tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2009届全国名校高三模拟试题汇编——圆锥曲线解答题


2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线
三、解答题 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知椭圆的两个焦点 F1 (0,1) 、 F2 (0, ?1) ,直线 y = 4 是它的一条 准线, A1 、 A2 分别是椭圆的上、下两个顶点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设以原点为顶点, A1 为焦点的抛物线为 C ,若过点 F1 的直线与 C 相交于不同 M 、 N 的两点、 ,求 线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程.

? x = 4k ( x, y ) ,令 ? ,消去参数 k ,得到 x 2 = 4( y ? 1) 为所求轨迹方程. 2 ? y = 4k + 1
x2 y2 解: (Ⅰ)设椭圆方程为a2+b2==1(a>b>0) a2 由题意,得 c=1, c =4 ? a=2,从而 b2=3

∴椭圆的方程

y 2 x2 + = 1; 4 3

(Ⅱ)设抛物线 C 的方程为 x2=2py(p>0) p 由2=2 ? p=4

∴抛物线方程为 x2=8y 设线段 MN 的中点 Q(x,y),直线 l 的方程为 y=kx+1 由?

? y = kx + 1 ?x = 8y
2

得 x ? 8kx ? 8 = 0 , (这里△≥0 恒成立) ,
2

设 M(x1,y1),N(x2,y2) 由韦达定理,得 x1 + x2 = 8k , y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 = 8k + 2 ,
2

所以中点坐标为 Q (4k , 4k 2 + 1) , ∴x=4k,y=4k2+1 消去 k 得 Q 点轨迹方程为:x2=4(y-1)

x2 y2 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b 2、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第一次调考)如图,设 F 是椭圆 的左焦点,直线
l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知

| MN |= 8, 且 | PM |= 2 | MF | .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3) (理科)求三角形 ABF 面积的最大值。 解(1)Q| MN |= 8 ∴ a = 4

又Q| PM |= 2 | MF | 得 ∴c = 2

a2 1 ? a = 2(a ? c)即2e 2 ? 3e + 1 = 0 ? c = 或e = 1(舍去) c 2 2 2 2 b = a ? c = 12

x2 y 2 ∴ 椭圆的标准方程为 + =1 16 12 ………………………………(文 6 分,理 4 分) (2)当 AB 的斜率为 0 (2)
时,显然 ∠AFM = ∠BFN = 0. 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,AB 方程为 x = my ? 8, 代入椭圆方程 整理得

(3m 2 + 4) y 2 ? 48my + 144 = 0

? = ( 48m) 2 ? 4 × 144(3m 2 + 4), y1 + y 2 =


48m 3m 2 + 4

y1 ? y 2 =

144 3m 2 + 4

∴ k AF + k BF = =

y1 y2 y1 y2 + = + x1 + 2 x 2 + 2 my1 ? 6 my 2 ? 6

2my1 y 2 ? 6( y1 + y 2 ) =0 (my1 ? 6)(my 2 ? 6)

∴ k AF + k BF = 0, 从而∠AFM = ∠BFN .
综上可知:恒有 ∠AFM = ∠BFN .………………………………(文 13 分,理 9 分)

S ?ABF = S ?PBF ? S ?PAF
(3) (理科)

1 72 m 2 ? 4 = | PF | ? | y 2 ? y1 |= 2 3m 2 + 4
≤ 72 2 3 ? 16 =3 3

=

72 m 2 ? 4 = 3( m 2 ? 4) + 16

72 3 m ?4 +
2

16 m2 ? 4

3 m2 ? 4 =
当且仅当

16 m2 ? 4

即m 2 =

28 3
(此时适合△>0 的条件)取得等号.

∴ 三角形 ABF 面积的最大值是 3 3………………………………(理 13 分)
3、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知圆 C 方程为: x 2 + y 2 = 4 .

(Ⅰ)直线 l 过点 P (1, 2 ) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |= 2 3 ,求直线 l 的方程;

uuur uuuu uuur r (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ = OM + ON ,求动
点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x = 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距 离为 2 3 满足题意

(

) (

)

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k + 2 = 0 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 = 2 4 ? d ,得 d = 1
2

∴1 =

| ?k + 2 | k 2 +1

,k =

3 , 4

故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0 综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ( y0 ≠ 0 ) Q 点坐标为 ( x, y ) , 则 N 点坐标是 (0, y 0 ) ∵ OQ = OM + ON , ∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 )
2 2

6分

uuur

uuuu uuur r

即 x0 = x ,
2

y0 =

y 2

又∵ x 0 + y 0 = 4 ,∴ x +

y2 = 4( y ≠ 0) 4

∴ Q 点的轨迹方程是

x2 y 2 + = 1( y ≠ 0) , 4 16
12 分
x2 y2 ? = 1 的左、右焦点, O 为坐标原 a 2 b2
r uuuu r uuuu | OF1 | | OM |

轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

4、(湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)若 F1 , F2 为双曲线

uuuu uuuu uuu r r r 1 点,点 P 在双曲线左支上,点 M 在右准线上,且满足: F1O = PM , OP = λ ( OFr + OM )( λ > 0) . uuuu uuuu r

(1)求此双曲线的离心率; (2)若此双曲线过点 N (2, 3) ,且其虚轴端点分别为 B1 , B2 ( B1 在 y 轴正半轴上),点 A, B 在双曲线上,且
uuuu uuuu r r r uuuu uuuu r B2 A = ? B2 B, 当 B1 A?B1 B = 0 时,求直线 AB 的方程.

