tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年全国高考理科数学试题分类汇编14:导数与积分 教师版


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 14:导数与积分
一、选择题 1 . (2013 年高考湖北卷(理) 已知 a 为常数,函数 )

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点 ( )

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则
A.

f (

x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

C.

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

【答案】D 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知函数 )

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是
A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B . 函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形





C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0
【答案】C 3 . (2013 年高考江西卷(理) 若 S1 ? )

?

2

1

x 2 dx, S2 ? ?

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S2 S3 的大小 1 x

关系为 A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1
【答案】B 4 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) 设 函 数 ( )

( B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1



f ? x ? 满足x 2 f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?
A.有极大值,无极小值 C.既有极大值又有极小值 【答案】D

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? x 8
B.有极小值,无极大值 D.既无极大值也无极小值





5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 设函数 f ( x) 的定 )

义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点





【答案】D 6 . (2013 年高考北京卷(理) 直线 l 过抛物线 C: x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所 )
2

围成的图形的面积等于 A.

( C.



4 3

B.2

8 3

D.

16 2 3

【答案】C 7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知 e 为自然对数 )

的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1) k (k ? 1,2) ,则 A.当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 B.当 k ? 1 时, f (x) 在





x ? 1 处取得极大值
C.当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 D.当 k ? 2 时, f (x) 在

x ? 1 处取得极大值
【答案】C 二、填空题 8 . 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) 设 函 数 f ( x ) 在 (0, ??) 内 可 导 , 且 ( )

f (e x ) ? x ? e x , 则

f x (1) ? ______________
【答案】2 9 . (2013 年高考湖南卷(理) 若 ) 【答案】3 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) (纯 WORD 版) 若曲线 卷 )

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为 _________.
y ? kx ? ln x

在点

?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.

【答案】 ?1 三、解答题 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知函数 )

f ( x) ? e x ? ln( x ? m) .
(Ⅰ)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .
【答案】

12. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 已知函数 )

f ? x ? ? ?1 ? x ?

e?2 x

, g ? x ? ? ax ?
1 ; 1? x

x3 ? 1 ? 2 x cos x.当x ? ?0,1?时, 2

(I)求证: 1-x ? f ? x ? ?

(II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 取值范围.

请考生在第 22、 23、 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 24 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
【答案】

13. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 16 分.
x 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数.

(1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论.

卷Ⅱ 附加题部分答案 word 版 [选做题]第 21 题,本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域 ...... 内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
【答案】解:(1)由 f ( x ) ?
'

1 1 ?1? ? a ? 0 即 ? a 对 x ? (1,??) 恒成立,∴ a ? ? ? max x x ?x?
∴a ?1

而由 x ? (1,??) 知

1 <1 x

由 g ' ( x) ? e x ? a 令 g ' ( x) ? 0 则 x ? ln a 当 x < ln a 时 g ' ( x) <0,当 x > ln a 时 g ' ( x) >0, ∵ g (x) 在 (1,??) 上有最小值 ∴ ln a >1 ∴a>e

综上所述: a 的取值范围为 (e,??) (2)证明:∵ g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数 ∴ g ' ( x) ? e x ? a ? 0 即 a ? e 对 x ? (?1,??) 恒成立,
x

∴ a ? ex

? ?

min
x

而当 x ? (?1,??) 时, e > 分三种情况:

1 e 1 >0 x

∴a ?

1 e

' (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ?

∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数

∵ f (1) ? 0

∴f(x)存在唯一零点
'

(Ⅱ)当 a <0 时, f ( x ) ?

1 ? a >0 ∴f(x)在 x ? (0,??) 上为单调增函数 x

a a a ∵ f (e ) ? a ? ae ? a(1 ? e ) <0 且 f (1) ? ?a >0

∴f(x)存在唯一零点

1 1 1 ' ' 时, f ( x ) ? ? a ,令 f ( x) ? 0 得 x ? e x a 1 1 ? a( x ? ) ? a( x ? ) 1 1 a >0; x > 时, f ' ( x) ? a <0 ∵当 0< x < 时, f ' ( x) ? a a x x 1 1 1 1 ∴ x ? 为最大值点,最大值为 f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 a a a a
(Ⅲ)当 0< a ?

