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福建省福州市2010-2011学年第一学期期末高三数学(文科)质量检查


高三数学文科 170

福州市 2010-2011 学年第一学期期末高三质量检查(文)
1. 已知集合 M ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R}, 则 M ? N 等于 ( A. (0,1)(1,2) B.|(0,1)(1,2)| C. { y | y ? 1或y ? 2} ,

, 2.复数 (1 ? i)(1 ? ai) ? R ,则实数 a 等于 ( ) 1 A. B. —1 D. { y | y ? 1} C. 0 D.?1 )

3.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0—9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为

a1 , a2 ,则一定有 (

)A. a1 ? a2 B. a2 ? a1 C. a1 ? a2 D. a1 , a2 的大小不确定

?x ? 1 ? , 则x ? y 的最小值为( 4.已知实数 x, y满足 ? y ? 2 ?x ? y ? 0 ?

)A.2 B.3 C.4 D.5

5.如图,在一个边长为 3cm 的正方形内部画一个边长为 2cm 的正方形,向大正方形内随 机投点,则所投的点落入小正方形内的概率为( )A.

2 9

B.

1 3

C.

4 9

D. )

2 3

6.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若a ? b与4b ? 2a 平行,则实数 x 的值为( A.—2 B.0 C.1 D.2

?

?

?

?

?

?

7.将函数 y ? cos 2 x 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,所得图象的函数解析是( A. y ? cos(2 x ?

? 个单位长度,再把所得图像向上平移 1 6
? 3
D. y ? cos(2 x ? ) ? 1

) C. y ? cos(2 x ? ) ? 1 )

? ) ?1 6
2

B. y ? cos(2 x ? ) ? 1

? 3

? 6

8.已知 p :| x |? 2; q : x ? x ? 2 ? 0, 则?p是?q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必条件 9. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 则该双曲线的离心率为 ( a 2 b2
B.5 C. 2 D.2



A. 5

10.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是

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am(0 ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细,现在用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的
共圃 ABCD,设此矩形花圃的面积为 Sm2,S 的最大值为 f ( a ) ,若将这棵树围在花圃的, 则函数 u ? f (a ) 的图象大致是( )

11.黑板上有一道有正解的解三角形的习题,一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在 只能看到:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a ? 2, ??,解得

b ? 6 ,根据以上信息,你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 ....
( )A. A ? 30? , B ? 45? B. c ? 1,cos C ?

1 3

C. B ? 60? , c ? 3 D. C ? 75? , A ? 45?

12.定义: 平面内横坐标为整数的点称为 “左整点” ,过函数 y ? 9 ? x2 图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于 45°的直线 条数为( )A.10 B.11 C.12 D.13 13. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

开始

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 则 12 3
。 否

p 的值为 。 14.如图所示的算法流程图,其输出的结果是

a ? 2 a? 1 a ? 100 a ?1
是 输出

* 15.在数列 {an } ,若a2 ? a2?1 ? p, (n ? 2, n? N , p ,则 中 为常数 ) n n

“等方差数列” 下列是对 , “等方差数列” 的判断: ①若 {an } {an } 称为
2 是等方差数列,则 {an } 是等差数列;② {(?1) } 是等方差数列;③若
n

a
结束

{an } 是等方差数列,则 {akn }(k ? N * , k为常数) 也是等
方差数列;其中正确命题序号为 。

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16. 若函数 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 在区间[—1, 1]上没有零点, 则函数 g ( x) ? (a ? 1)( x3 ? 3x ? 4) 的 递减区间是 。

17.数列 {a n } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,其前 n 项的和为 Sn . (I)求数列 {an } 的 通项公式 an 及前n项和Sn ; (II)设 bn ? 2n , 求数列 bn }的通项公式 bn 及前n项和Tn . {

i 18.已 知 函 数 f ( x) ? 2 s i n? x ? 2 3 s?nx
2

(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ( x)在区间[0,

2? ] 上的取值范围。 3

s i n? ? x (? ) 0 ) 的 最 小 正 周 期 为 ? . ( ? 2

?

