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山西省右玉一中2015-2016学年高二数学3月月考试题 理


右玉一中 2016 年 3 月高二数学(理)考试卷
时间 :120 分 满分:150 分

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ,则 f ? ?

?π? ? ?( ?6?



A. 1

B.

3

C.

1 2

D.

3 2

2.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln ? x ? a ? 相切,则 a 的值为 A. 0 3. B. 1
m

C. 2 ) D.2

D.

?

?2

? x 2 ? 2 x dx ?

?
2

1 2

,则 m 等于( C.1

A.-1 4.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x ) ?

B.0

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 ( f ( x) ? 2



4 2 B. f ( x ) ? 2 ?2 x ?1 1 2 C. f ( x ) ? D. f ( x ) ? x ?1 2x ?1 1 2 5.已知 f ? x ? ? x ? cos x , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象是( ) 4
x

6.

由曲线 y ? A. 4

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )
B. 6 C.

10 3

D.

16 3

7.用数学归纳法证明“ 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ” 时,由 n ? k 的假设证明 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

n ? k ? 1 时,如果从等式左 边证明右边,则必须证得右边为(



1

A. C.

1 1 1 ??? ? k ?1 2k 2k ? 1
1 1 1 ??? ? k?2 2k 2k ? 1

B.

1 1 1 1 ??? ? ? k ?1 2k 2k ? 1 2k ? 2

D.

1 1 1 ??? ? k?2 2k ? 1 2k ? 2

8. 已知点 A(0,1) , 曲线 C : y ? a ln x 恒过定点 B , P 为曲线 C 上的动点且 AP ? AB 的最小值为 2 , 则

a ?(
A. ?2

) B. -1 C. 2 D. 1

x2 y 2 y 2 x2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 以及双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线将第一象限三等 a b a b
分,则双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为( a 2 b2



A.2 或

2 3 2 3 B. 6 或 C.2 或 3 D. 3 或 6 3 3
x ,给出下列结论: ex

10.已知函数 f ( x ) ?

① ?1, ?? ? 是 f ? x ? 的单调递减区间; ②当 k ? ? ??, ? 时,直线 y ? k 与 y ? f ( x) 的图象有两个不同交点; ③函数 y ? f ( x) 的图 象与 y ? x 2 ? 1 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是( A.①②③ B.①③
2

? ?

1? e?

) C.①② D.②③ )

11.若点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小值为( A.1 B. 2 C.

2 2

D. 3 )

12.定义在 (0,

?
2

) 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ' ? x ? ? f ? x ? ? tan x 成立.则(

A. 3 f ( ) ? f ( ) B. 3 ? f ( ) ? 2 cos 1 ? f (1) C. 6 f ( ) ? 2 f ( ) D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

?

?

6

3

?

?

6

?

6

4

4

3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上.
' 13.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ( x) ? 3 f ( x) ,则 tan 2 x 的值是________.

2

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ,则 Z ? 2 x ? y 的最大值为________. ? x ?1 ?
15. 已 知 : x ? ? 0, ??? , 观 察 下 列 式 子 : x ?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3? 类 比 有 x x 2 2 x

a ? n ? 1? n ? N ? ? ,则 a 的值为 . n x 1 3 a 2 16. 对 于 函 数 f ( x) ? x ? x ? (3 ? a ) x ? b 有 六 个 不 同 的 单 调 区 间 , 则 a 的 取 值 范 围 3 2 x?
为 .

三、解答题(共 70 分):解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 28 17.(本题 10 分)已知函数 f(x)=3x3-4x+m 在区间(-∞,+∞)上有极大值 3 . (1)求实数 m 的值; (2)求函数 f(x)在区间(-∞, +∞)的极小值. 18.(本题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 的图象经过点 M (1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与 直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a , b 的值; (2)若函数 f ?x ? 在区间 ?m, m ? 1? 上单调递增,求 m 的取值范围 19.(本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2sin 2 A ? 3cos( B ? C) ? 0 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3, a ? 21 ,求 b ? c 的值. 20.(本小题满分 12 分)

AB ? AC , PA ? AC ? 已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC ,

1 AB , N 为 AB 上一点, AB ? 4 AN , 2

M , S 分别为 PB, BC 的中点.
(1)证明: CM ? SN ; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

3

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? a 2 x ? a (a ? R ) . 3 2

(Ⅰ)若 a ? 1, 求函数 f ? x ? 在 [0, 2] 上的最大值; (Ⅱ)若对任意 x ??0, ??? ,有 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点 2

到焦点的最短距离为 1 ? (1)求椭圆 C 的方程;

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A, B , 且A P ?3 P B . 2
(2)求 m 的取值范围.