①当 ? ln a ? 1 ? 0 时, ? ln a ? 1 ? 0 , a ? ②当 ? ln a ? 1 >0 时,0< a ? 实 际 上 ,

1 1 , f (x) 有唯一零点 x ? ? e e a

1 , f (x) 有两个零点 e
对 于 0<

a?

1 e

,





1 1 1 a 1 1 1 f ( ) ? ln ? a ? ?1 ? <0, f ( ) ? ln ? a ? ? ln a ? 1 >0 e e e e a a a
且函数在 ? ,

?1 1? ?1 1? ? 上的图像不间断 ∴函数 f (x) 在 ? , ? 上有存在零点 ?e a? ?e a? ? ?
1 1? ? 1? ? 1? ' ? , f ( x ) ? ? a >0,故 f (x) 在 ? 0, ? 上单调增,∴ f (x) 在 ? 0, ? x a? ? a? ? a?

另外,当 x ? ? 0, 只有一个零点 下 面
?1


?1


?1

f (x)



?1 ? ? ,?? ? ?a ?
?1


?1





,





f (e a ) ? ln e a ? aea ? a ?1 ln e ? aea ? a(a ?2 ? e a ) <0
为此我们要证明:当 x > e 时, e > x ,设 h( x) ? e x ? x 2
x 2

,则 h ' ( x) ? e x ? 2 x ,再设

l ( x) ? e x ? 2 x
∴ l ( x) ? e ? 2
' x

当 x >1 时, l ( x) ? e ? 2 > e -2>0, l ( x) ? e ? 2 x 在 ?1,??? 上是单调增函数
' x x

故当 x >2 时, h ( x) ? e ? 2 x > h (2) ? e ? 4 >0
' x ' 2

从 而 h( x) ? e ? x
x x 2

2



?2,???
e 2

上 是 单 调 增 函 数 , 进 而 当 x > e

时, h( x) ? e ? x > h(e) ? e ? e >0 即当 x > e 时, e > x , 当
?1

x

2

0<
?1

a
?1

<

1 e
?1



,
?1



a ?1

>e

时, f (e a ) ? ln e a ? aea 又 f ( ) ? ln

? a ?1 ln e ? aea ? a(a ?2 ? e a ) <0

1 a

?1 1 1 ? a ? ? ln a ? 1 >0 且函数 f (x) 在 a ?1 , e a 上的图像不间断, a a

?

?

∴函数 f (x) 在 a ?1 , e a

?

?1

?

1 上有存在零点,又当 x > 时, f ' ( x) ? a

1 ? a( x ? ) a <0 故 f (x) x

在 a ?1 ,?? 上是单调减函数∴函数 f (x) 在 a ?1 ,?? 只有一个零点 综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当 a ? 0 时, f (x) 的零点个数为 1;当 0< a < 数为 2
14 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 ( 理 ) 卷 ( 纯 WORD 版 ) 设 函 数 ( )
x 2 f ? x? ? ? x ?1? e ? kx (其中 k ? R ).

?

?

?

?

1 时, f (x) 的零点个 e

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M .
【 答 案 】

?1 ? ?2 ?

(Ⅰ)



k ?1



,

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?
?

0

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?
?

0
极 大 值

0


?

小 值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0? , ? ln 2, ??? . (Ⅱ)

f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x ? e x ? 2k ? , 令 f ? ? x ? ? 0 , 得

x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,
令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k k k 3 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ? 1 , 则 h? ? k ? ? k e ? 3k

?

?

?

?

?

?

?

? ?
, 令

?

? ? k ? ? ek ? 3k , 则

?? ? k ? ? ek ? 3 ? e ? 3 ? 0
所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上递减,而 ? ?

?1 ? ?2 ?

3? ?1? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2? ?

所以存 在 x0 ? ? 时, ? ? k ? ? 0 ,

?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 ,当 k ? ? x0 ,1? ?2 ? ?2 ?

所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减.

?1 ?2

? ?

因为 h ?

