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浙江省宁波市五校2015届高三下学期适应性联考数学(文)试卷


浙江省宁波市五校联考 2015 届高考数学适应性试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1.已知命题 p:?x∈R,x ﹣2x﹣4≤0,则¬p 为( ) 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x﹣4≥0 B.?x0∈R,x0 ﹣2x0﹣4>0 2 2 C.?x?R,x ﹣2x+4≤0 D

.?x0∈R,x0 ﹣2x0﹣4>0 2.已知 x,y∈R,则“x>y”是“|x|>|y|”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.﹣
2

3.已知 α∈(π,2π) ,且 cosα+sinα= ,则 tanα=( A. B.﹣ C.

4.已知直线 m,n 及平面 α,β,下列命题中正确的是( ) A.若 m⊥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β B.若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β C.若 m⊥α,n∥β,且 m⊥n,则 α⊥β D.若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β 5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是 ( )

A.

B.

C.

D.

6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f (log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是( B. C. ) D. (0,2]

7.已知数列{an}中满足 a1=15, A.10 B.2 ﹣1

=2,则 C .9

的最小值为(

) D.

8.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两

渐近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若 (λ,μ∈R) ,λ?μ= A. B. ,则双曲线的离心率为( C. ) D.

二、填空题(本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分) 9.已知全集 U=R,集合 A={x||x|<1},B={x|x>﹣ },则 A∪B=__________, A∩B=__________, (?UB)∩A=__________. 10. 已知直线 l1: ax+y﹣1=0, 直线 l2: x﹣y﹣3=0, 若直线 l1 的倾斜角为 , 则 a=__________;

若 l1⊥l2,则 a=__________;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为__________. 11.函数 y=3sin(4x+ )﹣3 的最小正周期为__________,单调递减区间为__________.

12.设 x、y 满足约束条件

目标函数 z=2x+y 的最大值是__________,若目

标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 10,则 + 的最小值为__________.
2 2 2 2

13.已知两圆 C1: (x+1) +y =1 与 C2: (x﹣1) +y =25,动圆 M 与这两个圆都内切,则 动圆的圆心 M 的轨迹方程为__________. 14.若直线 l:xcosθ+ysinθ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ) +(y﹣1) = 线 l 的斜率是__________.
2 2

相切,且 θ 为锐角,则直

15.设非零向量 与 的夹角是

,且| |=| + |,则

的最小值是__________.

三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 17.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a2,a3,a5 成等比数列,S6=45. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)令 pn= + ,是否存在正整数 M,使不等式 p1+p2+…+pn﹣2n≤M 恒成立,若

存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由. 18.如图,四边形 ABCD 为平行四边形,AB=5,AD=4,BD=3,将△ BCD 沿着 BD 翻折到 平面 BC1D 处,E,F 分别为边 AB,C1D 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 BCC1; (Ⅱ)若异面直线 EF,BC1 所成的角为 30°,求直线 C1D 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

19.如图,已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,过 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,其准线 l 与 x 轴交于 K 点. (1)求证:KF 平分∠MKN; (2)O 为坐标原点,直线 MO、NO 分别交准线于点 P、Q,求|PQ|+|MN|的最小值.

2

20.已知二次函数 f(x)=x +bx+c,其中常数 b,c∈R. (Ⅰ)若任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0,f(2+x)≤0,试求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,试求实数 b 的取值范围.

2

浙江省宁波市五校联考 2015 届高考数学适应性试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 2 1.已知命题 p:?x∈R,x ﹣2x﹣4≤0,则¬p 为( ) 2 2 A.?x∈R,x ﹣2x﹣4≥0 B.?x0∈R,x0 ﹣2x0﹣4>0 2 2 C.?x?R,x ﹣2x+4≤0 D.?x0∈R,x0 ﹣2x0﹣4>0 考点:命题的否定;特称命题. 专题:简易逻辑. 分析:直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题 p:?x∈R,x ﹣2x﹣4≤0,则¬p 2 为:?x0∈R,x0 ﹣2x0﹣4>0. 故选:B. 点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.已知 x,y∈R,则“x>y”是“|x|>|y|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:充要条件. 专题:简易逻辑. 分析:举例,结合结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 x>y,如 x=1,y=﹣1,则|x|>|y|不成立, 故命题:“x>y”?“|x|>|y|”为假命题; 若|x|>|y|成立,如 x=﹣2,y=1 则 x>y 不成立, 故命题:“|x|>|y|”?“x>y”为假命题; 故 x>y”是“|x|>|y|”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 点评:本题考查的知识点是充要条件的定义,我们先判断 p?q 与 q?p 的真假,再根据充要 条件的定义给出结论是解答本题的关键. 3.已知 α∈(π,2π) ,且 cosα+sinα= ,则 tanα=(

)

A.