19.一个袋中有 4 个大小质地都相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个,黑球 1 个,现从 袋中有放回地取球,每次随机取一个。 (I)求连续取两次都是白球的概率; (II)若取一个 ... 红球记 2 分,取一个白球记 1 分,取一个黑球记 0 分,求连续取两次分数之和大于 1 分的 概率

20.某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其 它费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5) , 其它费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 (I)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x(海里/小时)的函数;

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(II)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

21.已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? n 的图像过点(1,3) ,且 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) 对任意 实数 x 都成立, 函数 y ? g ( x)与y ? f ( x) 的图像关于原点对称。I) f x 与 ( 求 () gx () 的解析式; (II)若 F (x) ? g (x) ? ?f (x) 在[—1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值 范围。

22.如图,ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥AB,Q 为线段 OD 的 中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (II)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,

???? ? ???? ??? ? ??? ? EM ? ?1 MB, EN ? ?2 NB, 求证 : ?1 ? ?2 为定值。

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福州市 2010-2011 学年第一学期期末高三质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1.D 2.A 3.B 4.A 5. C 6.D 12.B

7.C

8.A

9.A

10.C

11.D

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所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

7分

(Ⅱ )由(Ⅰ )得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

?
6

) ?1
9分

2π π π 7π ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 3 6 6 6

? 1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ,因此 0 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 ? 3 , ? ? 6 2 6? ?
12 分

即 f ( x) 的取值范围为 [0,3] .

19.解: )连续取两次所包含的基本事件有: (Ⅰ (红,红)(红,白 1)(红,白 2)(红, , , , 黑)(白 1,红) ; (白 1,白 1) (白 1,白 2)(白 1,黑)(白 2,红) , ; , (白 2,白 1)(白 2,白 2)(白 2,黑)(黑,红)(黑,白 1)(黑,白 2)(黑, , , ; , , ,
黑) ,

所以基本事件的总数 M ? 16 . 2分 设事件 A:连续取两次都是白球,则事件 A 所包含的基本事件有: (白 1,白 1) (白 1,白 2)(白 2,白 1)(白 2,白 2)共 4 个 , , 所以, P ( A) ?

4分

4 1 ? . 16 4

6分

(Ⅱ )解法 1:由(Ⅰ )连续取两次的事件总数为 M ? 16 , 设事件 B:连续取两次分数之和为0分, 1 则 P( B) ? ; 8分 16 设事件 C:连续取两次分数之和为 1 分, 4 1 则 P( B) ? 10 分 ? 16 4 设事件 D:连续取两次分数之和大于1分, 11 则 P( D) ? 1 ? P( B) ? P(C ) ? 12 分 16 (Ⅱ )解法 2:设事件 B:连续取两次分数之和为 2 分, 6 则 P( B) ? ; 8分 16 4 设事件 C:连续取两次分数之和为 3 分,则 P (C ) ? 16 1 设事件 D:连续取两次分数之和为 4 分,则 P ( D ) ? 16

10 分

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设事件 E:连续取两次分数之和大于1分, 11 则 P ( E ) ? P ( B ) ? P (C ) ? P ( D ) ? 12 分 16 20.解: )由题意,每小时的燃料费用为 0.5x (0 ? x ? 50) , (Ⅰ
2

从甲地到乙地所用的时间为

300 小时, x

2分 6分 7分

则从甲地到乙地的运输成本 y ? 0.5 x 2 ? 故所求的函数为 y ? 0.5 x 2 ?

300 300 , (0 ? x ? 50) ? 800 ? x x

300 300 1600 ? 800 ? ? 150( x ? ) , (0 ? x ? 50) . x x x

(Ⅱ )解法1:由(Ⅰ y ? 150 ? x ? ) 当且仅当 x ?

? ?

1600 ? 1600 ? 12000 , 9分 ? ? 150 ? 2 x ? x ? x
11 分 12 分

1600 ,即 x ? 40 时取等号. x

故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. (Ⅱ )解法 2:由(Ⅰ y ? 150( x ? )

1600 )(0 ? x ? 50) . x

9分

1600 1600 (0 ? x ? 50), f ' ( x ) ? 1 ? 2 , x x 则x ? (0,40)时, f ' ( x ) ? 0, f ( x)单调递减 ; 令f ( x) ? x ? 则x ? (40,50)时, f ' ( x) ? 0, f ( x)单调递增 ;? x ? 40时, f ( x )取最小值 80. ymin ? 12000 .
……11 分 故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. 21.解: (Ⅰ )解法 1:由题意知:f(x)=x2+mx+n 的对称轴为 x=-1, 故? 12 分

? f (1) ? 1 ? m ? n ? 3 ?m ? 2 ? m ,? ? . f(x)=x2+2x ? ? ?1 n?0 ? ? 2 ?

