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江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题解析版


江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试

数学试题
一、填空题 1.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 1 ? i ,则 z 的模为 .

2.已知集合 A ? ?x | x ? 2k ?1, k ? Z? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 A 3.已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?6? ,且 tan ? ? ?

B?
.

.

3 ,则 x 的值为 5

4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将 2 本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的 概率为 .

9 平 均 数 为 10 , 则 该 组 样 本 数 据 的 方 差 6. 若 一 组 样 本 数 据 8, x , 10, 11,的
为 .

7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 为 .

1 x ,则该双曲线的离心率 3

8.三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体 积为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则 9. 将函数 y ? 3 cos x ? sinx? x ?

V1 ? V2

.

? 的图像向左平移个 m ? m ? 0? 单位长度
.

后,所得的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

10.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE ? ? BC, CF ? ?CD . 若 AE ? BF ? ?1 ,则 ? ? 11.已知正实数 a , b 满足 9a ? b ? 1 ,则
2 2

.

ab 的最大值为 3a ? b

.

12.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 前 n 项和为 Sn , 且满足 2an ?1 ? S n ? 2 n ? 的 n 的最大值为 .

?

*

1001 S ? ? ,则满足 1000 S

2n n

?

11 10

2 2 13.已知点 A? 0,2? 位圆 M : x ? y ? 2ax ? 2ay ? 0 ? a ? 0? 外一点,圆 M 上存在点 T 使得 ?MAT ? 45 ,

则实数 a 的取值范围是

.

第 1 页 共 18 页

14.已知函数 y ? f ? x ? 是定义域为

? 1 2 ?- 4 x , 0 ? x ? 2 ? 的偶函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? , 若关于 x 的方程 x 1 3 ? ? ?? ? ? ? ,x ? 2 ? ? ?2? 4
有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是 .

2 7a ? ? f ? x ?? ? ? af ( x) ? 16 ? 0, a ?

二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 时,求 tan( x ?

3 4

?
4

) 的值;

(2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ?0, 16. (本小题满分 14 分)

? ?? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2? ?

P 和下底面的对 如图,过四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 形木块上底面内的一点
角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB1D1D ,试证明:平面

BDEF ? 平面 AC1CA1 .
17. (本小题满分 14 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P ?

x?2 (其中 4

0 ? x ? a, a 为正常数).已知生产该批产品还要投入成本 6( P ?
20 ) 元/件. P (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数;
价格定为 (4 ? (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

1 ) 万元(不包含促销费用) ,产品的销售 P

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点为 A , 直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于 4 2

P, Q 两点,设直线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 .
(1)若 m ? 0 时,求 k1 ? k2 的值; (2)若 k1 ? k2 ? ?1 时,证明直线 l : y ? kx ? m 过定点. 19. (本小题满分 16 分)

试卷第 2 页,总 18 页

在数列 ?an ?、 ?bn ? 中,已知 a1 ? 0 , a2 ? 1 , b1 ? 1 , b2 ?

1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的前 2

n 项和为 Tn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? n2 , 2Tn?2 ? 3Tn?1 ? Tn ,其中 n 为正整数.
(1)求数列 ?an ?、 ?bn ? 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , 使 n, 若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? x2 ln x-ax2 +b 在点 x0, f ? x0 ? 处的切线方程为 y ? ? x ? b . (1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f ? x ? 有且仅有两个零点.

Tn ?1 ? m 求出所有符合条件的有序实数对 ? m, n ? , ? 1 ? bm? 2 成立?若存在, Tn ? m

?

?