解:(I)由 F1O = PM ,知四边形 PF,OM 为平行四边形,……………………(1 分)

r uuuu

r uuuu

uuuu r uuuu r r uuu OF1 OM r 又 OP = λ ( uuuu + uuuu )(λ > 0), r | OF1 | | OM |

∴OP 为∠F1OM 的角平分线.…………………………………………………………(3 分) 则□PF1OM 为菱形.
uuuu r uuur uuuu r uuuu r Q| OF1 |= c ,∴| PF1 |=| PM = c ,? | PF2 |= 2u + c
r uuuu PF2 2a + c = e ,∴ = e …………………………………………………………(4 分) 又 | PM |

即1+

2 = e, e 2 ? e ? 2 = 0 e

∴ e = 2 …………………………………………(6 分)

(II)由 e=2 有: c = 2a ,∴ b 2 = c 2 ? a 2 = 3a 2 ,………………………………(7 分) ∴双曲线方程可设为
∴ 4 3 ? = 1, a 2 = 3 a 2 3a 2 x2 y2 ? 2 = 1 ,又点 N(2, 3 )在双曲线上, 2 a 3a

∴双曲线方程为

x2 y2 ? = 1 ………………(9 分) 3 9

从而 B1(0,3),B2(0,-3).
uuuu r uuuu r Q B2 A = ? B2 B ,∴ A, B2 , B 共线.………………………………………………(10 分)

设 AB 的方程为:y=kx-3 且设 A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ), 由 ? x2
? y = kx ? 3 ? ? (3 ? k 2 ) x 2 + 6kx ? 18 = 0 ………………………………(11 分) y2 ? =1 ? 9 ? 3
?6k ?18 ?18 , x1 x2 = , y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) ? 6 = , 3 ? k2 3 ? k2 3 ? k2

∴ x1 + x2 =

y1 y2 = ( kx1 ? 3)( kx2 ? 3) = k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 + x2 ) + 9 ( ?18) 3k ? ( ?6k ) ? +9=9 3 ? k2 3 ? k2 uuuu r uuuu r 又: B1 A = ( x1 , y1 ? 3) B1 B = ( x2 , y2 ? 3) , = k2 ?

由 B1 A ? B1 B = 0 ? x1 x2 + y1 y2 ? 3( y1 + y2 ) + 9 = 0 得:
?18 ?18 + 9? 3? + 9 = 0 ? k 2 = 5, k = ± 5 . 3 ? k2 3 ? k2

r uuuu uuuu r

∴ AB : y = ± 5 ? 3 ………………………………………………………………(13 分)

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 5、(江苏运河中学 2009 年高三第一次质量检测)设椭圆 C: a 的左焦点为 F,上顶
uuu 8 uuu r r AP= PQ 5 . 点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且
⑴求椭圆 C 的离心率;

⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l: x + 3 y + 3 = 0 相切,求椭圆 C 的方程. ⑴解:设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)
新疆 王新敞
奎屯

A(0,b)知

FA = (c, b), AQ = ( x0 ,?b)
2

b2 Q FA ⊥ AQ,∴ cx0 ? b = 0, x0 = c
P ( x1 , y1 ),由AP =


y ------- 3 分 F O Q x A P --------5 分

8 8b 2 5 PQ x1 = , y1 = b 5 13c 13 ,得

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c + 13 =1 2 b2 因为点 P 在椭圆上,所以 a (
2 1 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e + 3e ? 2 = 0 ,故椭圆的离心率 e=2---8 分

2b 2 = 3ac, 得
⑵由⑴知

c 1 1 1 3 b2 3 由 = , 得c = a ( a ,0 ) = a a 2 2 于是 F(- 2 a,0) Q 2 c 2 , , |

1 a +3| 2 =a 1 1 2 △AQF 的外接圆圆心为(2a,0) ,半径 r=2|FQ|=a 所以 , x2 y2 + =1 3 -----------15 解得 a=2,∴c=1,b= 3,所求椭圆方程为 4
6、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)设椭圆方程为 x +
2

y2 =1,求点 M(0,1)的直线 l 4

交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 P 满足 OP =



→ 1 → (OA+ OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点,①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立并消元得: (4+k2)x2+2kx-3=0, x1+x2=-
→ → 2k 8 1 → , y1+y2= ,由 OP = (OA+ OB) 2 4+ k2 4+ k2

得: (x,y)

x1 + x 2 k ? ?x = 2 = ? 4 + k 2 1 ? = (x1+x2,y1+y2) ,即: ? 2 ? y = y1 + y 2 = 4 ? 2 4+ k2 ?
消去 k 得:4x2+y2-y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为:4x2+y2-y= 0.

x2 y2 6 7、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)已知椭圆 C: 2 + 2 =1( a > b > 0 )的离心率为 , 3 a b
短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△ AOB 面积的最大值.

3 , 2

?c 6 , ? = 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?a = 3, ?
∴ b = 1 ,∴ 所求椭圆方程为

x2 + y 2 = 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB =

3.

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y = kx + m .

m
由已知

1+ k

2

=

3 3 ,得 m 2 = ( k 2 + 1) . 4 2

把 y = kx + m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 + 1) x 2 + 6kmx + 3m 2 ? 3 = 0 ,

3( m 2 ? 1) ?6km , x1 x2 = . ∴ x1 + x2 = 2 3k + 1 3k 2 + 1

? 36k 2 m2 12(m 2 ? 1) ? 2 ? ∴ AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 = (1 + k 2 ) ? 2 2 3k 2 + 1 ? ? (3k + 1) ?

=

12(k 2 + 1)(3k 2 + 1 ? m 2 ) 3(k 2 + 1)(9k 2 + 1) = (3k 2 + 1) 2 (3k 2 + 1) 2
12k 2 12 12 = 3+ ( k ≠ 0) ≤ 3 + = 4. 4 2 1 9k + 6 k + 1 2×3 + 6 2 9k + 2 + 6 k 1 3 ,即 k = ± 时等号成立.当 k = 0 时, AB = 3 , 2 k 3

= 3+

当且仅当 9k 2 =

综上所述 AB max = 2 .


