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2.1.2


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

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基本初等函数(Ⅰ)

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基本初等函数(Ⅰ)

1.(1)当a>1时,若f(x)>g(x),则af(x) >ag(x) 当0<a<1时,若f(x)>g(x) ,则af(x) < ag(x)

(2)当a>1时,若函数y=f(x)是增函数,则函数y=af(x)是
增 函数. 当0<a<1时,若函数y=f(x)是增函数,则函数y=af(x)是 减 函数.

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基本初等函数(Ⅰ)

3 . (1) 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,两个分裂
成4个?,1个这样的细胞分裂5次后,得到 32 个 细 胞 ? 分裂n次后得到 2n 个细胞?如果分裂 x 次后,得到 y 个细 胞,那么y与x的关系式是 y=2x . y=N(1+p)x (2) 我国现有人口 N,年平均增长率为 P,经过x 年后,

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我国人口数y与x的函数关系是

.

(3)函数y=2x+1-2可由函数y=2x怎样平移得到?

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基本初等函数(Ⅰ)

答案:将函数y=2x的图象先向左平移1个单位,再向 下平移两个单位得到y=2x+1-2的图象.
(4)设y1=4 ,y2=8 A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3
0.9 0.48

?1?- ,y3=?2? 1.5,则( ? ?

)

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

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[答案] D [解析] y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5,∵y=2x在R上是

单调递增函数,∴y1>y3>y2.∴选D.

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基本初等函数(Ⅰ)

本节重点:指数函数的概念、图象和性质. 本节难点:指数型函数的性质,突破难点的关键是准

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确理解掌握指数函数的图象.

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指数函数y =ax(a>0且a≠1)的图象在第一象限内逆时针 方向,图象对应的底数依次增大,即底大图高. 对于形如 y = af(x)(a>0 且 a≠1) 一类的函数,有以下结论: 人 (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同; (2) 先确定函数 f(x) 的值域,根据指数函数的值域、单 调性,可确定函数y=af(x)的值域; (3)当a>1时,函数y=af(x)与函数u=f(x)的增减性相同;
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当0<a<1时,函数y=af(x)与函数u=f(x)的增减性相反.

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[例 1] [分析] 调性入手.

设 y1 = a2x+ 3 ,y2 =a1 - x(a>0 ,且 a≠1).当x 取何 y1、y2可看作指数函数y=ax的两个函数值,故
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值时,有(1)y1=y2,(2)y1>y2.
欲判断x取何值时,y1<y2,y1=y2,与y1>y2,须从y=ax的单

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基本初等函数(Ⅰ)

(1)∵y1=y2,∴a2x 3=a1 x, 2 ∴2x+3=1-x,∴x=-3. (2)∵y1>y2,∴a2x+3>a1-x, 2 当 a>1 时,2x+3>1-x,∴x>- , 3 2 当 0<a<1 时,2x+3<1-x,∴x<- . 3 [解析]
+ -

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不 等 式 a2x - 7<a4x - 1(a>0 且 a≠1) 中 的 x 的 取 值 范 围 是

________.
[答案] a>1时,x>-3;0<a<1时,x<-3

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[例2]

如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m2)
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与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:

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基本初等函数(Ⅰ)

①这个指数函数的底数为2; ②第5个月时,浮萍面积就会超过30m2; ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等;
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⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,
t2,t3,则t1+t2=t3. 其中正确的是 A.①② C.②③④⑤ B.①②③④ D.①②⑤ ( )

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[解析] 将点(2,4)代入可得 a=2.故①正确. 当 t=5 时 y=25=32>30,故②正确,对于③当浮萍从 4 m2 经过 1.5 个月后,浮萍蔓延为 8 2 m2<12 m2,故③错,由 4 -2≠8 -4 知④错,⑤由于 6=2×3,因此 2t3=2t1· 2t2=2t1+t2,所 以 t3=t1+t2,故⑤正确,综上所述.选 D.

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函数f(x)=ax-b的图象如下图,其中a、b为常数,则下
列结论正确的是 ( )
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A.a>1,b>0 B.a>1,b<0

C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0 [答案] D [解析] 由图象知0<a<1,又a0-b=a-b<1, ∴-b>0,∴b<0,故选D.

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[例3] 图象.

利用函数f(x)=2-x的图象,作出下列各函数的
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(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;

(4)-f(x);(5)|f(x)-1|;(6)f(-x);
[解析] (1)将y=2-x的图象右移一个单位 (2)将函数y=2-x的图象在y轴左侧部分去掉,然后将右 侧部分作关于y轴对称的图形即得. (3)将y=2-x的图象下移一个单位.

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(4)作y=2-x的图象关于x轴对称图形. (5)将y=2-x的图象先向下平移一个单位,再将x轴下方

图象翻折到x轴上方.
(6)将y=2-x的图象作关于y轴对称的图形.
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基本初等函数(Ⅰ)

[点评]

可依据f(x)=2 x依次求出各函数,再作


?1? ? ?? ?x (x≥0) -|x| 图.例如,y=f(|x|)=2 =??2? . ? ?2x (x<0)

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?1? + 已知函数y= ?2? |x 2|①作出其图象;②指出其单调 ? ?

区间;③确定x取何值时,y有最值.