1 7 ?1? ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 ??? 2 8 ?2? ?2 ?

k ? 1 时取得“ ? ”.
综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .
k 3

www.zxsx.com

15. (2013 年高考江西卷(理) 已知函数 )

f (x)=a(1-2 x1 对称; 2

1 ) , a 为常数且 a >0 . 2

(1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x =

(2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 ,但 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点,如果

f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围;
(3) 对 于 (2) 中 的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为 函 数 f(f(x)) 的 最 大 值

点,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),记△ABC 的面积为 S(a),讨论 S(a)的单调 性.
【 答 案 】 (1) 证 明 : 因 为 f (

1 1 ? x) ? a(1 ? 2 x ), f ( ? x) ? a(1 ? 2 x ) , 有 2 2

1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) , 2 2
所以函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ?

1 对称. 2
2

(2)解:当 0 ? a ?

? 1 ? 4 a x, 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 2 ?4a (1 ? x), ?

1 , 2 1 x? . 2 x?

所以 f ( f ( x)) ? x 只有一个解 x ? 0 ,又 f (0) ? 0 ,故 0 不是二阶周期点.

1 , ? x, 1 2 当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 ?1 ? x, x ? 1 . 2 x?
所以 f ( f ( x)) ? x 有解集 ? x | x ? 有点都不是二阶周期点.

? ?

1 1? 1? ? ? ,又当 x ? 时, f ( x) ? x ,故 ? x | x ? ? 中的所 2 2? 2? ?

1 , 4a ? 4 a 2 x, 1 1 ? ?x? , 2 1 2 a ? 4 a x, 4a 2 当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? ? 2 2 ?2a(1 ? 2a) ? 4a x, 1 ? x ? 4a ? 1 , ? 4 a 2 ? 4 a 2 x, 2 4a ? 4a ? 1 x? . 4a x?
所 以

f(

f ( ? x) 有 x四 )





2a 2a 4a 2 0, , , 1 ? 4a 2 1 ? 2a 1 ? 4a 2

,



2a 2a f (0) ? 0, f ( )? , 1 ? 2a 1 ? 2a 2a 2a 4a 4a 2a 4a 2 f( )? , f( )? , ,故只有 是 f ( x ) 的二阶 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2
周期点.综上所述,所求 a 的取值范围为 a ?

1 . 2

2a 4a 2 , x2 ? (3)由(2)得 x1 ? , 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2
因为 x3 为函数 f ( f ( x)) 的最大值点,所以 x3 ?

1 4a ? 1 或 x3 ? . 4a 4a

当 x3 ?

1 2a ? 1 时, S (a) ? .求导得: S '(a ) ? ? 4a 4(1 ? 4a 2 )

2(a ?

1? 2 1? 2 )(a ? ) 2 2 , (1 ? 4a 2 ) 2

所以当 a ? ( ,

1 1? 2 1? 2 ) 时, S (a) 单调递增,当 a ? ( , ??) 时 S (a) 单调递减; 2 2 2

当 x3 ?

4a ? 1 8a 2 ? 6a ? 1 12a 2 ? 4a ? 3 时, S (a) ? ,求导得: S '(a) ? , 4a 4(1 ? 4a 2 ) 2(1 ? 4a 2 )2

因a ?

1 12a 2 ? 4a ? 3 ,从而有 S '(a) ? ? 0, 2 2(1 ? 4a 2 )2 1 2

所以当 a ? ( , ??) 时 S (a ) 单调递增.
16 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 设 ( )

f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与 y 轴
2

相交于点 ? 0, 6 ? . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

【答案】

f (3) ? 2 ? 6ln 3
17. (2013 年高考四川卷(理) 已知函数 f ( x ) ? ? )

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是实数.设

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .

(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

【答案】解:

? ? ? 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 为 ? ??, ?1? , 单 调 递 增 区 间 为

??1,0? , ?0,???
? ?? ? 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,
故当点 A 处的切线与点 B 处的切垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2x ? 2 . 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2x1 ? 2?? 2x2 ? 2? ? ?1, 所以 ? 2x1 ? 2? ? 0, ? 2x2 ? 2? ? 0 .

1 ? ? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 ? 2? 3 1 当且仅当 ? ? 2 x1 ? 2? = ? 2 x2 ? 2? =1,即 x1 ? ? 且x2 ? 时等号成立. 2 2
因此 x2 ? x1 ? 所以函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1

? ??? ? 当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 .
当 x1 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x1, f ? x1 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,即 y ? ? 2x1 ? 2? x ? x12 ? a
当 x2 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ln x2 ?