当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S =

1 3 3 . × AB max × = 2 2 2

8、 (广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)已知长方形 ABCD, AB=2 2 , BC=1. 以 AB 的中

点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

y
D C

A 解:(Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2 ,0 , 设椭圆的标准方程是 则 2a = AC + BC =

O

B

x

(

)(

2 ,0 ,

图 ) ( 2 ,1).……1 8分

x2 y2 + = 1(a > b > 0 ) .……2 分 a 2 b2

(

2? ? 2

(

))

2

+ (1 ? 0 ) +
2

(

2? 2

)

2

+ (1 ? 0 ) = 4 > 2 2 ,∴ a = 2 ……4 分
2

∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 4 ? 2 = 2 .……5 分 x2 y2 ∴ 椭圆的标准方程是 + = 1. ……6 分 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y = kx + 2(k ≠ 0 ) .……7 分
设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ).

y
D C

? y = kx + 2 联立方程: ? 2 2 ?x + 2 y = 4
消去 y 整理得, 1 + 2k 2 x 2 + 8kx + 4 = 0 有 x1 + x 2 = ?

(

)

A

O

B

x

8k 4 , x1 x 2 = ……9 分 图8 2 1 + 2k 1 + 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ⊥ ON ,所以 x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ,……10 分
所以, x1 x 2 + (kx1 + 2 )(kx 2 + 2 ) = 0 ,

即 1 + k 2 x1 x 2 + 2k ( x1 + x 2 ) + 4 = 0

(

)

所以,

4 1+ k 2 16k 2 ? +4=0 1 + 2k 2 1 + 2k 2

(

)

8 ? 4k 2 即 = 0, ……11 分 得 k 2 = 2, k = ± 2. ……12 分 2 1 + 2k 所以直线 l 的方程为 y = 2 x + 2 ,或 y = ? 2 x + 2 .……13 分
所以存在过 P(0,2)的直线 l : y = ± 2 x + 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. ……14 分 9、(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)已知向量 e1 = ( a , 0) , e2 = (0 , 1) ,经过定点 A( ? a , 0) 且方向向量

为 ? e1 + λ e2 的直线与经过定点 B( a , 0) 且方向向量为 2λ e1 + e2 的直线交于点 M,其中 λ ∈ R,常数 a>0. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 a =

6 ,过点 F (1, 0) 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点,求 FC ? FD 的取值范围. 2

设点 M ( x , y ) , 则 AM = ( x + a , y ) , BM = ( x ? a , y ) , 又 AM ∥ ( ?e1 故?

+ λe 2 ) = ( ?a , λ ) , BM ∥ (2λe1 + e 2 ) = (2λa , 1)

?λ ( x + a) = ? ay ,消去参数 λ ,整理得点M的轨迹方程为 ?2λay = x ? a

x 2 + 2a 2 y 2 = a 2 (除去点 A(? a , 0) , B (a , 0) )…………5 分
x2 y2 , + = 1 (除去点 A( 6 , 0), B (? 6 , 0) ) 2 2 6 2 1 ( ) 2 2 若 设 直 线 CD 的 方 程 为 y = k ( x ? 1) ( k ≠ 0 , 否则CD过A点) , C ( x1 , y 1 ) , D ( x 2 , y

6 (2)由 a = 得点 M 轨迹方程为 2

2) , 则 由

? y = k ( x ? 1) 2 2 2 2 2 消 去 y 得 2(3k + 1) x ? 12k + 3( 2k ? 1) = 0 , 显 然 ? = 24( k + 1) > 0 , 于 是 ? 2 2 ?2 x + 6 y = 3
6k 2 3(2k 2 ? 1) x1 + x2 = 2 , x 1 x2 = , 3k + 1 2(3k 2 + 1)
设 FC ? FD 因此 m =
2

= m , FC = ( x1 ? 1, y 1 ) , FD = ( x2 ? 1, y

2),

FC ? FD = ( x1 ? 1)( x2 ? 1) + y1 y 2 = ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) + k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

3(2k 2 ? 1) 6k 2 = (1 + k )[ x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1] = (1 + k )[ ? + 1] , 2(3k 2 + 1) 3k 2 + 1
即m =

?

2m + 1 1 1 k 2 +1 ? k2 = > 0 (6m + 1 ≠ 0) ? ? < m < ? , 2 6m + 1 2 6 2(3k + 1)
1 1 ⊥ x 轴,则 x1 = x2 = 1, y 1 y 2 = ? ,于是 m = ? , 6 6
1? ? 1 , ? ? .…………………………12 分 6? ? 2
2009 届 高 三 高 考 模 拟 ) 如 图 , 已 知 直 线

若直线 CD

综上可知 FC ? FD = m ∈ ? ?

10 、 ( 辽 宁 省 大 连 市 第 二 十 四 中 学

L : x = my + 1过椭圆C :
2

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直 a2 b2

线 G : x = a 上的射影依次为点 D,K,E. (1)若抛物线 x 2 = 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程;

(2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA = λ1 AF , MB = λ 2 BF ,当 m 变化时,求 λ1 + λ 2 的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的 坐标,并给予证明;否则说明理由. 解: (1)易知 b =

3

∴ b 2 = 3, 又F (1,0)

∴c = 1

a2 = b2 + c2 = 4 x2 y2 + = 1 ………………2 分 4 3
1 ) m

∴ 椭圆C的方程为

(2)Q l与y轴交于M (0,?