2分

设函数 y=g(x)图象上的任意一点 P(x,y) 关于原点的对称点为 Q(x0,y0) ,P 依题意得 ?

? x0 ? ? x ? y0 ? ? y

4分

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因为点 Q(x0,y0) 在函数 y=f(x)的图象上, ∴ -y=x2-2x,即 y=-x2+2x, g(x)=-x2+2x, 7分 (Ⅰ )解法 2::取 x=1,由 f(-1+x)=f(-1-x)得 f(0)=f(-2) 由题意知: ?

? 1? m ? n ? 3 ?m ? 2 ,? ? . f(x)=x2+2x n ? 4 ? 2m ? n ? n ? 0 ?

2分

下同解法 1. (Ⅰ )解法 3:∵ f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n, 又 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数 x 都成立, ∴ 2mx=4x 恒成立,m=2. . 而 f(1)=1+m+n=3+n=3,∴ n=0. f(x)=x2+2x 2分

下同解法 1. (Ⅱ )解法 1:F(x)=g(x)- ? f(x)= -x2+2x- ? ( x2+2x)=-(1+ ? )x2+2 (1- ? )x ∵ F(x)在[-1,1]上是连续的递增函数, ∴F ' ( x) ? ?2(1 ? ? ) x ? 2(1 ? ? ) ? 0 在[-1,1]上恒成立 8分

即?

??2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 0 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 0

9分

∴? ≤0 时,F(x)=g(x)- ? f(x)在[-1,1]上是增函数 12 分 (Ⅱ )解法 2:F(x)=g(x)- ? f(x)= -x2+2x- ? ( x2+2x)=-(1+ ? )x2+2 (1- ? )x ∵ F(x)在[-1,1]上是连续的递增函数, ∴F ' ( x) ? ?2(1 ? ? ) x ? 2(1 ? ? ) ? 0 在[-1,1]上恒成立 ∴? ? 8分

1? x 2 ? ? 1在 (?1,1] 上恒成立9 分 1? x 1? x 2 ? 1 上为减函数, 又函数 y= 10 分 1? x 2 ? 1 取最小值 0, 当 x=1 时 y= 11 分 1? x ∴? ≤0 时,F(x)=g(x)- ? f(x)在[-1,1]上是增函数. 12 分 (Ⅱ )解法 3:⑴ ? ? ?1 时,F(x)=4x,符合题意. 当 8分

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⑵ ? ? ?1 ,即 ? (1 ? ? ) ? 0 时,由二次函数图象和性质, 当

?? (1 ? ? ) ? 0 ? 只需满足 ? 2(1 ? ? ) ,解得: ? ? ?1 ?? ? 2(1 ? ? ) ? ?1 ?
⑶ ? ? ?1 ,即 ? (1 ? ? ) ? 0 时,由二次函数图象和性质, 当

10 分

?? (1 ? ? ) ? 0 ? 只需满足: ? 2(1 ? ? ) ,解得: ? 1 ? ? ? 0 ? ?1 ? ? 2(1 ? ? ) ?
综上, ? ≤0 时,F(x)=g(x)- ? f(x)在[-1,1]上是增函数. 12 分 22.解: )以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, (Ⅰ ∵ 动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴ |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 22 ? 12 ? 2 5 >|AB|=4. ∴ 曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴ a= 5 ,c=2,b=1. ∴ 曲线 C 的方程为

x2 2 +y =1 5

6分

(Ⅱ )证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E(0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵EM ? ?1 MB ,∴( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 ?

???? ?

????

y0 2?1 , y1 ? . 1 ? ?1 1 ? ?1

10 分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1, 5 1 ? ?1 1 ? ?1
2

去分母整理,得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0 .
2

11 分

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同理,由 EN ? ?2 NB 可得:

??? ?

??? ?

?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 .
2

12 分

∴ ?1 , ?2 是方程 x 2 ? 10x ? 5 ? 5 y0 ? 0 的两个根, ∴

?1 ? ?2 ? ?10 . 14 分

(Ⅱ )证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E(0, y0 ) , 易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 . 10 分
20k 2 20k 2 ? 5 ∴ x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
11 分

又 ∵EM ? ?1 MB , 则 ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) .∴?1 ? 同理,由 EN ? ?2 NB , ∴?2 ?

???? ?

????

x1 , 2 ? x1

??? ?

??? ?

x2 . 2 ? x2

12 分

∴?1 ? ?2 ?

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? ?10. 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2


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