4

右玉一中 2016 年 3 月高二数学(理)答案 一、 题号 答案 选择题(共 12 小题,每小题 5 分) 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 D 8 D 9 A 10 B 11 C 12 A

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 13. ?

4 3

14.4

15. nn

16. 2 ? a ? 3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解 f′(x)=x -4= (x+2)(x-2).
2

令 f′(x)=0,得 x=-2,或 x=2. 减区间为(-2,2).

故 f(x)的增区间(-∞,-2)和(2,+∞)

8 28 (1)当 x=-2,f(x)取得极大值, 故 f(-2)=- +8+m= ,∴m=4. 3 3 1 3 (2)由(1)得 f(x)= x -4x+4, 3 18.(1) a ? 1, b ? 3 ;(2) m ? 0或m ? ?3 4 又当 x=2 时 ,f(x)有极小值 f(2)=- . 3

19.(1)由 2sin 2 A ? 3cos(C ? B) ? 0 ,得 2cos A ? 3cos A ? 2 =0 即 (2cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ,
2

(2)由 S ?

1 1 3 bc sin A ? bc ? ? 5 3 ,得 bc ? 20 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 21, 2 2 2

所以 b ? c ? 9 .
5

20.证明:设 PA ? 1 ,以 A 为原点,射线 AB, AC , AP 分别为 x, y, z 轴正向建立空间直角坐标系. 则 P(0, 0,1), C (0,1, 0), B(2, 0, 0), M (1, 0, ), N ( , 0, 0), S (1, , 0) . (1) CM ? (1, ?1, ), SN ? (?

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 , ? , 0) , 2 2

因为 CM ?SN ? ?

1 1 ? ?0?0, 2 2

所以 CM ? SN . (2) NC ? ( ?

1 ,1, 0) , 2

1 ? x? y? z ?0 ? ? 2 设 a ? ( x, y, z) 为平面 CMN 的一个法向量 ? ,取 a ? (2,1, ?2) , 1 ? ? x? y ?0 ? ? 2 1 2 ? 2, 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2 ?1 ?
21.(Ⅰ) f ? x ? max ?

所以 SN 与平面 CMN 所成角为

? . 4

7 3 (Ⅱ) 0 ? a ? 6 2
2

【 解析】 (Ⅰ) f ? ? x ? ? x ?1 ? ( x ? 1)( x ?1) 令 f ? ? x ? ? 0, x1 ? ?1, x2 ? 1 2分

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下:

x
f ? ? x?
f ( x)
f ? 0? ?

(0, 1) — 减

1 0 极小值

(1,2)

?
增 5分 6分
6

1 7 7 , f (2) ? , ? f ? x ? max ? . 2 6 6

(Ⅱ) f ? ? x ? ? ( x ? a)( x ? a) ,令 f ? ? x ? ? 0, x1 ? ?a, x2 ? a

(1)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 [0, ??) 上为增函数,

? f ? x ?min ? f (0) ? 0 不合题意;

7分

22. 解: (1) 设C :

y 2 x2 2 c 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,设 c ? 0, c2 ? a2 ? b ,由条件知 a ? c ? 1 ? , ,e ? ? 2 a b 2 a 2
x2 2 2 ? 1. ,故 C 的方程为: y ? 1 2 2
1 , 2

解得 a ? 1, b ? c ?

(2)当直线斜率不存在时: m ? ?

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∴?

? y ? kx ? m ,得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? (m2 ?1) ? 0 2 2 ?2 x ? y ? 1

∴ ?(2km)2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ?1) ? 4(k 2 ? 2m2 ? 2) ? 0 , (*)

x1 ? x2 ?

?2km m2 ? 1 , x x ? 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

∵ AP ? 3PB ,∴ ? x1 ? 3x2 ,∴ ?

? x1 ? x2 ? ?2 x2 , 2 ? x1 x2 ? ?3x2
?2km 2 m2 ? 1 ) ? 4 ?0, k2 ? 2 k2 ? 2

消去 x2 ,得 3( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 0 ,∴ 3( 整理得 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

m2 ?

1 1 2 ? 2m 2 2 2 时,上式不成立: m ? 时, k ? , 4 4 4m 2 ? 1
7

1 1 2 ? 2m 2 ∴k ? ? 0 时,∴ ?1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 , 2 2 2 4m ? 1
2

把k ?
2

1 1 2 ? 2m 2 代入(*)得 ?1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 , 2 2 2 4m ? 1
1 1 或 ? m ?1. 2 2 1 1 或 ? m ?1. 2 2

∴ ?1 ? m ? ?

综上 m 的取值范围为 ?1 ? m ? ?

8


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