设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? x = my + 1 由? 2 2 ?3x + 4 y ? 12 = 0
? = 144(m 2 + 1) > 0

∴ (3m 2 + 4) y 2 + 6my ? 9 = 0



1 1 2m + = (*) …………………………………………4 分 y1 y 2 3 ∴ ( x1 , y1 + 1 ) = λ1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

又由 MA = λ1 AF

∴ λ1 = ?1 ?

1 my1 1 my 2 1 1 1 2 8 ( + ) = ?2 ? = ? m y1 y 2 3 3

同理 λ 2 = ?1 ?

∴ λ1 + λ 2 = ?2 ?

8 ∴ λ1 + λ 2 = ? ……………………………………6 分 3
(3)Q F (1,0), k = ( a 2 ,0)

先探索, m=0 时, 当 直线 L⊥ox 轴, ABED 为矩形, 则 由对称性知, 与 BD 相交 FK 中点 N, N ( AE 且

a2 +1 ,0 ) 2

猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 +1 ,0) ……………………8 分 2

2 2 证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), E ( a , y 2 ), D ( a , y1 )

当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x = my + 1 Q? 2 2 即(a 2 + b 2 m 2 ) y 2 + 2mb 2 y + b 2 (1 ? a 2 ) = 0 2 2 2 2 ?b x + a y ? a b = 0 ? = 4a 2 b 2 (a 2 + m 2 b 2 ? 1) > 0(Q a > 1) 又K AN = ? y1 ? y2 , K EN = a ?1 1? a2 ? my1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 2 = 1? a2 a2 ?1 ? my1 ) ( 2 2

(Q

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 + y 2 ) ? my1 y 2 = ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a + m 2b 2 a + m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) = = 0) a 2 + m 2b 2 ∴ A、N、E 三点共线

∴ K AN = K EN

同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 +1 ,0) ……………………12 分 2 6 ), F (? 2 ,0) 是椭 2

11、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知椭圆 C 过点 M (1, 圆的左焦点,P、Q 是椭圆 C 上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (3)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。

6 ? ?1 ?a 2 = 4 x y ? 4 ? 解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1 ,由已知,得 ? 2 + 2 = 1 ,解得 ? 2 a b a b ?b = 2 ? 2 2 ? ?a ? b = 2 ?
2 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 + = 1 …………3 分 4 2 x2 y 2 + = 1 ,可知 4 2

(2)证明:设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 。由椭圆的标准方程为

| PF |= ( x1 + 2)2 + y12 = ( x1 + 2)2 + 2 ?

x12 2 = 2+ x1 2 2

同理 | OF |= 2 +

2 2 x2 ,| MF |= 2 + ………4 分 2 2
2 2 ) = 4+ ( x1 + x2 ) 2 2

∵ 2 | MF |=| PF | + | QF | ,∴ 2(2 + ∴ x1 + x2 = 2 …………5 分 ①当 x1 ≠ x2 时,由 ?

2 ? 2 ? x1 + 2 y1 = 4 2 2 2 2 ,得 x1 ? x2 + 2( y1 ? y2 ) = 0 2 2 ? x2 + 2 y2 = 4 ?

从而有

y1 ? y2 1 x +x =? ? 1 2 x1 ? x2 2 y1 + y2 y1 ? y2 1 =? x1 ? x2 2n
…………6 分

设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 k PQ =

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n = 2n( x ? 1) …………7 分 ∴ (2 x ? 1) n ? y = 0 ,该直线恒过一定点 A( , 0) …………8 分 ②当 x1 = x2 时, P (1, ?

1 2

6 6 6 6 ), Q(1, ) 或 P (1, ), Q(1, ? ) 2 2 2 2 1 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( , 0) , ∴线段 PQ 的中垂线过点 A( , 0) …………10 分 (3)由 A( , 0) ,得 B ( ?

1 2

1 2

1 , 0) 。 2

又 ?2 ≤ x1 ≤ 2, ?2 ≤ x2 ≤ 2 ,∴ x1 = 2 ? x2 ∈ [0, 2]

1 1 x2 1 7 9 | PB |2 = ( x1 + ) 2 + y12 = ( x1 + )2 + 2 ? 1 = ( x1 + 1) 2 + ≥ …………12 分 2 2 2 2 4 4
∴ | PB |min =

3 时,点 P 的坐标为 (0, ± 2) …………14 分 2

12 、 ( 陕 西 省 西 安 铁 一 中 2009 届 高 三 12 月 月 考 ) 如 图 , 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

3 x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 e= ,左右两个焦分别为 F1、F2 .过右焦点 F2 且与 x 轴垂直的直线与 2 2 a b

椭圆 C 相交 M、N 两点,且|MN|=1 .

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB = m ? 4 , m ∈ R )试求点 P 的轨迹方程, ( 使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上. 解 : ( Ⅰ ) ∵ MF2 ⊥ x 轴 , ∴ | MF2 |=

uuu uuu r r

1 ,由椭圆的定义得: 2

| MF1 | +

1 = 2a 2

(2 分)
1 4



| MF1 |2 = (2c) 2 +





1 1 (2a ? ) 2 = 4c 2 + 2 4
2



(4 分)

又e =

3 3 2 2 得c = a 2 4
1 2 a =1, 4
2

∴ 4a ? 2a = 3a ,
2

Qa > 0

∴a = 2

∴ b2 = a2 ? c2 =

(6 分)

∴所求椭圆 C 的方程为 x + y 2 = 1 . 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA = ( ?2 ? x, ? y ) , AB = (2, ?1) , 由 PA ? AB = m -4 得- 4 ? 2 x + y = m ? 4 , ∴点 P 的轨迹方程为 y = 2 x + m . (9 分)

(7 分)