附加题
21、A(10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE。 (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形。

21、B(10 分)选修 4-2,矩阵与变换 已知矩阵 M= ,试求
1

(I)矩阵 M 的逆矩阵 M- ; 1 (II)直线 y=2x 在矩阵 M- 对应的变换作用下的曲线方程。 21、C(10 分)选修 4-4,坐标系与参数方程 已知半圆 C 的参数方程为 (I)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆 C 的 极坐标方程;

第 3 页 共 18 页

(II)在(I)的条件下,设 T 是半圆 C 上的一点,且 OT= 3 ,试写出 T 点的极坐标。 21、D(10 分)选修 4-5,不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|、 (I)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (II)若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22、如图,抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1) , (I)求抛物线的方程; (II)若∠APB 的平分线垂直于 y 轴,证明直线 AB 的斜率为定值。

均在抛物线上。

23、已知整数

,集合 中所有元素之和为

的所有含有 3 个元素的子集记为



解析版
1.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 1 ? i ,则 z 的模为 【答案】1 【解析】 试题分析: ?1 ? i ? z ? 1 ? i ? z ? 考点:复数的模 2.已知集合 A ? ?x | x ? 2k ? 1, k ? Z? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,则 A 【答案】 ??113 , , ? 【解析】 试题分析:因为 A ? ?x | x ? 2k ? 1, k ? Z? 为奇数集,所以 A
试卷第 4 页,总 18 页

1? i =i ?| z |? 1 1? i

B?

B ? ??113 , , ?

考点:集合的交集 3.已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?6? ,且 tan ? ? ? 【答案】10 【解析】 试题分析: tan ? ? ?

3 ,则 x 的值为 5

3 y ?6 ? ? ? x ? 10 5 x x

考点:三角函数定义 4.根据如图所示的流程图,则输出的结果 i 为

【答案】7 【解析】 试题分析:第一次循环: S ? 0, i ? 1,第二次循环: S ? 1, i ? 2 ,第三次循环: S ? 3, i ? 3 ,第四次循环:

S ? 6, i ? 4 ,第五次循环: S ? 10, i ? 5 ,第六次循环: S ? 15, i ? 6 ,第七次循环: S ? 21 ? 20, i ? 7 ,
结束循环输出 i ? 7 考点:循环根据流程图 5.将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 【答案】

2 3

【解析】 试题分析:将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,共有 3 ? 2 ? 1=6 种基本事件,其中 2 本数学书相邻包含 2 ? 1 ? 2=4 种基本事件,所以概率为 考点:古典概型概率

4 2 ? . 6 3

第 5 页 共 18 页

6.若一组样本数据 8, x,10,11,9 的平均数为 10 ,则该组样本数据的方差为 【答案】2 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得

8 ? x ? 10 ? 11 ? 9 ? 10 ? x ? 12 , 该 组 样 本 数 据 的 方 差 为 5

s2 ?

(8 ? 10)2 ? (12 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (11 ? 10)2 ? (9 ? 10)2 ?2 5
1 x ,则该双曲线的离心率为 3

考点:方差 7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

【答案】 【解析】

10 3

试题分析:由题意得

b 1 10 ? ? a : b : c ? 3 :1: 10 ? e ? a 3 3

考点:双曲线的离心率 8.三棱锥 P ? ABC 中, D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的体 积为 V2 ,则

V1 ? V2

【答案】 【解析】

1 4 1 1 1 1 1 VE ? ABP ? VA? BEP ? ? VA? BCP ? V2 2 2 2 2 4

试题分析: V1 ? VD ? ABE ? VE ? ABD ? 考点:三棱锥体积

9.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移个 m? m ? 0? 单位长度后,所得的图像关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是 【答案】 【解析】 试题分析: y ?

? 6

3 cos x ? sin x ? 2sin( x ?

?
3

) , 所 以 向 左 平 移 个 m ? m ? 0? 单 位 长 度 后 变 换 为

y ? 2sin( x ? m ?
值是

?
3

) ,由题意得 m ?

?
3

?

?
2

? k? (k ? Z ), m ? 0 ? m ?

?
6

? k? (k ? N ), 因此 m 的最小

? 6

考点:三角函数图像与性质 10. 已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,?BAD ? 120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,BE ? ? BC ,CF ? ?CD .

试卷第 6 页,总 18 页

若 AE ? BF ? ?1 ,则 ? ?

