余弦值; (2)点 M、N 分别在线段 FD、BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A′重合,求线段 FM 的长.

一、选择题 1.(2011· 新余调研)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组 向量是( ) B.b,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b

A.a,a+b,a-b C.c,a+b,a-b

2.(2010· 陕西铜川一模)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出以下向量表达式:

→ → → ①(A1D1-A1A)-AB; → → → ②(BC+BB1)-D1C1; → → → ③(AD-AB)- 2DD1; → → → ④(B1D1+A1A)+DD1. → 其中能够化简为向量BD1的是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

8 3.(2011· 毫州模拟)若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 , 9 则 λ 等于( A.2 2 C.-2 或 55 ) B.-2 2 D.2 或- 55

4.(2010· 莆田中学期末)已知 a=(2,-1,3), b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b, c 三向量共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 60 C. 7 ) 63 B. 7 65 D. 7

5.(2011· 铁岭模拟)已知直线 AB、CD 是异面直线,AC⊥CD,BD⊥CD,且 AB=2,CD =1,则异面直线 AB 与 CD 夹角的大小为( A.30° C.60° )

B.45° D.7 5°

→ → 1 → 6.(2011· 济宁月考)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC1上且AM= MC1, 2 → N 为 B1B 的中点,则|MN|为( A. C. 21 a 6 15 a 6 ) B. D. 6 a 6 15 a 3

二、填空题

7.(2011· 信阳模拟)如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E 为 AD 的中 → → → 点,若EF=λ(AB+DC),则 λ=________.

8 . (2011· 江西九江模拟 ) 已知 a = (1 - t,1 - t , t) , b = (2 , t , t) ,则 |b - a|的最小值为 __________. 三、解答题 10.(2010· 临沂模拟)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c, 求: (1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.

科网 ZXXK]

→ → 12.(2010· 抚顺模拟)已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. (1)求 a 和 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值.

2.(2011· 郑州调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 BC 的中点,试在棱 CC1 上 求一点 P,使得平面 A1B1P⊥平面 C1DE.

一、选择题 1.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( A. 10 10 ) B. 30 10

2 15 C. 10

3 10 D. 10 )

2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 中点,则直线 CE 垂直于( A.AC C.A1D B.BD D.A1A

4.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法 向量的夹角等于 120° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等 于( ) A.120° C.30° B.60° D.以上均错

5.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2,则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角的正弦值为( A. C. 3 2 10 5 ) B. D. 5 2 10 10

二、填空题 7. (2011· 上海模拟)设平面 α 与向量 a=(-1,2, -4)垂直, 平面 β 与向量 b=(2,3,1)垂直, 则平面 α 与 β 的位置关系是__________. 8.(2011· 咸阳模拟)正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的

中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 的夹角的大小为__________.

10.(2011· 南昌模拟)如图,四面体 ABCD 中,O 是 BD 的中点,CA=CB=CD=BD=2, AB=AD= 2. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值.

11.(2011· 福州质检)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90° ,AP=BP =AB,PC⊥AC. (1)求证:PC⊥AB; (2)求二面角 B-AP-C 的余弦值.

2.(2010· 广东执信中学期中)如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的 π 菱形,∠ABC= ,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. 4 (1)证明:MN∥平面 OCD; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离.


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