B.﹣

C.

D.﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整理求出 cosα﹣sinα 的值,与已知等式联立求出 cosα 与 sinα 的值,即可求出 tanα 的值. 解答: 解:∵α∈(π,2π) ,且 cosα+sinα= ①, ∴两边平方得:1+2sinαcosα= ∴α∈( ,即 2sinαcosα=﹣ ,

,2π) ,即 sinα<0,cosα>0,

∴cosα﹣sinα>0, ∴(cosα﹣sinα) =1﹣2sinαcosα=
2

,即 cosα﹣sinα= ②,

联立①②解得:sinα=﹣ ,cosα= , 则 tanα=﹣ , 故选:B. 点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 4.已知直线 m,n 及平面 α,β,下列命题中正确的是( ) A.若 m⊥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β B.若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β C.若 m⊥α,n∥β,且 m⊥n,则 α⊥β D.若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β 考点:平面与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据直线与平面平行,垂直的性质定理,判断定理,灵活判断,可以正确推导,也可 以举反例说明. 解答: 解: (1)∵若 m⊥α,n∥β,且 m∥n,∴n⊥α,n∥β, ∴α⊥β 故 A 不正确; (2)若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β.不正确, 如两个面相交,两个相交的墙面,直线 m,n 都平行于交线, 也满足,m∥α,n∥β,所以 B 不正确; (3)若 m⊥α,n∥β,且 m⊥n,则有可能 α∥β,不一定 α⊥β,所以 C 不正确; (4)若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n 可以判断 α⊥β 是正确的,因为可以设两个平面的 可得数量积为零, ⊥ ,所以可判断 α⊥β 是正确的,故 D 正确, , ,

故选:D

点评:本题考察了直线与平面的位置关系,熟练掌握好平行,垂直的定理即可判断. 5.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积, 代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其底面面积 S= ×1×(1+1)=1, 高 h= , = ,

故体积 V=

故选:A 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形 状. 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f (log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是( B. C. ) D. (0,2]

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性列 出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ,



可变为 f(log2a)≤f(1) ,

即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ 解得 ≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用, 易错处是忽略定义域内的单调性不同, 即对称区间单调性相反,注意自变量的取值范围,考查了学生的转化能力. ,即 ,

7.已知数列{an}中满足 a1=15, A.10 B.2 ﹣1

=2,则 C .9

的最小值为( D.

)

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得 an+1﹣an=2n,从而 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)=n ﹣n+15, 进而 =n+ ﹣1,由此能求出当且仅当 n= ,即 n=4 时, 取最小值 4+ = .
2

解答: 解:∵数列{an}中满足 a1=15, ∴an+1﹣an=2n, ∴an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1) =15+2+4+6+8+…+2(n﹣1) =15+ =n ﹣n+15, ∴ =n+ ﹣1≥2 ﹣1, 取最小值 4+
2

=2,

∴当且仅当 n= 故选:D. 点评:本题考查 用.

,即 n=4 时,

=



的最小值的求法,是中档题,解题时要注意累加法和均值定理的合理运

8.设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两

渐近线于 A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若 (λ,μ∈R) ,λ?μ= A. B. ,则双曲线的离心率为( C. D. )

考点:双曲线的简单性质. 专题:平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由方程可得渐近线,可得 A,B,P 的坐标,由共线向量式可得 λ+μ=1,λ﹣μ= ,解 之可得 λμ 的值,由 λ?μ= 可得 a,c 的关系,由离心率的定义可得.

解答: 解:双曲线的渐近线为:y=± x,设焦点 F(c,0) ,则 A(c, 因为 =λ ) ,B(c,﹣ +μ , ) , ) ,P(c, ) ,

所以(c,

)=( (λ+μ)c, (λ﹣μ)

所以 λ+μ=1,λ﹣μ= , 解得:λ= ,μ= ,

又由 λμ=

,得:

=



解得:

= ,

所以,e= =



故选:A. 点评:本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,属于中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分) 9.已知全集 U=R,集合 A={x||x|<1},B={x|x>﹣ },则 A∪B={x|x>﹣1},A∩B={x|﹣ <x<1}, (?UB)∩A={x|x|﹣1<x≤﹣ }.