【答案】

2 2

【解析】 试题分析:

AE ? BF ? ( AB ? BE) ? (BC ? CF ) ? ( AB ? ? BC) ? (BC ? ?CD) ? ( AB ? ? AD) ? ( AD ? ? AB)

? ?? AB ? ? AD ? (1 ? ? 2 ) AB ? AD ? (1 ? ? 2 ) ? 2 ? 2 ? cos120 ? 2(? 2 ? 1) ? ?1 ,
因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 考点:向量数量积 11.已知正实数 a , b 满足 9a 2 ? b2 ? 1 ,则

2

2

2 2
ab 的最大值为 3a ? b

【答案】 【解析】

2 12

试题分析:

ab 1 2 1 b ? 3a 1 b 2 ? (3a) 2 1 1 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ,当且仅当 b ? 3a 时, 3a ? b 6 1 ? 1 6 2 6 2 6 2 12 b 3a

取等号 考点:基本不等式求最值 12. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 前 n 项和为 Sn , 且满足 2an ?1 ? Sn ? 2? n ? N ? , 则满足 的 n 的最大值为 【答案】9 【解析】 试题分析: 由 2an ?1 ? Sn ? 2 , 得 2an ? Sn ?1 ?2 ( , 所 以 数 列

1001 S2 n 11 ? ? 1000 Sn 10

n 2 )?

, 两式相减得 2an ?1 ? an , 又 2a2 ? a1 ? 2 2 , a2 ?a1



?an?

为 首 项 a1 ? 1 , 公 比 为

1 1 的 等 比 数 列 , S n ? 2(1 ? n ) , 2 2

1001 S2n 11 1001 2n ? 1 11 ? ? ? ? n ? ? 10 ? 2n ? 1000 ? 4 ? n ? 9 , n 的最大值为 9 1000 Sn 10 1000 2 10
考点:等比数列
2 2 13. 已知点 A(0, 2) 为圆 M : x ? y ? 2ax ? 2ay ? 0(a ? 0) 外一点, 圆 M 上存在点 T 使得 ?MAT ? 45 ,

则实数 a 的取值范围是 【答案】 3 ? 1 ? a ? 1

第 7 页 共 18 页

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得

4 ? 4a ? 0 ? a ? 1



M (a, a), r ? 2a



,所以 3 ? 1 ? a ? 1 MA ? 2r, a2 ? (a ? 2)2 ? 4a2 ? a ? 3 ? 1或a ? ? 3 ?(舍) 1 考点:直线与圆位置关系

? 1 2 ?? 4 x ,0 ? x ? 2 ? 14.已知函数 y ? f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? , 若关于 x 的方 x ?? ? 1 ? ? 3 , x ? 2 ? ? ? ? ?2? 4
程? ? f ? x ?? ? ? af ( x) ?
2

7a ? 0, a ? R 有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是 16

【答案】 ( , 【解析】

7 16 ) 4 9

? 1 2 ?? 4 x ,0 ? x ? 2 ? 试题分析:当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? x ?? ? 1 ? ? 3 , x ? 2 ? ? ? ? ?2? 4
所以 当0 ? x ? 2时,f ( x) ? [?1,0];当x ? 2时,f ( x) ? ( ?1, ? ); 而函数 y ? f ? x ? 是定义域为 R 的偶函数, 所以 当- 2 ? x ? 0时,f ( x) ? [?1,0];当x ? ?2时,f ( x) ? ( ?1, ? );

3 4

3 4

7a 3 ? 0 在 ( ?1, ? ) 上有两个不同的实根 16 4 7a 9 3a 7a 7a a 3 7 16 ? 0, ? ? ? 0, ? ? a 2 ? ? 0, ?1 ? ? ? ? ,解得实数 a 的取值范围 ( , ) 即1 ? a ? 16 16 4 16 4 2 4 4 9
2 因此方程 t ? at ?

考点:函数图像,一元二次方程实根分布 15.已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . (1)当 时,求 tan( x ?

3 4

?
4

) 的值;

(2)设函数 f ? x ? ? 2(a ? b) ? b ,当 x ? ? 0, 【答案】(1)-7, (2) [ , 【解析】

? ?? ? 时,求 f ? x ? 的值域. ? 2?

