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贵州省贵阳市高考数学专题复习 三角函数学案14


高一数学同步练习 必修四
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 A.基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)终边相同的角 (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度与角度的换算:3 60°=2π 弧度;180°=π 弧度. ③弧长公式:l=|α |r, 2.任意角的三角函数

定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、 余弦、正切分别是:sin α = ,cos α = ,tan α = ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函 数. 3.三角函数线 1 1 2 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

第一章三角函数(一)

终边与角 α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z).

y r

x r

y x

三 角 函 数 线 B.方法与要点 1、一条规律

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为余弦线

有向线段 AT 为正切线

三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终 边 落 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 {β |β = kπ , k ∈ Z} ; 终 边 落 在 y 轴 上 的 角 的 集 合
? ?β ?



? ? ? π kπ = +kπ ,k∈Z?;终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为?β ? β = ,k∈Z ? 2 2 ? ? ? ?

? ? ?. ? ?

2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 3、三个注意
1

(1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第 二类、第三类是区间角. (2 )角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可 混用. (3)注 意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. C.双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ +45°(k∈ Z) (k∈Z) 2.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 ). C.第二或第四象限 ). C.第三象限角 ). D.第四象限角 D.第三或第四象限 9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 ( ). 5π D.kπ + 4

C.k?360°-315°(k∈Z)

3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角

4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 2 5 B. 5 2 5 C.- 5

1 D.- 2

5.(2011?江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 2 5 sin θ =- ,则 y=________. 5 D.考点解析 考点一 角的集合表示及象限角的判定

【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α 、 所在的象限. 2

(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间 相差 360°的整数倍. (2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 , 如 : 终 边 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为

2

? ? ? π ?x?x=2kπ - 2 ? ? ?

? ? ? ? ? 3π ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ?

? ? ?. ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α =-β β (k∈Z) 考点二 三角函数的定义 B.α =180°+β

). D.α =k?360°±180°+

C.α =k?360°+β (k∈Z)

【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 并求 cos θ 和 tan θ 的值.

2 m,试判断角 θ 所在的象限, 4

任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已 经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011?课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y =2x 上,则 cos θ =( 4 A.- 5 B.- ). C.

5 5

5 5

D.

?

5 5

考点三 弧度制的应用 【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

弧度制下的扇形的弧长与面积公式, 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多, 用起来也 方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

考点四 三角函数线及其应用 【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 ; 2 1 (2)cos α ≤- 2
3

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (3)求交 集,找单位圆中公共的部分; 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin x).
2

(2)根据不等式(组)定出角的范围; (4)写出角的表达式.

二、

同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin α +cos α =1; 2.诱导公式
2 2

sin α (2)商数关系: =tan α . cos α

(3) 倒数关系:tan ? ? cot ? ? 1

? ? 2k? ) ? tan? 公式一:sin(α +2kπ )=sin α ,cos(α +2kπ )=cos_α , tan(
公式二:sin(π +α )=-sin_α ,cos(π +α )=-cos_α ,tan(π +α )=tan α . 公式三:sin(-α )=-sin_α ,cos(-α )=cos_α . =-cos_α .

其中 k∈Z.

公式四:sin(π -α )=sin α ,cos(π -α )

?π ? ?π ? 公式五:sin? -α ?=cos_α ,cos? -α ?=sin α . ?2 ? ?2 ?
=-sin_α .

公式六:sin?

?π +α ?=cos_α ,cos?π +α ? ? ?2 ? ?2 ? ? ?

π 诱导公式可概括为 k? ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中 2 π 的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的 2 余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把 α 看成锐角 时原 函数值的符号作为结果 .... . 的符号. B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 化成正、余弦. cos α
4

(2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1 ±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. ( sin ? ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 、 sin ? cos ? 三个式子知一可求二) π 2 2 2 2 (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan =?. 4 (4)齐次式化切法:已知 tan ? ? k ,则 3、三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—— 脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. C.双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π +α )= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2 ). D.第四 象限 ). ).

2

a sin ? ? b cos ? a tan ? ? b ak ? b ? ? m sin ? ? n cos ? m tan ? ? n mk ? n

2.点 A(sin 2 011°,cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4 3.已知 cos α = ,α ∈ (0,π ),则 tan α 的值等于( 5 A. 4 3 3 B. 4 4 C.± 3 ). D. 3 D.± 4

? 17π ?-sin?-17π ?的值是( 4.cos?- ? 4 ? 4 ? ? ? ? ?
A. 2 B.- 2 C.0

2 2

1 5.已知 α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =_______ 2 D.考点解析 考点一 利用诱导公式化简、求值 sin?π -α ?cos?2π -α ? ?31π ?. 【例 1】?已知 f(α )= ,求 f? ? π ? 3 ? ? ? sin? +α ?tan?π +α ? ?2 ?