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1. x2 x2

? 1 ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 . 由①②得, a ? x1 ? ln
2

① ②

1 ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 . 2 x1 ? 2

设 h ? x1 ? ? x12 ? ln ? 2x1 ? 2? ?1(?1 ? x1 ? 0) , 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

1 ? 0. x1 ? 1

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0? 是减函数. 则 h ? x1 ? ? h ? 0? ? ? ln 2 ?1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又 当 x1 ? (? 1 , 0且 趋 近 于 ?1 时 , h ? x1 ? 无 限 增 大 , 所 以 a 的 取 值 范 围 是 )

? ? ln 2 ?1, ??? .
故当函数 f ( x ) 的图像在点 A, B 处的切线重合时, a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ???

18. (2013 年高考湖南卷(理) 已知 a ? 0 ,函数 )

f ( x) ?

x?a . x ? 2a

(I)记 f ( x)在区间?0, 4? 上的最大值为g(a),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处的 切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【 答 案 】

3a ? x?a ? 1, 当x ? ?2a, 或x ? a时,是单调递增的。 ? x ? 2a ? x ? 2a 解: a ? 0, f ( x) ? ? ? ? x ? a ? -1 ? 3a , 当 ? 2a ? x ? a时,是单调递减的。 ? x ? 2a x ? 2a ?
(Ⅰ)

由上知,当 a ? 4时, f ( x)在x ? [0,4]上单调递减,其最大值 为f (0) ? -1 ?
当a ? 4时,f ( x)在[0, a]上单调递减,在a,4]上单调递增。 [

3a 1 ? 2a 2

令f (4) ? 1 -

3a 1 ? f (0) ? , 解得: a ? (1,4], 即当 a ? (1,4]时, g (a)的最大值为 f (0); 4 ? 2a 2

当a ? (0,1]时,g (a)的最大值为 (4) f

3a ? ?1 - 4 ? 2a , 当a ? (0,1]时 ? 综上,g(a) ? ? ? 1 , 当a ? (1,??)时 ?2 ?
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两 点 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ) 满 足 题 目 要 求 , 则 P,Q 分 别 在 两 个 图 像 上 , 且

f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? ?1 .

? 3a ? ( x ? 2a) 2 , 当x ? ?2a, 或x ? a时 ? ? ? 3a f ' ( x) ? ? , 当 ? 2a ? x ? a时 2 ? ( x ? 2a ) ?0 ? a ? 4 ? ?
不妨设

3a ? 3a ? ? ?1, x1 ? (0, a), x2 ? (a,8] ? 3a ? ( x1 ? 2a)(x2 ? 2a) 2 ( x1 ? 2a) ( x2 ? 2a)2
2

? 3a ? 2ax2 ? 4a 2 ?a 3a ? 2ax2 ? 4a ?0 ? ? 0 ? x1 x2 ? 2a( x1 ? x2 ) ? 4a 2 ? 3a ? x1 ? ?? x2 ? 2a x2 ? 2a ?a ? x ? 8 2 ? ?0 ? 3 ? 2 x2 ? 4a ?2 x2 ? 3 ? 4a ?2 ? 4 a ? 3 ? 4 a 1 1 ? ? ? ? ?1 ? x2 ? 2a ? ?2 ? 4a ? 2 x2 ? ?2a ? 3 ? 4a ? a ? ,且0 ? a ? 4 ? a ? (0, ) 3 2 ?a ? x ? 8 ?2a ? 2 x ? 16 ?2 ? 4a ? 16 2 2 ? ? ?
所以,当 a ? (0, ) 时,函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处 的切线相互垂直.
19. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) 已知函数 )

1 2

f ( x) ? x ? a ln x(a ? R )
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

【答案】解:函数

a f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ? . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , x

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即x? y?2?0. (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.
20. (2013 年高考新课标 1(理) (本小题满分共 12 分)已知函数 )

f ( x) = x 2 ? ax ? b , g ( x) =

e x (cx ? d ) ,若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线

y ? 4x ? 2
(Ⅰ)求 a , b , c , d 的值;(Ⅱ)若 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) ,求 k 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由已知得

f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 ,
x

而 f ?( x) = 2x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c ) ,∴ a =4, b =