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:

y0 + 1 1 y ?1 x ?4 ? 4 m 2m ? 3 , , y0 = =? , 0 = 2 ? 0 + m ,解得: x0 = 5 5 x0 2 2 2
∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ (
2

(12 分)

?4 ? 4 m 2 2m ? 3 2 ) + 4( ) = 4, 5 5

整理得 2m ? m ? 3 = 0 解得 m = ?1 或 m = ∴点 P 的轨迹方程为 y = 2 x ? 1 或 y = 2 x + 经检验 y = 2 x ? 1 和 y = 2 x +

3 2
(14 分)

3 , 2

3 都符合题设, 2 3 . 2
(15 分)

∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y = 2 x ? 1 或 y = 2 x +

x2 y2 13、(上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)椭圆 C : 2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 a b
P 在椭圆 C 上,且 PF1 ⊥ F1 F2 ,且 PF1 =

4 14 , PF2 = . 3 3

(1)求椭圆 C 的方程. (2)若直线 l 过圆 x + y + 4 x ? 2 y = 0 的圆心 M ,交椭圆 C 于 A 、 B 两点,且 A 、 B 关于点 M 对称,求
2 2

直线 l 的方程.
2

解:(1) F1 F2

= 20

∴ F1 F2 = 2 5 = 2c ? c = 5
又 2a = PF1 + PF2 = 6 ? a = 3

∴ 椭圆C :

x2 y 2 + =1 9 4

? y = k (x + 2) + 1 ? (2) ? x 2 y 2 ? (4 + 9k )x 2 + 36k 2 + 18k + 36k 2 + 36k ? 27 = 0 =1 ? + 4 ?9

(

)

Q A、B关于M对称



x1 + x2 18k 2 + 9k 8 =? = ?2 ? k = 2 2 4 + 9k 9

∴l : y =

8 (x + 2) + 1 即 8 x ? 9 y + 25 = 0 9

14、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)在直角坐标平面内,已知点 A(2, 0), B ( ?2, 0) ,

3 P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 斜率之积为 ? . 4
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 E、F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为 (x, y ) ,依题意,有

1 2

y y 3 ? = ? ( x ≠ ±2) . x?2 x+2 4
化简并整理,得

………………… 3 分

x2 y 2 + = 1( x ≠ ±2) . 4 3
∴动点 P 的轨迹 C 的方程是

x2 y 2 + = 1( x ≠ ±2) . 4 3

………………… 5 分

( Ⅱ ) 解 法 一 : 依 题 意 , 直 线 l 过 点 ( , 0) 且 斜 率 不 为 零 , 故 可 设 其 方 程 为

1 2

x = my +

1 , 2

…………………………………………………………………………6 分

由方程组

1 ? ? x = my + 2 ? ? 2 2 ?x + y =1 ?4 3 ?

消去 x ,并整理得

4(3m 2 + 4) y 2 + 12my ? 45 = 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

∴ y1 + y2 = ?
∴ y0 =

3m 3m 2 + 4

,……………………………………………………… 8 分

y1 + y2 3m =? 2 2(3m 2 + 4)
1 2 = , 2 2 3m + 4
…………………………………………… 10 分

∴ x0 = my0 +

∴k =

y0 m = , x0 ? 2 4m2 + 4

(1)当 m = 0 时, k = 0 ; (2)当 m ≠ 0 时,

…………………………………………… 11 分

k=

1 4m + 4 m

Q| 4m +

4 4 |= 4 | m | + ≥8 m |m|

∴0 <

1 4m + 4 m



1 . 8

1 . 8 1 1 ∴? ≤ k ≤ 且k ≠ 0 . 8 8 ∴ 0 <| k |≤

………………………………………… 13 分

综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ? 解法二:依题意,直线 l 过点 ( , 0) 且斜率不为零.

1 1 ≤ k ≤ .……………… 14 分 8 8

1 2

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时, M 点的坐标为 ( , 0) ,此时, k = 0 ; (2) 当直线 l 的斜率存在且不为零时,设直线 l 方程为 y = m( x ? ) , 由方程组

1 2

…………6 分

1 2

…………7 分

1 ? ? y = m( x ? 2 ) ? ? 2 2 ?x + y =1 ?4 3 ?

消去 y ,并整理得

(3 + 4m 2 ) x 2 ? 4m2 x + m 2 ? 12 = 0
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y0 ) ,则

∴ x1 + x2 =

4m 2 3 + 4m 2

,……………………………………………………… 8 分

x1 + x2 2m 2 ∴ x0 = = 2 3 + 4m 2
1 3m ∴ y0 = m( x0 + + ? ) = ? , 2 2(3 + 4m 2 ) ∴k = y0 m = = x0 ? 2 4m 2 + 4 1 1 4(m + ) m (m ≠ 0) ,
………………… 10 分

Q| m +

1 1 |=| m | + ≥2 m |m|

1 . 8 1 ∴ 0 <| k |≤ . 8 1 1 ∴? ≤ k ≤ 且k ≠ 0 . 8 8 ∴ 0 <| k |≤

………………………………………… 13 分

综合(1)、(2)可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是: ?