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[解析] ①

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②增区间(-∞,-2];减区间[-2,+∞) ③x=-2时,ymax=1,无最小值.

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[例4]

求函数y=4-x-2-x+1,x∈[-3,2]的最大值与 指数函数与二次函数复合构成的复合二次函
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最小值.
[ 分析 ] 数最值,一般都要先通过换元化去指数式,转化为二次函 数的最值讨论,要留意换元后“新元”的取值范围.

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[解析] ∴y=t
2

1 令t=2 ,∵x∈[-3,2],∴t∈[4,8],
-x

? 1?2 3 -t+1=?t-2? +4, ? ?

1 3 1 -x 当t=2时,ymin=4,此时2 =2,∴x=1, 当t=8时,ymax=57,此时2-x=8,∴x=-3, 3 ∴该函数在x=1时取最小值 4 ,当x=-3时取最大值 57.

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已知函数y=4x-3×2x+3当其值域为[1,7]时,x的取值
范围是 A.[2,4] C.(0,1]∪[2,4] [答案] D B.(-∞,0] D.(-∞,0]∪[1,2] ( )

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[解析]

解法一:x=0时,y=1∈[1,7]排除A、C;当x

=1时y=1,排除B,∴选D.

解法二:令2x=t,则t>0,y=t2-3t+3,
∴y∈[1,7],∴1≤t2-3t+3≤7. 由t2-3t+3≥1得,t≤1或t≥2, 由 t2 - 3t + 3≤7 得 - 1≤t≤4 , ∵ t>0 , ∴ 0<t≤1 或 2≤t≤4.∴x≤0或1≤x≤2.故选D.

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[例 5] [错解]
2x

解不等式:a2x+1<ax+2+ax-2(a>0). 原不等式变形为:
2 x
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1 x 2x 1 x 2 a +1<a · a + 2· a ,a -(a + 2)a +1<0,(ax-a2)(ax a a 1 1 x 2 - 2)<0,∴ 2<a <a ,故-2<x<2. a a

[辨析]

1 1 ①当得到(a -a )(a - 2)<0 后, 因 2与 a2 的大 a a
x 2 x

小关系并不确定,因而需要分类讨论. 1 x 2 ②解 2<a <a 时,应依据 a 的取值进行讨论. a

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[正解]
x 2

原不等式变形为:
x

1 (a -a )(a - 2)<0. a 1 2 x 1 当0<a<1时,a < 2,∴a <a < 2=a-2, a a
2
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又∵y=ax在R上是减函数,∴2>x>-2; 1 x 2 2 1 当a>1时,a >a2,∴a2<a <a , 又∵y=ax在R上是增函数,∴-2<x<2; 当a=1时,无解. ∴当a≠1时,不等式的解集为{x|-2<x<2} 当a=1时,无解.

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一、选择题 1.已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象不经过 ( )

A.第一象限
C.第三象限 [答案] A [解析]

B.第二象限
D.第四象限

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0<a<1时,y=ax单调递减,又y=ax+b,b<-

1,∴当x=0时,y<0,∴选A.

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2.函数y= 范围是 A.a>0 C.0<a<1

ax-1 的定义域是(-∞,0],则a的取值 ( B.a>1 D.a≠1 )
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[答案] C [解析] ax-1≥0,∴ax≥1,∵x∈(-∞,0], ∴0<a<1.

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3 .已知 a = 0.80.7 , b = 0.80.9 , c = 1.20.8 ,则 a 、 b 、 c 的 大小关系是 ( )
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A.c>a>b
C.a>b>c [答案] A

B.c>b>a
D.b>a>c

[解析] 0.80.9<0.80.7<0.80=1=1.20<1.20.8 ∴c>a>b,∴选A.

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1 1-x 4.函数y=( ) 的单调递增区间为( 2

)

A.(-∞,+∞)
C.(1,+∞) [答案] A
[解析] 1t 设t=1-x,则y=(2)

B.(0,+∞)
D.(0,1)
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1 1-x 则函数t=1-x的递减区间(-∞,+∞),即为y=( ) 2 的递增区间.

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[答案] C
[解析] 由2
-|x |

1 >2得-|x|>-1,∴-1<x<1. x≤-1或x≥1 -1<x<1
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?2 ? 1 ∴f (x)=?1 2 ? ?2

-|x |

显然当 x∈(-∞,-1)时,f1(x)为增函数,故选 C.
2

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二、填空题 6.函数y=ax-1+1(a>0且a≠1)的图象必经过一个定点, 则这个定点的坐标是________.

[答案] (1,2)
[ 解析 ] 当 x = 1 时, y = 2 ,即对任意满足 a>0 ,且 a≠1 的常数a,函数y=ax-1+1的图象恒过定点(1,2).

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三、解答题
2-3x+1 2+2x-5 2 x x 7.已知y1=a ,y2=a (a>0且a≠0),当x为

何值时y1<y2?
[解析] 由y1<y2 ∴2<x<3 当 0<a<1 时, x2 + 2x - 5<2x2 - 3x + 1 即 x2 - 5x + 6>0 ,
2-3x+1 2+2x-5 2 x x 得:a <a

当 a>1 时 , x2 + 2x - 5>2x2 - 3x + 1 即 x2 - 5x + 6<0

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∴x>3或x<2.

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