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算进行计算即可. 解答: 解:A={x||x|<1}={x|﹣1<x<1},?UB={x|x≤﹣ }, 则 A∪B={x|x>﹣1},A∩B={x|﹣ <x<1}, (?UB)∩A={x|﹣1<x≤﹣ }; 故答案为:{x|x>1},{x|﹣ <x<1},{x|x|﹣1<x≤﹣ }; 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

10.已知直线 l1:ax+y﹣1=0,直线 l2:x﹣y﹣3=0,若直线 l1 的倾斜角为 若 l1⊥l2,则 a=1;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为 2 .

,则 a=﹣1;

考点:两条平行直线间的距离;直线的倾斜角. 专题:直线与圆. 分析:求出直线的斜率即可求解 a,利用直线的垂直,斜率乘积为﹣1,求解 a;通过直线的 平行求解 a,然后求解平行线之间的距离. 解答: 解:直线 l1:ax+y﹣1=0,直线 l2:x﹣y﹣3=0,若直线 l1 的倾斜角为 ﹣a=1,则 a=﹣1: 若 l1⊥l2,则﹣a×1=﹣1,解得 a=1; 若 l1∥l2,所以 a=﹣1,则两平行直线间的距离为: = . ,k=1,即

故答案为:﹣1;1; . 点评:本题考查直线的垂直,平行,平行线之间的距离求法,考查计算能力. ],

11.函数 y=3sin(4x+ k∈z.

)﹣3 的最小正周期为

,单调递减区间为[

+



+

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: 由题意根据正弦函数的周期性求得它的最小正周期, 再根据正弦函数的单调性求得它 的减区间. 解答: 解:对于函数 y=3sin(4x+ 令 2kπ+ ≤4x+ ≤2kπ+ + + ,求得 , , + + )﹣3,它的最小正周期为 + ≤x≤ + ,k∈z, = ,

故函数的减区间为[ 故答案为: ;[

],k∈z, ],k∈z.

点评:本题主要考查正弦函数的周期性和单调性,属于基础题.

12.设 x、y 满足约束条件

目标函数 z=2x+y 的最大值是 14,若目标函数

z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 10,则 + 的最小值为 5.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:①作出不等式对应的平面区域,①由 z=2x+y 得:y=﹣2x+z,显然 y=﹣2x+z 过 A 点时,z 最大,将 A(4,6)代入求出即可; ②利用线性规划的知识先求出 a,b 的关系,然后利用基本不等式的性质求出 + 的最小值 即可. 解答: 解:由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y=﹣ x+ , 作出可行域如图:

①由 z=2x+y 得:y=﹣2x+z, 显然 y=﹣2x+z 过 A 点时,z 最大, 由 ,解得 ,即 A(4,6) ,

∴z 最大值=2×4+6=14, ②∵a>0,b>0, ∴直线 y=﹣ x+ 的斜率为负,且截距最大时,z 也最大. 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当 y=﹣ x+ 经过点 A 时, 直线的截距最大,此时 z 也最大.

此时 z=4a+6b=10, 即 2a+3b﹣5=0,即 则 + =( + ) ( 当且仅当 = + + =1, )= + + + ≥ +2 = + =5,

,即 a=b=1 时,取等号,

故 + 的最小值为 5, 故答案为:14,5. 点评: 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用, 利用数形结合是解决线性规划 题目的常用方法. 13.已知两圆 C1: (x+1) +y =1 与 C2: (x﹣1) +y =25,动圆 M 与这两个圆都内切,则 动圆的圆心 M 的轨迹方程为 .
2 2 2 2

考点:轨迹方程. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设圆(x+1) +y =1 的圆心 O1(﹣1,0) ,半径 r1=1;圆(x﹣1) +y =25 的圆心 O2 2 2 (1,0) ,半径 r2=5.设动圆 C 的圆心 C(x,y) ,半径 R.由于动圆 C 与圆(x+1) +y =1 2 2 及圆(x﹣1) +y =25 都内切,可得|O1C|=R﹣1,|O2C|=5﹣R.于是|O1C|+|O2C|=5﹣1=4> |O1O2|=2,利用椭圆的定义可知:动点 C 的轨迹是椭圆.求出即可. 2 2 2 2 解答: 解:设圆(x+1) +y =1 的圆心 O1(﹣1,0) ,半径 r1=1;圆(x﹣1) +y =25 的 圆心 O2(1,0) ,半径 r2=5. 设动圆 C 的圆心 C(x,y) ,半径 R. ∵动圆 C 与圆(x+1) +y =1 及圆(x﹣1) +y =25 都内切, ∴|O1C|=R﹣1,|O2C|=5﹣R. ∴|O1C|+|O2C|=5﹣1=4>|O1O2|=2, 2 2 2 因此动点 C 的轨迹是椭圆,2a=4,2c=2,解得 a=2,c=1,∴b =a ﹣c =3. 因此动圆圆心 C 的轨迹方程是 .
2 2 2 2 2 2 2 2

故答案为:



点评:本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义,属于中档题.
2 2

14.若直线 l:xcosθ+ysinθ﹣1=0 与圆(x﹣cosθ) +(y﹣1) = 线 l 的斜率是﹣ .

