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吉林省东北四校协作体2014届高三上学期联合考试数学(理)试题


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.) 1.i 是虚数单位,复数 A.1+i B.5+5i

?1 ? 3i ? 1 ? 2i
D.-1-i

C.-5-5i

2.将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次,出现“至少两次正面向上”的概率 为 A.

1 4

B.

3 4

C.

3 8

D.

11 16 1 1 a1 a3a5 ? a1 ,且 a4 与 a7 4 4

3.已知为 {an } 等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a3a5 ? 的等差中项为 ,则 S 5 的值 A.35 B.33 C.31 D.29

9 8

4.某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为

A. 3 ? 3 2 B. 8 ? 3 2 C. 6 ? 6 2 D. 8 ? 6 2 5.如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

2 4

4

4

正视图

侧视图

俯视图

A、 80 ? 16 2

B、 64 ? 16 2

C、96

D、80

6.已知命题 p :抛物线 y ? 2x 2 的准线方程为 y ? ?

1 ;命题 q :平面内两条直线的斜 2
D、 p ? q

率相等是两条直线平行的充分不必要条件;则下列命题是真命题的是 A、 p ? q B、 p ? ??q ? C、 ??p ? ? ??q ?

7.若函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x 最小值为 A.

, x ? R ,又 f (? ) ? ?2, f ( ? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的

1 3

3? ,则正数 ? 的值是 4 2 4 3 B. C. D. 3 3 2

8.已知 f (x) 为定义 在 (??,??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ' ( x) 对于任意 x ? R 恒成 立,则 A. f (2) ? e 2 ? f (0), B. f (2) ? e 2 ? f (0), C. f (2) ? e 2 ? f (0), D. f (2) ? e 2 ? f (0),

f (2010 ) ? e 2010 ? f (0) f (2010 ) ? e 2010 ? f (0) f (2010 ) ? e 2010 ? f (0) f (2010 ) ? e 2010 ? f (0)

9.已知数列 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 的各项均不等于 0 和 1,此数列前 n 项的和为 S n ,且满足
2 2S n ? a n ? a n (1 ? n ? 5) ,则满足条件的数列共有

A. 2 个

B. 6 个

C. 8 个

D. 16 个

10. 抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A, 两点, B 其中 A 点的坐标是 (1,2) . 该 抛物线的 焦点为 F,则 | FA | ? | FB |? A.7 11. 已知双曲线 B. 3 5 C. 6 D. 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 为双曲线的离心率, e a 2 b2

P 是双曲线右支上的点, ?PF1 F2 的内切圆的圆心为 I,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,则 OB= A.a C. ea

B. b

D.

eb

12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R,都有 f(2 +x)=-f(x) ,且 当时 x∈[0,1]时 f ( x) ? ? x 2 ? 1,则方程 f ( x) ? k , k ? ? 0,1? 在[-1,5]的所有实根之和 为 A. 0

B.2

C. 4

D.8

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a11 ? 3a6 ? 4 ,则 S11 ? 。

14. 在( x 2 ? )8 的展开式中,x 的系数是

1 x

。 (用数字作答)

15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



16.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1, 上的一个动点 , ?
? y?2 ?

? x ? y ? 2,

则 OA ? OM 的取值范围是 _______

??? ???? ? ?

三.解答题 17(8 分).在△ABC 中角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(cos (一 l,sin(A+B),且 m⊥n. ) ( I)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 CA · ? CB

C ,1) ,n= 2

??? ??? ? ?

3 ,且 a+b =4,求 c. 2

n 18(8 分) .已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an ?1 ? 2 (n ? 2 且 n∈ N*)

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项之和 S n ,求 S n ,并证明:

Sn >2n ? 3 . 2n

19(10 分) .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD , ABCD 是直角梯形,

AB ? AD , AB / /CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2, E 是 PB 的中点。
P

E

A D C

B

(1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC (2)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.
3

20(10 分) .甲乙两班 进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首 轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人 答对的概率分别为 , ,

3 2 1 2 ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否 相互之 4 3 2 3

间没有影响,用 ? 表示甲队总得分. (I)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E( ? ) ;

(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 21(12 分) .函数 f ( x) ? a ln x ? 1 ( a ? 0) .

1 (Ⅰ) 当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? 1 ? a(1 ? ) ; x
(Ⅱ) 在区间 (1, e) 上 f (x) ? x 恒成立,求实数 a 的范围。 (Ⅲ) 当 a ?

1 时,求证: f (2) ? f (3) ? ? ? f (n ? 1) ? 2(n ? 1 ? n ? 1 ) (n ? N ? ) . 2

22(12 分) .已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,以原点为圆心,椭圆 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足 ,当 PA ? PB < OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 时,求实数 t 的取值范围. 3

四.选做题 23(10 分) .选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 1og3 (| x ? 1| ? | x ? 4 | ?a), a ? R 。 ( I)当 a=-3 时,求 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)当 f(x)定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围 24. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知错误!未找到引用源。与⊙错误!未找到引用源。相切,错误!未找到 引用源。为切点,错误!未找到引用源。为割线,弦错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。、错误!未找到引用源。相交于错误!未找到引用源。点,错误!未找到 引用源。为错误!未找到引用源。上一点,且错误!未找到引用源。 求证:错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。· 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。· 错误! 未找到引用源。.

A

O C F E D B

P

25. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线错误!未找到引用源。的极坐标方程是错误!未找到引用源。,曲线错误!未 找到引用源。的参数方程是错误!未找到引用源。是参数) . (1)写出曲线错误!未找到引用源。的直角坐标方程和曲线错误!未找到引用源。的 普通方程; (2)求错误!未找到引用源。的取值范围,使得错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。没有公共点.

参考答案
1.A 2.D 15.4 3.C 4.B 5A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.A 11.A 12.D 13.44 14.-56

16. [0, 2] 17. I) C ? (

?
3

(Ⅱ)? c ? 7

1 18. (Ⅰ) an ? (n ? ) ? 2n . (Ⅱ)略 2
19. (Ⅰ)略(Ⅱ)直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 20. (I)略(Ⅱ)

? . ?

1 6


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