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2.2.向量的线性运算(1)


2.2.向量的线性运算(1)

数能进行运算,因为有了运算而使数的 威力无穷. 与数的运算类比 ,向量是否也能进 行运算呢? 人们从向量的物理背景和数的运 算中得到启发,引进了向量的运算.

下面我们就来学习向量的线性运算. 物理中是怎样计算两个力的合力的?

1、向量的加法:
(1)、定义:求两个向量和的运算叫向量的加法。

(2)、图示:
a a a a a a a a a a

A
b b
b
b

B
b

a+b

O (3)、作法 ?1?在平面内任取一点 ?2?作OA ? a , AB ? b ?3?则向量OB ? a ? b

b

b

b

b O

这种作法叫做三角形法则.

特例:
a a a b ab a b a b a b
A B C C A

a a a b a b a b b a b a b
B

AC ? a ? b
方向相同

AC ? a ? b

方向相反

对于零向量与任一向量, a ? 0 ? 0 ? a ? a a 有

例1 已知向量a 、 b (如图),求作向量a ? b. 作法: 在平面内任取一点O , 作OA ? a , AB ? b ,

则 OB = a ? b .

b a a

a ba b b b b b b b b b b b b b b a a a
B

. O

A

练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形 法则作出 a ? b (教材84页练习1)
(1)

a b

(2)

a?b
a

b

b

a?b a?b
a

b

(3)

a?b

(4)

a
b

b

a?b

a

b b

(4)平行四边形法则
a a a a a a a a a a

D
a+b

b a

C

b

b

b

b

A

B
b

作法:(1)在平面取一点A (2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD=BC=a,AB=DC=b (3)则以点A为起点的对角线AC=a+b

练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四 边形法则作出 a ? b (教材84页练习2)
(1)
b

a?b b a

(2)
b a

a?b

a

(5)运算律

a

(1) 交换律 : a ? b ? b ? a

b

a?b
a

b

(2) 结合律 : ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c )
a?b?c

a?b

c
b

a?b?c

b?c

c
b

a

a

由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向

量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行. 例2:化简:(1) AB ? CD ? BC ;
解: (1) AB ? CD ? BC

(2) ( MA ? BN ) ? ( AC ? CB) ;3) AB ? ( BD ? CA) ? DC . (
? ( AB ? BC ) ? CD ? AC ? CD ? AD .

(2) MA? BN ? AC ? CB ( )( )
? ( MA? AC ) ? (CB ? BN ) ? MC ? CN ? MN .

(3) AB ? ( BD ? CA) ? DC ? ( AB ? BD) ? ( DC ? CA) ? AD ? DA ? 0 .

一般地,
A0 A1 ? A1 A2 ? ? ? ? ? An? 2 An?1 ? An?1 An ? A0 An

A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0

口诀: “首尾相接首尾相 连”.

练习3.(1)根据图形填空(教材84页练习3)
C
D

d

c
O

? ? ? (1) a + d

=

DA

a
A

b
B

? ? (2) c + b = CB

练习3.(2) 根据图示填空
E

e
f

D

g
A

c
a
B

? ? f d (2)c ? d ? ?? (3)a ? b ? d ? f C ? ? b (4)c ? d ? e ? g

(1)a ? b ?

? c

2.向量的减法
长度相等方向相反的向. 量 相反向量:
a . 记作 ? a , 与 ? a 互为相反向量 规定, 0 ? 0 . ?
于是 ? ( ?a ) ? a , a ? (?a ) ? (?a) ? a ? 0 .

与 a 长度相等方向相反的向量 , ,叫做 a 的相反向量,

如果 a 、 互为相反的向量 那么 b ,

b a ? ?b , ? ?a ,a ? b ? 0 .

定义:求两个向量差的运算叫向量的减法.

向量减法的几何作法:

? (a ? b) ? b ? a ? (?b ) ? b ? a ? 0 ? a .
?求 a ? b 就是求这样一个向量 ,它与b 的和等于 . a

图示:

O .
b b b
b b b b a B b a
a a

A a-b

a a

a

a

a

说明:连接两个向量的终点, 且箭头指向被减的向量 ,

这样得到的向量就是这 两个向量的差 .

(1 如果从 a 的终点到b 的终点作向量, 想一想: ) 上图中,

那么所得向量是什么?

O

a

A

b

b?a

B

(2) 如图, // b , a 怎样作出 a ? b ?
B

OB ? a ? b
B
O

A

.

a b
O

A

?b

?b
b a

.

OB ? a ? b

课后作业
1.教材第91页 A组 4,6,8,11 2.《步步高》2.2.1、2.2.2的选择填空题 3.预习教材87页~90页
4. 教材84页练习1、2、4 87页练习1、2


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