相切,且 θ 为锐角,则直

考点:直线与圆相交的性质.

专题:计算题;直线与圆. 分析:由条件利用直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式求得 sinθ= .再结合 θ 为锐 角,可得 θ= ,从而求得直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的斜率的值.

解答: 解:由题意可得圆心(cosθ,1)到直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的距离等于半径 ,
2 2



= ,化简可得|sinθ﹣sin θ|= ,即 sinθ﹣sin θ= ,求得 sinθ= .

再结合 θ 为锐角,可得 θ=

,故直线 xcosθ+ysinθ﹣1=0 的斜率为﹣



故答案为:﹣ . 点评:本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学 思想,属于基础题.

15.设非零向量 与 的夹角是

,且| |=| + |,则

的最小值是



考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 由已知利用模的等式两边平方得到| |= 次函数解析式,然后求最小值. 解答: 解:因为非零向量 与 的夹角是 所以| | =| + | =| | +2 则( )=
2 2 2 2

| |, 将所求平方利用此关系得到关于 t 的二

,且| |=| + |, | |, =t +2t+ =(t+1) + ,
2 2

+| | ,所以| |=

2

所以当 t=﹣1 时,

的最小值是



故答案为:



点评:本题考查了向量的数量积以及向量的平方与模的平方相等的运用. 三、解答题(共 5 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值.

考点:余弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析: (I)利用余弦定理表示出 c 的平方,把 a,b 及 cosC 的值代入求出 c 的值,从而求出 三角形 ABC 的周长; (II)根据 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,然后由 a,c 及 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值,根据大边对大角,由 a 小于 c 得到 A 小于 C,即 A 为锐角,则根据 sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值,然后利用两角 差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (I)∵c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣4× =4, ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. (II)∵cosC= ,∴sinC= = = .
2 2 2

∴sinA=

=

=



∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角.则 cosA=

= ,

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC= × +

×

=



点评: 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查学生的基本运 算能力,是一道基础题. 17.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a2,a3,a5 成等比数列,S6=45. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)令 pn= + ,是否存在正整数 M,使不等式 p1+p2+…+pn﹣2n≤M 恒成立,若

存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由. 考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过设公差为 d,利用 (2)由(1)计算可得 pn=2+ ﹣ 结论. 解答: 解: (1)设公差为 d,由已知,得 即 =a2(a2+3d) ,解得 a2=d, =a2a5, =a2a5、S6=45 得 a2=d=3,进而可得结论; ,并项相加可得 p1+p2+…+pn﹣2n=2﹣ ,进而可得

由 S6=45 得 2a2+3d=15,∴a2=d=3, ∴数列{an}的通项 an=3n﹣3, 前 n 项和 Sn= ;

(2)结论:存在最小的正整数 M=2,使不等式 p1+p2+…+pn﹣2n≤M 恒成立. 理由如下:

pn=

+

=

+

=2+ ﹣



∴p1+p2+…+pn﹣2n=2(1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣

)=2﹣



由 n 为整数,可得 p1+p2+…+pn﹣2n<2, 故存在最小的正整数 M=2,使不等式 p1+p2+…+pn﹣2n≤M 恒成立. 点评:本题考查求数列的通项及前 n 项和,判定和的取值范围,注意解题方法的积累,属于 中档题. 18.如图,四边形 ABCD 为平行四边形,AB=5,AD=4,BD=3,将△ BCD 沿着 BD 翻折到 平面 BC1D 处,E,F 分别为边 AB,C1D 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 BCC1; (Ⅱ)若异面直线 EF,BC1 所成的角为 30°,求直线 C1D 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)先连接 CC1,取 CC1 的中点 G,并连接 FG,BG,从而可说明四边形 FGBE 为 平行四边形,从而得到 EF∥BG,根据线面平行的判定定理即可得到 EF∥平面 BCC1; (Ⅱ)容易说明∠C1BG=30°,从而得到∠C1BC=60°,从而△ BCC1 为等边三角形,能够说 明直线 AB⊥平面 BCC1,从而得到平面 ABCD⊥平面 BCC1.取 BC 中点 H,连接 C1H,从 而有 C1H⊥BC,根据面面垂直的性质定理即知 C1H⊥平面 ABCD,连接 DH,∠C1DH 便是 直线 C1D 和平面 ABCD 所成的角,根据已知边的长度即可求 C1D,C1H,从而能求出 sin∠C1DH. 解答: 解: (Ⅰ)证明:连接 CC1,取 CC1 的中点 G,连接 FG,BG,则: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别为 AB,C1D 的中点; ∴FG∥BE,且 FG=BE;