1 1 ≤ k ≤ .……………… 14 分 8 8

x2 y2 15、(厦门市第二外国语学校 2008—2009 学年高三数学第四次月考)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: 2 + 2 =1 a b

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛物线 C2: y 2 = 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交 点,且|MF2|=

5 . 3

(Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A,B 两点,若 OA? OB = 0 ,求直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)由 C2 : y 2 = 4 x 知 F2 (1, . 0) 设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 =

uuu uuu r r

5 5 2 2 6 ,所以 x1 + 1 = ,得 x1 = , y1 = . 3 3 3 3

8 ? 4 ? 2 + 2 = 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c = 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 = a 2 ? 1. ?
消去 b 并整理得
2

1 9a 4 ? 37 a 2 + 4 = 0 , 解得 a = 2 ( a = 不合题意,舍去) . 3 x2 y 2 + = 1. 4 3

故椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)由 MF1 + MF2 = MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

uuuu uuuu r r

uuuu r

2 6 故 l 的斜率 k = 3 = 6 .设 l 的方程为 y = 6( x ? m) . 2 3

?3 x 2 + 4 y 2 = 12, ? 2 2 由? 消去 y 并化简得 9 x ? 16mx + 8m ? 4 = 0 . ? y = 6( x ? m), ? 16m 8m 2 ? 4 设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) , x1 + x2 = , x1 x2 = . 9 9
因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 .

uuu r

uuu r

x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 6( x1 ? m)( x2 ? m) = 7 x1 x2 ? 6m( x1 + x2 ) + 6m 2 8m 2 ? 4 16m 1 = 7? ? 6 m? + 6m 2 = (14m 2 ? 28) = 0 . 9 9 9
2 2 所以 m = ± 2 .此时 ? = (16m) ? 4 × 9(8m ? 4) > 0 ,

故所求直线 l 的方程为 y =

6 x ? 2 3 ,或 y = 6 x + 2 3 .

x2 y2 16、(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)已知双曲线 ? = 1, ,P 是其右支上任一点,F1、F2 分别是 3 9
双曲线的左、右焦点,Q 是 P F1 上的点,N 是 F2Q 上的一点。且有 PN ? F2 N = 0, F2 N = NQ. 求 Q 点的轨迹方程。

解:由已知得c = 2 3 ∴ F1 (?2 3, 0), F2 (2 3, 0) LLL 2分 ∴ PN 垂直平分F2Q 由双曲线的定义得 P F1 ? P F2 = 2 3. ∴ F1 Q = 2 3 LLL 4分 ∴ Q的轨迹是以F1为圆心,半径为2 3的一段圆弧。 LLL8分
Q 渐进线为y = ± 3 x,过F1作与y = 3 x平行的直线与圆弧在第二象限

的交点为( 3,3) LL10分 ∴ Q的轨迹方程为 x + 2 3

(

)

2

+ y 2 = 12.(? 3 < x ≤ 0) L LL12分

uuu uuu r r j = (0,1), ?OFP的面积为2 3 ,且 OF ? FP = t , uuuu r r 3 uuu r OM = OP + j .(1)设 4 < t < 4 3, 求向量OF与FP的夹角θ 的取值范围; 3 2 (2) 设以原点 O 为中心, 对称轴在坐标轴上, F 为右焦点的椭圆经过点 M, | OF |= c, t = ( 3 ? 1)c , 当 | OP | 以 且
取最小值时,求椭圆的方程.

17 、 (2009 届 福 建 省 福 鼎 一 中 高 三 理 科 数 学 强 化 训 练 综 合 卷 一 ) 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 向 量

解: (1)由 2 3 = 1 | OF | ? | FP | ? sin θ , 得 | OF | ? | FP |= 4 3 ,由 cos θ = OF ? FP = t sin θ ,得 tan θ = 4 3 . ………………3 分
2 sin θ | OF | ? | FP | 4 3
t

Q4 < t < 4 3

∴1 < tan θ < 3

Q θ ∈ [0, π ] ∴夹角 θ 的取值范围是(

π π

, )……………6 分 4 3

(2) 设P ( x 0 , y 0 ), 则FP ( x 0 ? c, y 0 ), OF = (c,0).

∴ OF ? FP = ( x0 ? c, y 0 ) ? (c,0) = ( x0 ? c)c = t = ( 3 ? 1)c 2

∴ x0 = 3c

S ?OFP

4 3 ……………8 分 ?0 1 4 3 4 3 = | OF | ? | y 0 |= 2 3 ∴ y 0 = ± 又由 c = , 得x0 = 3c 2 c x0 ? c ( 3 ? 1)c 2
4 3 2 4 3 ) ≥ 2 3c ? = 2 6 ………………10 分 c c

2 2 ∴| OP |= x 0 + y 0 = (3c ) 2 + (

∴当且仅当 3c =
∴OM =

4 3 , 即c = 2时, | OP | 取最小值2 6 , 此时, OP = (2 3 ,2 3 ) c

3 ( 2 3 ,2 3 ) + (0,1) = ( 2,3) …………………………………………12 分 3

椭圆长轴 2a = (2 ? 2) 2 + (3 ? 0) 2 + (2 + 2) 2 + (3 ? 0) 2 = 8

∴ a = 4, b 2 = 12

故所求椭圆方程为

x2 y2 + = 1 .……………………………………………………14 分 16 12

18、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 2 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1- , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于 2 2

轴上,离心率 e =

uu r uu r 相异两点 A、B,且 AP =λ PB .
(1)求椭圆方程; (2)若 OA+λ OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

uu r

uu r

uu r

y2 x2 2 c 2 2 2 2 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c =a -b ,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2
∴a=1,b=c= 2 , 2

x2
2

故 C 的方程为:y + =1 1 2 → → (2)由AP =λPB , OA+λ OB = 4OP → → ∴λ+1=4,λ=3 或 O 点与 P 点重合OP = 0 → → 当 O 点与 P 点重合OP = 0 时,m=0 当 λ=3 时,直线 l 与 y 轴相交,则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) B(x2,y2) ,
? ?y=kx+m ? 2 2 ? ?2x +y =1
2 2 2 2

5′

uu r

uu r

uu r

7′

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0
2 2 2 2

Δ=(2km) -4(k +2) m -1)=4(k -2m +2)>0 (*) (
2

x1+x2=

-2km m -1 , x1x2= 2 k2+2 k +2

11′

?x1+x2=-2x2 ? → ∵ AP =3PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ? ?x1x2=-3x2
2

