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第三讲:二维形式的柯西不等式


二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值, 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 ? a2 ? ? an ≥ n a1a2 an (ai ? R ? , i ? 1, 2, , n) . n 本节, 我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.<

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思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:

设 a, b, c, d 为任意实数.
(a ? b )(c ? d )
2 2 2 2





发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a ? b )(c ? d ) ≥ (ac ? bd ) . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

你能简明地写出这个定理的证明?
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b

思考解答

变形

运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 ? 思考 1:设 a, b ? R , a ? b ? 1, 求证: ? ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a ? b)( ? ) ≥ ( a ? ? b? ) ?4 a b a b 又 a ? b ? 1, 1 1 ∴ ? ≥4 a b

可以体会到,运用柯西不等式,思路一步到 位,简洁明了!解答漂亮!

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ≥ (ac ? bd )2 . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:

⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd . 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.

⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 ? b 2 ) ? (c 2 ? d 2 ) ≥ ac ? bd .

另外由这两个结论,你和以前学过的什么知识 会有联想.

定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 ? , ? 是两个向量 ,则 ? ? ≥ ? ? ? . 当且仅当 ? 是零向量或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立.
注:若 ? ? ( x1 , y1 ) , ? ? ( x2 , y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 cos ? , ? ? 2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
三角不等式

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 ? y12 )( x22 ? y22 ) ≥( x1 x2 ? y1 y2 )2 .
(发现)定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 ? R, 那么
( x12 ? y12 ) ? ( x22 ? y22 ) ≥ ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 当 且 仅 当

当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.

x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立.
y
P 1 ( x1 , y1 )

y

P 1 ( x1 , y1 )
| y1 - y2 |

O
P2 ( x2 , y2 )

x

这个图中有什么 不等关系?

P 2 ( x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |

x

柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 , 求 x ? 2 y 的最大值.

变式 2.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x ? 2 y ? 6 , 求 x 2 ? 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.

课堂练习

课堂练习 1: 已知 a,b? R ? , a+b=1, x1 , x2 ? R? ,

求证: ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ x1 x2
分析:如果对不等式左端用柯西不等式,就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下,情况就不同了 . 证明:∵ ? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? = ? ax1 ? bx2 ? ? ? ax2 ? bx1 ? 由柯西不等式可知

? ax1 ? bx2 ? ? ? bx1 ? ax2 ? ≥ ? a
2

x1 x2 ? b x1 x2

?

2

= ? a ? b ? x1 x2 ? x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题

37

课外思考: 1.已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1, 求证: a ? b ? 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等,求证: 2 2 2 9 ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c ? 3. 设 x1 , x2 , ?, xn ? R , 求证:
2 2
2 2

x x x x2 ? ? ? ? ≥ x1 ? x2 ? x2 x3 xn x1 ( 1984 年全国高中数学联赛题)

2 1

2

2 n ?1

2 n

? xn

作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题 37

已知 a 1 ? b2 ? b 1 ? a 2 ? 1, 求证: a 2 ? b2 ? 1 。 证明:由柯西不等式,得 2 2 2 2 2 2 ? ? ? a 1 ? b ? b 1 ? a ≤ ?a ? ? 1 ? a ? ? ?b ? ? 1 ? b ? ? ? ?1
1 ? b2 ? 当且仅当 时,上式取等号, a 1 ? a2 b

? ab ? 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ,
a b ? ?1 ? a
2 2 2

?? 1 ? b ? ,
2

2 2 a ? b ?1 。 于是 注: 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的

分析:我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆,9=? 1 ? 1 ? 1 ? ,
2

2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明: 1 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 1 2?a ? b ? c? ? ? ? ? ?? ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? a?b b?c c?a ? ? a?b b?c c?a ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ??? ? ?? a ? b ? b ? c ? c ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b?c ? ? c?a ? ? ? ? a ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

?

? ?

? ?

?

? 1 1 1 ? 2 ≥? a ? b ? ? b ? c ? ? c ? a ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 9 ? ? ? ? ? a ? b b ? c c ? a ? ? 2 2 2 9 ? ? ? ≥ a?b b?c c?a a?b?c ?a,b,c 各不相等,? 等号不可能成立,从而原不等式成立。

2

3.证明:在不等式的左端嵌乘以因式 ? x2 ? x3 ? 也即嵌以因式 ? x1 ? x2 ?

? xn ? ,由柯西不等式,得

? xn ? x1 ? ,

?

2 x1 x22 ? ? x2 x3

2 2 xn x ? ?1 ? n xn x1

? ? ( x2 ? x3 ?
2 2

? xn ? x1 )

2 2 ?? ? ? x ? x 1 ? ?? ? ?? 2 ? ? ? ? x ? ?? x 2 ? ? 3? ??

?? ? ?

? x ? ?? x ?
2 2 3

2

?

?x ? ? x ? ? ? ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? x ? ? x ? ? ? n? ? 1? ? 2 2 ? xn ? x1 ? ? ?

? ? ? ?
xn ?1

? x x2 1 ≥? ? x2 ? ? x3 ? ? x x3 ? 2 ? ? x1 ? x2 ?
2 x1 x22 于是 ? ? x2 x3

? ? ? xn ? ? x1 ? ? xn x1 ? xn

? xn ? ,
2
2 2 xn x ? ?1 ? n ≥ x1 ? x2 ? xn x1

? xn .


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