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽
5

可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了.

?π ? cos? +α ?sin(-π -α ) ?2 ? 【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π 9π ? ? ? ? -α ?sin? +α ? cos? ? 2 ? ? 2 ?
考点二 同角三角函数关系的应用 题型 1:已知一个三角函数值,求其他三角函数值 【例 2-1】?已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2



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A

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?

1? 3 2

B

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1? 3 2

(1)已知一个三角函数值求其他三角函数值时,要确定角 ? 所在的象限后再用平方关系,只 有用到平方关系时,才考虑根号前面的符号。 (2)若不能确定 ? 的象限时,则需进行分类讨论. 【训练 1-1】已知 cos? ? m, (?1 ? m ? 1) ,求 sin ? 、 tan ? 的值

题型 2:齐次化切法 【例 2-2】?已知 tan α =2. 2sin α -3cos α 求:(1) ; 4sin α -9cos α (2)4sin α -3sin α cos α -5cos α .
2 2

(1)关于 sin α ,cos α 的齐次式(分子、分母中的各项的方次相同) ,往往化为关于 tan α 的式子. (2)具体方法:分子分母同除 cos α ; (或同除 cos α .).(必要时添加 1=sin α +cos α ) sin α +3cos α 2 【训练 2-2】 已知 =5.则 sin α -sin α cos α =________. 3cos α -sin α 题型 3:sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 三个式子知一求二
6
2 2 2

【例 2-3】已知 sin ? ? cos ? ?
3 3

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) tan ? 5

(3) sin ? cos ? (利用乘法公式: a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

(1)对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一个式子的 2 值,其余二式的值可求. (2)转化的公式为(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α . 【训练 2-3】已知 sin ? ? cos ? ? (3) sin ? ? cos ? ;
2 2

1 ? ,0 ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? 8 4

考点三 三角形中的诱导公式 【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角.

在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,

? ? ? ? sin? + ?=cos ,cos? + ?=sin . 2 2 ?2 2? ?2 2?
A B C A B C
【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π -A)=- 2sin(π -B)”其余条件 不变,求△ABC 的三个内角.

自我检测题 一、选择题 1、集合{α |kπ + ≤α ≤kπ + ,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

A、

B、

C、

D )

2、已知角 a 的终边经过点 P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sina+cosa 的值是( A、1 或﹣1 B、 或﹣

7

C、1 或﹣

D、﹣1 或 )

3、 (2000?天津)已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立 的是( A、若 α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B、若 α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C、若 α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D、若 α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 4、若|sinθ |= , A、 C、 5.若 <θ <5π ,则 tanθ 等于( B、﹣ D、 ) )

? ? <θ < ,则下列不等式成立的是( 4 2

(A)sinθ >cosθ >t anθ (C )sinθ >tanθ >cosθ 6、设角

(B)cosθ >tanθ >sinθ (D)tanθ >sinθ >cosθ 的值等于( )

A、 7、已知 cos( A、﹣

B、﹣ +α )=﹣ ,则 sin( B、

C、 ﹣α )=( C、﹣ )

D、﹣

D、 ( )

8、已知 sinα +cosα = A. C.
3 3

1? 3 ,且 0 <α <π ,则 tanα 的值为 2
B. ? 3 D. 3

?

3 3

9、在△ABC 中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tan 定值的是( A、②③ ) B、①② C、②④

tan ;④

,其中恒为

D、③④

10、化简 1 +2 sin 5 ? c cos5 ? 1 ? 2 sin 5 cos5 得( ) A、 2 sin 5 C、 ? 2 sin 5 B、 2 cos 5 D、 ? 2 cos 5
8

二、填空题 11、若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2 弧度,则扇形的面积是 ___________.

12、函数

的值域是

__________

13、已知 tanθ =2,则

=

________

14、已知

,则

=

_________.

15、已知 f(x)=

,则 f(1°)+f(2°)+?+f(58°)+f(59°)=

_____.

三、解答题 16、证明 . (注:其中 )

17、已知 α 是第二象限角,且





(1)求角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角 α 的三角函数线,并用有向线段表示 sinα ,cosα 和 tanα .

? 18、已知 cos 75 ? ? ?

?

?

1 ? ? , ? 为第三象限角,求 cos ? 255 ? ? ? sin 435 ? ? 的值 3

?

?

?

?

9


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