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1.1.2余弦定理(3)学案(人教A版必修5)


1.1.2 余弦定理(3)
【学习导航】

听课随笔

知识网络
?平面几何中的某些问题 余弦定理? ?判断三角形的形状

学习要求
1.余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标; 2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状; 3.进一步运用余弦定理解斜三角形.

【课堂互动】

自学评价
1.余弦定理: (1)____________________,_____________________,__________________. (2) 变形:____________________,___________________,___________________ 2.判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.

【精典范例】
【例 1】在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(cb cos A ? ca cos B ? ab cos C ) 【解】

第 1 页 共 6 页

【例 2】在 ?ABC 中,已知 acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状. 分析:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” 。 【解】

听课随笔

【例 3】在四边形 ABCD 中, ? ADB= ? BCD=75 ? , ? ACB= ? BDC=45 ? ,DC= 3 ,求: (1) AB 的长 (2) 四边形 ABCD 的面积 【解】

第 2 页 共 6 页

追踪训练一

听课随笔

1. D
2.直角三角形 3. S=8 3

【选修延伸】
【例 4】 如图: 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠D=750, ∠C= 60 , AB=3, AD=4, 求对角线 AC 的长。 分析:此题涉及两个三角形,AC 是公共边。 【解】
0

追踪训练二
1.D 2. ( 5 , 13 ) 3. a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第 3 页 共 6 页

1.1.2 余弦定理(3)参考答案
【课堂互动】

自学评价
1.余弦定理: (1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) cos A ? b ? c ? a , cos B ? a ? c ? b , cos C ? a ? b ? c 2bc 2ac 2ab

2.角化边、边化角.

【精典范例】
【例 1】 【解】 (1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k sin A sin B sin C

显然 k ? 0,所以 左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? c2 k 2 sin 2 C
=

sin 2 A ? sin 2 B =右边 sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) =(b 2 +c 2 2bc 2ca 2ab

a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 【例 2】 【解】方法 1 (余弦定理)得 a?
o

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 =b ? 2bc 2ca

?c 2 (a 2 ? b 2 ) ? a 4 ? b 4 = (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 ) ? a 2 ? b 2或c 2 ? a 2 ? b 2

? ?ABC 是等腰三角形或直角三角形.
方法 2 (正弦定理)得 sinAcosA=sinBcosB,
o

?sin2A=sin2B,
第 4 页 共 6 页

?2A=2B,或 2A+2B=180 ? ?A=B 或 A+B=90 ? ? ?ABC 是等腰三角形或直角三角形.
点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。 【解】 (1)因为 ? BCD=75 ? , ? ACB=45 ? , 所以 ? ACD=30 ? ,又因为 ? BDC=45 ? , 所以 ? DAC=180 ? -(75 ? + 45 ? + 30 ? )=30 ? , 所以, AD=DC= 3 在 ? BCD 中, ? CBD=180 ? -(75 ? + 45 ? )=60 ? ,所以
BD DC = , ? sin 75 sin 60 ?

BD =

3 sin 75? sin 60
?

=

6? 2 2

在 ? ABD 中,AB 2 =AD 2 + BD 2 -2 ? AD ? BD ? cos75 ? = 5, 所以, AB= 5 (3) S ?ABD =

1 ? AD ? BD ? sin75 ? 2 3? 2 3 = 4 3? 3 同理, S ?BCD = 4
6?3 3 4

所以四边形 ABCD 的面积 S=

追踪训练一 1. D
2.直角三角形 3. S=8 3

【选修延伸】
【例 4】 分析:此题涉及两个三角形,AC 是公共边。
第 5 页 共 6 页

【解】设∠DCA= ? ,AC= x ,则

4 x ? AD AC ? ? ? ? ? sin ? sin 750 sin ? sin 750 4 3 ? ? ?? ? ? ? 3 x AB AC sin ? sin(600 ? ? ) ? ? ? ? ? sin(600 ? ? ) sin 750 ? sin(600 ? ? ) sin 750 ? ?
? tan ? ? 2 3 3 4 ? sin 750 3 74 ? 222 ? sin ? ? 2 ?x? ? 5 37 sin ? 6

追踪训练二
1. D 2. ( 5 , 13 ) 3. a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3

第 6 页 共 6 页


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