1 3 ? 2]. 2 2 3 4 3 再利 4

试题分析:(1)由向量共线得到等量关系,求出角的正切值, a / / b ? cos x ? sin x ? 0, tan x ? ? 用两角差正切公式求解: tan( x ?

?
4

)?

tan x ? 1 ? ?7 (2)先根据向量数量积,利用二倍角公式及配角公 1 ? tan x

试卷第 8 页,总 18 页

式得到三角函数关系式 f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)?

3 ? ?? , 再从角 x ? ? 0, ? 出发研究基本三角函 2 ? 2?

数范围:

1 3 ? ? ? 5? 2 ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1? ? f ( x) ? ? 2 2 2 2 4 4 4 2 4
3分

3 3 a / / b ? cos x ? sin x ? 0, tan x ? ? , 4 4 ? tan x ? 1 tan( x ? ) ? ? ?7 6分 4 1 ? tan x ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) ? 8分 4 2
试题解析:(1)

? ? ? 5? 2 ? x ? [0, ], ? 2 x ? ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4 4 4 2 4
1 3 1 3 ? ? f ( x) ? ? 2 , f ? x ? 的值域为 [ , ? 2]. 2 2 2 2
考点:向量平行坐标表示,三角函数性质

11 分 14 分

P 和下底面的对角线 BD 将木块锯开,得 16.如图,过四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 形木块上底面内的一点
到截面 BDEF .

(1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB1D1D ,试证明:平面 BDEF ? 平面 AC1CA 1. 【答案】(1)如图 (2)详见解析 【解析】 试题分析:(1)本题实质为确定截面与上底面的交线,这利用面面平行性质定理,可得交线相互平行 :即由 平面 ABCD//平面 A1B1C1D1,平面 BDFE 平面 ABCD=BD,平面 BDFE 平面 A1B1C1D1=EF,得

EF//BD, 又 B1B//D1D, 从而 EF// B1D1 (2) 证明面面垂直,一般利用其判定定理,即证线面垂直:由 BD ? A1A,BD ? AC 得到 BD ? 平面 A1C1CA,从而平面 BDFE ? 平面 A1C1CA
试题解析:(1)

第 9 页 共 18 页

在上底面内过点 P 作 B1D1 的平行线分别交 A1D1,A1B1 于 F,E 两点,则 EF 为所作的锯线. 在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,侧棱 B1B//D1D,B1B=D1D, 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1//BD 4分 又平面 ABCD//平面 A1B1C1D1,平面 BDFE 平面 ABCD=BD,平面 BDFE 所以 EF//BD,从而 EF// B1D1 7分 (2) 证明:由于四边形 BB1D1D 是矩形,所以 BD ? B1B,又 A1A//B1B 所以 BD ? A1A 9分 又四棱柱的底面为菱形,所以 BD ? AC 因为 AC A1A=A,AC ? 平面 A1C1CA, A1A ? 平面 A1C1CA 所以 BD ? 平面 A1C1CA 12 分 因为 BD ? 平面 BDFE 所以平面 BDFE ? 平面 A1C1CA 14 分 考点:面面平行性质定理,面面垂直判定定理 17. 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件 (生产量与销售量相等) 与促销费用 x 万元满足 P ? 中 0 ? x ? a, a 为正常数).已知生产该批产品还要投入成本 6( P ?

2分

平面 A1B1C1D1=EF,

x?2 (其 4

1 ) 万元(不包含促销费用) ,产品的销 P

20 ) 元/件. P (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数;
售价格定为 (4 ? (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 【答案】(1) y ? 19 ?