∴四边形 BEFG 是平行四边形; ∴EF∥BG,BG?平面 BCC1,EF?平面 BCC1; ∴EF∥平面 BCC1; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知, ∠C1BG 为异面直线 EF, BC1 所成的角, ∴∠C1BG=30°, ∠C1BC=60°; 又 BC=BC1,∴△C1BC 为等边三角形; AB=5,AD=4,BD=3,∴∠ADB=∠CBD=∠C1BD=90°; ∴BD⊥BC,BD⊥BC1,且 BC∩BC1=B; ∴BD⊥平面 BCC1; ∴平面 ABCD⊥平面 BCC1,平面 ABCD∩平面 BCC1=BC; 取 BC 中点 H,连接 C1H,则 C1H⊥平面 ABCD; 连接 DH,则∠C1DH 即为直线 C1D 和平面 ABCD 所成的角; ∴ ;

∴直线 C1D 与平面 ABCD 所成角的正弦值为



点评:考查三角形中位线的性质,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,异面直线所成 角的定义,线面垂直、面面垂直的判定定理,以及面面垂直的性质定理,线面角的定义及求 法. 19.如图,已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,过 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,其准线 l 与 x 轴交于 K 点. (1)求证:KF 平分∠MKN; (2)O 为坐标原点,直线 MO、NO 分别交准线于点 P、Q,求|PQ|+|MN|的最小值.
2

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 KM 和 KN 的斜率分别为 k1,k2,证明 KF 平分∠MKN,只需证 k1+k2=0 即 可; (2)设 M、N 的坐标分别为 ,利用三点共线可得 P、Q

点的坐标. 设直线 MN 的方程为 x=my+1, 代入抛物线方程, 结合韦达定理, 求出|PQ|, |MN|, 从而可求|PQ|+|MN|的最小值. 解答: (1)证明:抛物线焦点坐标为 F(1,0) ,准线方程为 x=﹣1…. 设直线 MN 的方程为 x=my+1,M、N 的坐标分别为



,∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4…..

设 KM 和 KN 的斜率分别为 k1,k2,显然只需证 k1+k2=0 即可. ∵K(﹣1,0) ∴k1+k2= =0…

(2)解:设 M、N 的坐标分别为



由 M,O,P 三点共线可得 P 点的坐标为



同理可由 N,O,Q 三点共线可求出 Q 点坐标为 设直线 MN 的方程为 x=my+1. 由 ∴y1+y2=4m,y1y2=﹣4, 则

,…

=



又直线 MN 的倾斜角为 θ,则 ∴ ….

同理可得 ∴

….. ( 时取到等号) …..

点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的 能力,考查学生的计算能力,综合性强. 20.已知二次函数 f(x)=x +bx+c,其中常数 b,c∈R. (Ⅰ)若任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0,f(2+x)≤0,试求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,试求实数 b 的取值范围. 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)若任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0,f(2+x)≤0,可得是 f(1)=0,即 1 为函数 函数 f(x)的一个零点.由韦达定理,可得函数 f(x)的另一个零点,进而可得实数 c 的 取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,f(x)max﹣f(x)min≤4,结 合二次函数的图象和性质分类讨论,可得实数 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)因为 x∈[﹣1,1],则 2+x∈[1,3], 由已知,有对任意的 x∈[﹣1,1],f(x)≥0 恒成立, 任意的 x∈[1,3],f(x)≤0 恒成立, 故 f(1)=0,即 1 为函数函数 f(x)的一个零点. 由韦达定理,可得函数 f(x)的另一个零点, 又由任意的 x∈[1,3],f(x)≤0 恒成立, ∴[1,3]?[1,c], 即 c≥3 2 (Ⅱ)函数 f(x)=x +bx+c 对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],有|f(x1)﹣f(x2)|≤4 恒成立, 即 f(x)max﹣f(x)min≤4, 记 f(x)max﹣f(x)min=M,则 M≤4. 当| 当| = |>1,即|b|>2 时,M=|f(1)﹣f(﹣1)|=|2b|>4,与 M≤4 矛盾; |≤1,即|b|≤2 时,M=max{f(1) ,f(﹣1)}﹣f( ﹣f( ) )=(1+ ) ≤4,
2 2

解得:|b|≤2, 即﹣2≤b≤2, 综上,c 的取值范围为﹣2≤b≤2. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答 的关键.


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