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1.2 充分条件与必要条件


充分条件与必要条件

知识回顾: 命题的四种形式: 原命题:若 p , 则 q

逆命题: 若 q , 则 p 否命题: 若 ? p , 则 ? q
逆否命题:若 ? q , 则 ? p 四种命题之间的真假关系: 互为逆否命题的两个命题同真假

问题:判断下列命题及其逆命题的真假
(1)若 x =

y,则 x2 = y2 ;

(2)若 ab = 0,则 a = 0 ;
(3)若 x2 > 1,则 x > 1;

(4)若 a > 0 且 b > 0,则a + b > 0且 ab > 0
(1)原命题真,逆命题假 (2)原命题假,逆命题真 (3)原命题假,逆命题真 (4)原命题、逆命题都真

定义:对于条件和结论来说
充分条件:如果条件A能推出结论B,则称条件A是结 论B成立的 “ 充分条件 ”
必要条件:如果结论B能推出条件A,则称条件A是结 论B成立的 “ 必要条件 ” 充要条件:如果条件A既是结论B成立的充分条件也

是结论B成立的必要条件,则称条件A是结论B成
立的充要条件

1.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立,但是
如果没有p,q也可能成立”. 2.p是q的必要条件是指“要使q成立必须要有p成立”, 或者说“若p不成立,则q一定不成立”;但即使有p成立,q 未必会成立.

3.p与q互为充要条件,也称“p等价于q”,“q当且仅当p”
等. 4.当命题“若p,则q”与其逆(或否)命题都为真时,p是q 的充要条件.

题型一:充分条件,必要条件的判定
[例1] 指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分 不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件” “既不充分 又不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A >∠B,q:BC > AC.

(2)对于实数x,y,p:x + y ≠8,q:x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B. (4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x- 1)· (y-2)=0. [思路点拨] 首先判断是否有p?q和q?p,再根据定

义下结论,也可用等价命题判断.

[精解详析] (1)在△ABC 中,

显然有∠A>∠B?BC>AC,所以 p 是 q 的充要条件. (2)因为 x=2 且 y=6?x+y=8,即綈 q?綈 p, 但綈 p ? 綈 q,所以 p 是 q 的充分不必要条件.

(3)取∠A=120°,∠B=30°,p ? q, 又取∠A=30°,∠B=120°,q ? p,

所以p是q的既不充分也不必要条件.

(4)因为p:A={(1,2)},q:B={(x,y)|x=1或y=2},

A? ? B,所以p是q的充分不必要条件. [一点通]
件;
? ? 若p ? q且q?p,则p是q的必要不充分条件;

(1)若p?q且q ? p,则p是q的充分不必要条

若p?q且q?p,则p是q的充要条件; 若p ? q且q ? p,则p是q的既不充分也不必要条件.

(2)判断A是B的什么条件,常用方法是验证由A能否推出
B,由B能否推出A,对于否定性命题,注意利用等价命题来 判断.

变式训练
( A )

1. 下列命题中, p 是 q 的充分条件的是 A.p:a=0,q:ab=0 B.p:a2+b2≥0,q:a≥0 且 b≥0 C.p:x2>1,q:x>1 D.p:a>b,q: a> b

2.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为
偶函数”的 A B.必要而不充分条件

(

)
A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:φ=0时,函数f(x)=cos(x+φ)=cos x是偶函

数,
而f(x)=cos(x+φ)是偶函数时,φ=π+kπ(k∈Z). 故φ=0是函数f(x)=cos(x+φ)为偶函数的充分而不 必要条件.

3.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(充分不必要条件, 必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件). (1)p:△ABC中,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形; (2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;

(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
2 2 2 a + c - b 解:(1)△ABC 中,∵b2>a2+c2,∴cos B= <0, 2ac

∴B 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.反之,若△ABC 为钝 角三角形,B 可能为锐角,这时 b2<a2+c2. ∴p?q,q ? p,故 p 是 q 的充分不必要条件.

(2)有两个角相等不一定是等边三角形,反之一定成立,
∴p? q,q?p,故p是q的必要不充分条件.

(3)若a2+b2=0,则a=b=0,故p?q. 若a=b=0,则a2+b2
=0,即q?p,所以p是q的充要条件.

题型二、利用充要条件求参数的范围
[例 2] 已知 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0.若綈 p 是綈 q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围.

[思路点拨] 解决本题可先求出命题 p 和 q 成立的条 件,再得到綈 p,利用綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,即 綈 q?綈 p 求出 a 的取值范围,或利用等价条件 p?q 求得 a.

[精解详析] 3a<x<a,

由 x2-4ax+3a2<0 且 a<0 得

∴p:3a<x<a. 由 x2-x-6≤0 得-2≤x≤3, ∴q:-2≤x≤3.
?3a≥-2, ? ∵綈 q?綈 p,∴p?q.∴?a≤3, ? ?a<0

2 ?- ≤a<0, 3

2 ∴a 的取值范围是[- ,0). 3

[一点通] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的

取值范围时,可以先把 p, q 等价转化,利用充分
条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系,

建立关于参数的不等式(组)进行求解.

变式训练:
x-1 4.集合 A={x| <0},B={x||x-b|<a}.若“a=1”是 x+1 “A∩B”≠ ? ”的充分条件,则实数 b 的取值范围是 ( C ) A.[-2,0) C.(-2,2) B.(0,2] D.[-2,2]

x-1 解析: A={x| <0}={x|-1<x<1},B={x||x-b|<a}= x+1 {x|b-a<x<b+a},因为“a=1”是“A∩B≠?”的充分条 件,所以-1≤b-1<1 或-1<b+1≤1,即-2<b<2

5.已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q
的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 解:不等式x2-8x-20>0的解集为 A={x|x>10或x<-2}; 不等式x2-2x+1-a2>0的解集为 B={x|x>1+a或x<1-a,a>0}. ? B. 依题意p?q但q ? / p,说明A

?

?a>0, ? 于是有?1+a≤10, ?1-a>-2 ?

?a>0, ? 或?1+a<10, ?1-a≥-2, ?

解得 0<a≤3.

所以正实数 a 的取值范围是(0,3].

6. 已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a > 0, a≠1)有意义; q:关于实数t的不等式 t2 - (a+3)t + (a + 2) < 0. ①若命题 p 为真,求实数 t 的取值范围;

②若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件,求实数a的取值 范围.

5 答案: ① 1 ? t ? 2 1 ② a? 2

1.判断充分、必要条件时,首先要分清条件和结论,
然后进行推理和判断.常用的判断方法有以下三种: (1)定义法(直接法).
条件p与结论q的关系 p?q,但q ? p 结论 p是q成立的充分不必要条件

q?p,但p? q
p?q,q?p,即p?q p? q,q ? p

p是q成立的必要不充分条件
p是q成立的充要条件 p是q成立的既不充分也不必要条件

(2)集合法,即用集合的包含关系判断.设命题p,q对应 的集合分别为A,B. 若A ? B,则p是q的充分不必要条件

若B ? A,则p是q的必要不充分条件

若A=B,则p,q互为充要条件
若A B,且B A,则p既不是q的

充分条件,也不是q的必要条件

(3)等价转化法,即利用 A?B 与綈 B?綈 A, A?B 与綈 B?綈 A 来判断. 一般地, 对于条件或结 论是否定形式的命题,可运用等价转化法判断. 2.在涉及含有字母参数的充要条件的问题中, 常利用集合的包含、相等关系来考虑.


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