24 3x ? ,(0 ? x ? a) (2)当 a ? 2 时,促销费用投入 2 万元时,该公司的利润最大; x?2 2

当 a ? 2 时,促销费用投入 a 万元时,该公司的利润最大 【解析】 试 题 分 析 : (1) 根 据 利 润 等 于 销 售 额 减 去 促 销 费 用 及 投 入 成 本 , 列 出 函 数 关 系 式 :

y ? (4 ?

x?2 24 3x 20 1 ? ,(0 ? x ? a) (2) 利用基 代入化简得 y ? 19 ? ) p ? x ? 6( p ? ) 再将 P ? 4 x?2 2 p p

本 不 等 式 求 最 值 , 要 注 意 其 等 号 取 法 , 本 题 需 结 合 定 义 域 进 行 讨 论 :

3 16 16 16 ? ( x ? 2), x ? 2 时,取等号 . 当 y ? 22 ? ( ? x ? 2) ? 22 ? 3 ? ( x ? 2) ? 10 当且仅当 x?2 2 x?2 x?2
a ? 2 时,促销费用投入 2 万元时,该公司的利润最大;当 a ? 2 时,函数 y 在 [0, a ] 上单调递增,促销费
用投入 a 万元时,该公司的利润最大

试卷第 10 页,总 18 页

试题解析:(1)由题意得: y ? (4 ? 将P ?

20 1 ) p ? x ? 6( p ? ) p p

3分

x?2 代入化简得 4 24 3x y ? 19 ? ? ,(0 ? x ? a) x?2 2

5分

(2) y ? 22 ? 当且仅当

3 16 16 ( ? x ? 2) ? 22 ? 3 ? ( x ? 2) ? 10 2 x?2 x?2
8分 9分

16 ? ( x ? 2), x ? 2 时,取等号 x?2

当 a ? 2 时,促销费用投入 2 万元时,该公司的利润最大

y ? 19 ?

24 3x 24 3 ? , y? ? ? 2 x?2 2 ( x ? 2) 2

当 x ? 2 时, y? ? 0 ,此时函数 y 在 [0, 2] 上单调递增 所以当 a ? 2 时,函数 y 在 [0, a ] 上单调递增 11 分 12 分

所以 x ? a 时,函数有最大值,即促销费用投入 a 万元时,该公司的利润最大 综上,当 a ? 2 时,促销费用投入 2 万元时,该公司的利润最大; 当 a ? 2 时,促销费用投入 a 万元时,该公司的利润最大 14 分 考点:函数实际应用,利用基本不等式及导数求最值 18.已知椭圆 C : 斜率分别为 k1 , k2 .

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点为 A ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于 P, Q 两点,设直线 AP, AQ 的 4 2

(1)若 m ? 0 时,求 k1 ? k2 的值; (2)若 k1 ? k2 ? ?1时,证明直线 l : y ? kx ? m 过定点. 【答案】(1) ? . (2)详见解析 【解析】
2 2 2 试题分析: (1) 求斜率关系,通法为从坐标出发:将直线方程代入椭圆方程得: x ? 2k x ? 4 解出

1 2

第 11 页 共 18 页

P( ?

2 1 ? 2k 2

,?

2k 1 ? 2k 2

), Q(

2 1 ? 2k 2

,

2k 1 ? 2k 2

),

?
从而 k1 ?

2k
2

1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2

? 2

? 2 2 2k ? 2 1 ? 2k 2k ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k ? , k2 ? ? , 2 2 2 1 ? 2k 2
2

2k

因此 k1k2 ?

4k 2 ? 2(1 ? 2k 2 ) 1 ?? . 4 2

(2)动直线过定点, 关键研究出动直线方程中不变的量: 由直线特殊情况分析可得 m 必为常数: 由 k1k2 ? ?1 知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?1 即 k (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? (k 2 ? 1) x1x2 ? m2 ? 2 2m ? 2 ? 0. 因此利用韦达定理 x1 x2
2

代入化简: 3m ? 2 2m ? 2 ? 0 所以 m ? ?

2 2 所以直线过定点 (0, ? 或m ? (舍) 2 ) 3 3
2分 4分

2 2 2 试题解析:(1)将直线方程代入椭圆方程得: x ? 2k x ? 4

解得 P(?

2 1 ? 2k
2

,?

2k 1 ? 2k
2

), Q(

2 1 ? 2k
2

,

2k 1 ? 2k 2

),

?
所以 k1 ?