-2km 2 m -1 2 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2
2 2 2 2

整理得 4k m +2m -k -2=0
2

13′ 2-2m , 2 4m -1

m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2=
2

1 4

1 4

2-2m 1 1 2 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 4m -1 2 2
2 2

容易验证 k >2m -2 成立,所以(*)成立

1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪ ,1)∪ ( {0} 2 2

16′

19、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x = ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 = ?16 时,直线 AB 恒过定点?若存在, 求出定点坐标;若不存在,说明理由. 解: (1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x = ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.所以,点 M 的 轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且

p = 1, p = 2 , 2

所以所求的轨迹方程为 y 2 = 4 x ---------5 分 (2) 假设存在 A,B 在 y = 4 x 上,
2

所以,直线 AB 的方程: y ? y1 =

y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 = 2 (x ? 1 ) y2 y2 x2 ? x1 4 ? 1 4 4

4 y12 即 AB 的方程为: y ? y1 = (x ? ) ,即 ( y1 + y2 ) y ? y12 ? y1 y2 = 4 x ? y12 y1 + y2 4
即: ( y1 + y2 ) y + (16 ? 4 x ) = 0 ,令 y = 0 ,得 x = 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 20、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴 长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m( m ≠ 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不 同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ------1 分 a 2 b2

?a = 2b ?a 2 = 8 ? ? 则? 4 ------------------3 分 解得? 2 1 ?b = 2 ?a 2 + b2 = 1 ? ? x2 y2 + = 1 -------------------------4 分 8 2

∴椭圆方程

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m

又 K OM =

1 2 1 x + m -----------------------------5 分 2

∴l 的方程为: y =

1 ? ?y = 2 x + m ? 由? 2 2 ?x + y =1 ?8 2 ?

∴ x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

∴ ? = (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) > 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 < m < 2且m ≠ 0} -------------------8 分 (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可--9 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则k1 =

y1 ? 1 y ?1 , k2 = 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0 可得 x1 + x 2 = ?2m, x1 x 2 = 2m 2 ? 4 ----------------------------10 分
而 k1 + k 2 =

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) + ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,+ = x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 + m ? 1)( x 2 ? 2) + ( x 2 + m ? 1)( x1 ? 2) 2 = 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) = = = x1 x 2 + (m + 2)( x1 + x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 + (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? 2m 2 + 4 m ? 4 m + 4 = 0 -----------------------13 分 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.-------------- 14 分 21、(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)设椭圆 C : 圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)椭圆 C 上一动点 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) ,求 3 x1 ? 4 y1 的取值范围.

x2 y2 2 ,点 A 是椭 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 e = 2 2 a b

解:(1)依题意知, 2a = 4,∴ a = 2. ∵e = ∴c =

…… 2 分

c 2 = , a 2 2, b = a 2 ? c 2 = 2 .
x2 y2 + = 1. 4 2
…… 4 分

∴所求椭圆 C 的方程为

…… 6 分

(2)∵ 点 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 y = 2 x 的对称点为 P1 ( x1 , y1 ) , )

? y 0 ? y1 ? x ? x × 2 = ?1, ? 0 1 ∴ ? y 0 + y1 x + x1 ? = 2× 0 . ? 2 2 ?
解得: x1 =

……8 分

4 y0 ? 3 x0 3 y + 4 x0 , y1 = 0 . 5 5

……10 分

∴ 3 x1 ? 4 y1 = ?5 x 0 . ∵ 点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C :

……12 分

x2 y2 + = 1 上, 4 2

∴ ? 2 ≤ x 0 ≤ 2 , 则 ? 10 ≤ ?5 x 0 ≤ 10 . ∴ 3 x1 ? 4 y1 的取值范围为 [? 10, 10] . ……14 分

22、(广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)设动点 P ( x, y )( x ≥ 0) 到定点 F ( , 0) 的距离 比它到 y 轴的距离大

1 2

1 .记点 P 的轨迹为曲线 C 2

(1)求点 P 的轨迹方程; (2) 设圆 M 过 A(1, 0) , 且圆心 M 在 P 的轨迹上,EF 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, M 运动时弦长 | EF | 当 是否为定值?请说明理由. 解: (1)依题意, P 到 F ( , 0) 距离等于 P 到直线 x = ? 抛物线

1 2

1 1 的距离,曲线 C 是以原点为顶点, F ( , 0) 为焦点的 2 2
(2 分)

P =1

曲线 C 方程是 y 2 = 2 x

(4 分)

(2)设圆心 M ( a, b) ,因为圆 M 过 A(1, 0)

故设圆的方程 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = ( a ? 1) 2 + b 2 令 x = 0 得: y ? 2by + 2a ? 1 = 0
2

(7 分)

设圆与 y 轴的两交点为 (0, y1 ), (0, y2 ) ,则 y1 + y2 = 2b, y1 ? y2 = 2a ? 1

(10 分)

( y1 ? y2 ) 2 = ( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 = (2b) 2 ? 4(2a ? 1) = 4b 2 ? 8a + 4
M (a, b) 在抛物线 y 2 = 2 x 上, b 2 = 2a
所以,当 M 运动时,弦长 | EF | 为定值 2

( y1 ? y2 ) 2 = 4

| y1 ? y2 |= 2 (13 分)
(14 分)

23、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左,右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭 圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 (1) + = 1. 4 3 ……………………………………………………………………………....……4 分
(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ?
? y = kx + m 得 ? x2 y2 + =1 ? 3 ? 4