? 2 2k ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? , 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? 2k ? 2 1 ? 2k 2 , 2

2k

2k
2 k 2 ? 1 ? 2k 2

6分

1 ? 2k 2
所以 k1k2 ?

4k 2 ? 2(1 ? 2k 2 ) 1 ?? . 4 2

8分
2 2 2

(2) 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ), 将直线方程代入椭圆方程得: (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 10 分

?4km 2m 2 ? 4 , x1 x2 ? . 则 ? ? 0, x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 k1k2 ? ?1知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?1 x1 x2
2

12 分
2

化简得 k (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? (k ? 1) x1x2 ? m ? 2 2m ? 2 ? 0.
试卷第 12 页,总 18 页

?4km 2m 2 ? 4 将 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 代入化简得 3m2 ? 2 2m ? 2 ? 0 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
所以 m ? ?

2 或m ? (舍) 2 3 2 ) 3

14 分

所以直线过定点 (0, ?

16 分

考点:直线与椭圆位置关系 19.在数列 ?an ?、 ?bn? 中,已知 a1 ? 0 , a2 ? 1 , b1 ? 1, b2 ?

1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 2

的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn ? Sn ?1 ? n2 , 2Tn ? 2 ? 3Tn ?1 ? Tn ,其中 n 为正整数. (1)求数列 ?an ?、 ?bn? 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , 使 n, 若不存在,请说明理由. 【答案】(1) an ? n ? 1 , bn ? 【解析】 试题分析:(1) 由和项与通项的关系 Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 2) ,化简得到数列的递推关系:an ?1 ? an ? 2n ? 1 当 n ? 2 时 , an ? an ?1 ? 2n ? 3 , 两 式 相 减 得 an ?1 ? an ?1 ? 2 , 从 而 得 到 数 列 为 隔 项 成 等 差 , 又 可解得 an ? n ? 1 , 同理因为 2Tn ? 2 ? 3Tn ?1 ? Tn , 所以 2Tn ? 2 ? 2Tn ?1 ? Tn ?1 ? Tn ,2bn ? 2 ? bn ?1 a1 ? 0, a2 ? 1 , 所以数列 ?bn ? 成公比为

Tn ?1 ? m 求出所有符合条件的有序实数对 ? m, n ? , ? 1 ? bm ? 2 成立?若存在, Tn ? m
1 2 n ?1

(2) (1, 2).

1 1 的等比数列,所以 bn ? n ?1 2 2

(2)先根据等比数列和项公式得:Tn ? 2(1 ?

1 1 1 ) ,代入化简繁分数并部分分离得: ? m ?1 , n n 2 (2 ? m)2 ? 2 2

取倒数要明确数的性质:即 (2 ? m)2n ? 2 ? 0,(2 ? m)2n ? 2 ? 2m?1 ,从而可解得 m ? 1, n ? 2 试题解析: (1) 因为 Sn ? Sn ?1 ? n2 , 所以当 n ? 2 时, 两式相减得 an ?1 ? an ? 2n ? 1 , Sn ?1 ? Sn ? (n ? 1)2 , 又 a2 ? a1 ? 1 也适合, 2分 4分

当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 2n ? 3 ,两式相减得 an ?1 ? an ?1 ? 2 ,

所以数列 ?an ? 的奇数项成公差为 2 的等差,偶数项也成公差为 2 的等差 又 a1 ? 0, a2 ? 1 ,可解得 an ? n ? 1 6分

第 13 页 共 18 页

因为 2Tn ? 2 ? 3Tn ?1 ? Tn ,所以 2Tn ? 2 ? 2Tn ?1 ? Tn ?1 ? Tn ,2bn ? 2 ? bn ?1 又 2b2 ? b1 ,所以数列 ?bn ? 成公比为 所以 bn ?

1 的等比数列 2

1 2 n ?1 1 2
n ?1

8分 ,所以 Tn ? 2(1 ?

(2) 因为 bn ?