(3 + 4k 2 ) x 2 + 8mkx + 4(m 2 ? 3) = 0 , ? = 64m 2 k 2 ? 16(3 + 4k 2 )(m 2 ? 3) > 0 , 3 + 4k 2 ? m 2 > 0 ………………………………………………6 分
x1 + x 2 = ? 8m k 4 ( m 2 ? 3) , x1 ? x 2 = . 3 + 4k 2 3 + 4k 2
2

y1 ? y 2 = ( k x1 + m ) ? ( k x 2 + m ) = k 2 x1 x 2 + m k ( x1 + x 2 ) + m

=

3(m 2 ? 4 k 2 ) . 3 + 4k 2

Q 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2, 0), k AD ? k BD = ?1 ,………………………………….……… 7 分
∴ y1 y2 ? = ? 1 , y1 y2 + x1 x2 ? 2( x1 + x2 ) + 4 = 0 , x1 ? 2 x 2 ? 2

3(m 2 ? 4 k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16m k + + + 4 = 0 2 3 + 4k 3 + 4k 2 3 + 4k 2



7 m 2 + 16mk + 4k 2 = 0 ,………………………………………………………………………….………….8 分
解得 m1 = ?2k , m2 = ?

2k , 7

2 2 且满足 3 + 4 k ? m > 0 ……………………………………….……….…….9 分

当 m = ?2k 时,

l : y = k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;…………… ………….……..…….10 分
当m = ?

2k 时, 7

2 2 l : y = k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 …………………… …………………….……….11 分
综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). …………………………………………..12 分

2 7

24、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆

x 2 + y 2 ? 10 x + 20 = 0 相切,过点 P(-4,0)作斜率为

1 的直线 l,使得 l 和 G 交于 A、B 两点,和 y 轴交于点 C, 4

并且点 P 在线段 AB 上,又满足 | PA | ? | PB |=| PC |2 (1)求双曲线 G 的渐近线方程 (2)求双曲线 G 的方程 (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴,如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点轨迹恰好是 G 的渐近线 截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程。 解: (1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx, 则由渐近线与圆 x + y ? 10 x + 20 = 0 相切可得
2 2

| 5k | k +1
2

=

5, 所以 k = ±

1


2

故渐近线方程为 y



1 x 2
2

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x 2 ? 4 y 2 = m ,把直线 l 的方程代入双曲线并整理得 3 x ? 8 x ? 16 ? 4 m = 0 则
x A + xB = 8 3 , x A ? xB = ?
2

16 + 4 m

(1)
3

Q| PA | ? | PB |=| PC | ,P、A、B、C 共线且在线段 AB 上

∴ ( xP ? x A )( xB ? xP ) = ( xP ? xC ) 2 即 ( x

B

+ 4)( ?4 ? x A ) = 16 整理得 x
2

4( x A + xB ) + x A xB + 32 = 0 将(1)式带入得 m=8 故双曲线 G 的方程为

?

y

2

=1

28

7

(3)由提议可设椭圆方程为
x1
2

x

2

+

y a

2

28 + y1 a
2

2

= 1( a > 2 7 ) 设弦的端点分别为 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,MN 的中点为 P ( x, y ) ,则 y1 ? y 2 x1 ? x2 =? a ( x1 + x2 )
2

28

2

=1, x ?

x2

2

+

y2 a

2

28 4y a
2
2

2

= 1 作差得 K AB =

28( y1 + y 2 )

=?

a x 28 y

2

= ?4 ∴

x 28

?

4y a
2

= 0 故垂直于 l 的平行弦中点的轨

迹为直线
28 a
2

= 0 截在内的部分。又由题意,这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分
2 2



=

1 2

即 a = 56 ∴ 椭圆的方程为

x

+

y

=1

112

28

56


推荐相关:

2009年全国名校高三模拟试题分类汇编 圆锥曲线(解答题)

2009全国名校高三模拟试题分类汇编 圆锥曲线(解答题)2009全国名校高三模拟试题分类汇编 圆锥曲线(解答题)隐藏>> 分享到: X 分享到: 使用一键分享,轻松赚取...


2009届全国名校高三模拟试题汇编-圆锥曲线选择题与填空题

2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 x2 y2 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)设双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > ...


2009年全国名校高三模拟试题分类汇编1

2009全国名校高三模拟试题分类汇编 圆锥曲线三、解答题(第一部分) 1、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知椭圆 C 过点 6 2 )...


2009届全国名校高三模拟试题汇编——123导数与极限解答题

2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 (上) 12 导数与极限三、解答题 1、...ln x 的一个极值点 x 3 ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线 y=g(x...


2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 09 圆锥曲线三、解答题(第一部分) 1 、 (山东省临沂高新区实验中学 2008 - 2009 学年高三 12 月月考 )已知...


2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 09 圆锥曲线试题收集:成都市新都一中 肖宏 三、解答题(第二部分) 41、(烟台·理科)已知动点 A、B 分别在 x ...


09届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 09 圆锥曲线试题收集:成都市新都一中 二、填空题 肖宏 x2 y2 1、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第...


重庆市2009届高三数学模拟试题分类汇编——圆锥曲线

重庆市 2009 届高三数学模拟试题分类汇编——圆锥曲线 珠海市第四中学 邱金龙一、选择题 1、 ( 2009 朝阳中学)椭圆 x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点 , 是 F1...


2009届全国名校高三模拟试题汇编——023函数解答题

2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇编 (上) 02 函数、解答题 1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)设函数 f ( x) ? ? ? x 2 ? bx ? c( ...


全国百套名校高三模拟试题汇编-093圆锥曲线解答题第一...

全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编 09 圆锥曲线 三、解答题(第一部分) 1 、 ( 山东省临 沂高 新 区实 验中学 2008 - 2009 学年高三 12 月月考 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com