1 ) 2n

10 分

1 )?m 1 T ?m 2n ?1 由 n ?1 ? 1 ? m ?1 ? 1 ? bm ? 2 得 1 Tn ? m 2 2(1 ? n ) ? m 2 2(1 ?
化简得:

12 分

1 1 ? m ?1 n (2 ? m)2 ? 2 2

(2 ? m)2n ? 2 ? 0,(2 ? m)2n ? 2 ? 2m?1 (2 ? m)2n ? 2 ? m ? 2
14 分 16 分

故 m ? 1, n ? 2 ,符合条件的有序实数对为 (1, 2). 考点:由数列和项求通项,数列综合应用

2 2 20.设函数 f ? x ? ? x ln x-ax +b 在点 x0, f ? x0 ? 处的切线方程为 y ? ? x ? b .

?

?

(1)求实数 a 及 x0 的值; ,函数 f ? x ? 有且仅有两个零点.

(2)求证:对任意实数

【答案】(1) x0 ? 1, a ? 1 (2)详见解析 【解析】 试题分析:(1) 由导数几何意义得: f ? ? x0 ? ? ?1 , 2 x0 ln x0 ? x0 ? 2ax0 ? ?1 ,又 f ? x0 ? ? ? x0 ? b ,
2 x02 ln x0 ? x0 ? ax0 ? b ? b ,解得 x0 ? 1, a ? 1 (2)先根据导数确定函数走势: f ? x ? 在 x ? (0, e ) 上单调

减,在 x ? ( e , ??) 上单调增, f ? x ? 有最小值 f

e ? 0 ,因为 f ? e? ? b ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? e? ? b ? 2

( e , e) 上一定有一解,在 ( e , ??) 上有且仅有一解;难点在证明存在 x1 ? (0, e ) 使 f ? x1 ? ? 0 ,这时需
构 造 一 个 函 数 h ? x ? ? x ln x ? x ? 1, 易 得 h ? x x ? ? l xn ?

? x1 ? 0 ? x l n x ? , x ?从 ? 1而

f ? x ? ? x2 ln x ? x2 ? b ? b ? x ,取 x1 ? min{1, b}, 则f ( x1 ) ? b ? x1 ? 0 ,从而得证.
试题解析:(1)

f ? ? x ? ? 2x ln x ? x ? 2ax

2分

试卷第 14 页,总 18 页

2 所以在点 x0, f ? x0 ? 处的切线方程为 y ? ? x ? x02 ln x0 ? x0 ? ax0 ?b 2 其中 x02 ln x0 ? x0 ? ax0 ? b ? b , 2 x0 ln x0 ? x0 ? 2ax0 ? ?1

?

?

4分

解得 x0 ? 1, a ? 1 (2)

6分

f ? ? x ? ? 2 x ln x ? x ? 0 ? x ? e

当 x ? (0, e ) 时 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 x ? (0, e ) 上单调减 当 x ? ( e , ??) 时 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 x ? ( e , ??) 上单调增 所以 f ? x ? 有最小值 f

e ?0 ? e? ? b ? 2

8分 10 分

又 f ? e? ? b ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ( e , e) 上一定有一解 下面证明存在 x1 ? (0, e ) 使 f ? x1 ? ? 0 令 h ? x ? ? x ln x ? x ? 1, h? ? x ? ? ln x , 所以当 x ? (0,1) 时, h ? x ? 在 x ? (0,1) 上单调减

当 x ? (0,1) 时, h ? x ? ? h(1) ? 0 , f ? x ? ? x ln x ? x ? b ? b ? x
2 2

取 x1 ? min{1, b}, 则f ( x1 ) ? b ? x1 ? 0
2 2

12 分 14 分 16 分

所以 f ? x ? ? x ln x ? x ? b 在 ( x1, e ) 上一定有一解 综上所述,函数 f ? x ? 在 (0, ??) 上有且仅有两个零点. 考点:导数几何意义,导数应用

第 15 页 共 18 页

试卷第 16 页,总 18 页

第 17 页 共 18 页

试卷第 18 页,总 18 页



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