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2015年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第8课 一元二次不等式的解法 文(含解析)


第 8 课 一元二次不等式的解法
1. 设 a ? b ,则

( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集为 (?? , a] ? [b , ? ?) ( x ? a)( x ? b) ? 0 的解集为 [a , b]
x?a x?a ? 0 的解集为 (?? , a] ? (b , ? ?) ? 0 的解集为 [a , b) x?b

x?b
2.一元二次不等式的解集:

? ? b 2 ? 4ac
y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0) 的图象 ax ? bx ? c ? 0
2

??0

??0

??0
y

O

x

有两不等实根

有两相等实根

O

O

的根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )
{x|x<x1 或 x>x2}

x1 ? x 2 ? ?
{x x ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0
的解集

b } 2a

R

ax 2 ? bx ? c ? 0
的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

例 1. 解下列不等式: (1) 4 x ? 1 ? 4 x
2

(2) 2 ? 3x ? 2 x ? 0
2 2

(3) ?3x ? 6 x ? 2
2

(4)

1 ?1 x 1 , 2

2 【解析】 (1)原不等式可化为 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ,∴ (2 x ? 1) ? 0 ,∴ x ? R ,且 x ?

∴原不等式的解集为 ? x x ? R,且x ?

? ?

1? ?. 2?
1 ?x?2, 2

(2)原不等式可化为 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ,∴ (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,∴ ?
2

∴原不等式的解集为 ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2? . 2 ?

2 2 (3)原不等式可化为 3x ? 6 x ? 2 ? 0 , ∵ ? ? 0 ,方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的两根是

1

? 3 3? 3 3 ? ? ,∴原不等式的解集为 ? x x ? 1 ? ,或x ? 1 ? , x2 ? 1 ? ?. 3 3 3 3 ? ? ? ? 1 x ?1 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 0 (4)原不等式可化为 ? 1 ? 0 ? x x

x1 ? 1 ?

∴原不等式的解集为 x x ? 0,或 x ? 1? 3.含参数的一元二次不等式 例 2.解关于 x 的不等式 x2 ? (3a ? 1) x ? (2a2 ? a) ? 0 ( a ? R ) 【解析】原不等式可以化为 ( x ? a)[ x ? (2a ? 1)] ? 0 (1)当 2a ? 1 ? a 即 a ? ?1 时,

?

( x ? 1)2 ? 0 , x ? ?

(2)当 2a ? 1 ? a 即 a ? ?1 时, a ? x ? 2a ? 1 (3)当 2a ? 1 ? a 即 a ? ?1 时, 2a ? 1 ? x ? a 综上:当 a ? ?1 时,不等式的解集为 ? ;当 a ? ?1 时,不等式的解集为 (a , 2a ? 1) ; 当 a ? ?1 时,不等式的解集为 (2a ? 1, a) 变式:1. 解关于 x 的不等式 x ? x ? a(a ? 1) ? 0 ( a ? R )
2

【解析】原不等式可以化为 ( x ? a)[ x ? (1 ? a)] ? 0 (1)当 1 ? a ? a 即 a ?

1 时, 2

1 ( x ? )2 ? 0 , x ? ? 2

(2)当 1 ? a ? a 即 a ? (3)当 1 ? a ? a 即 a ? 综上:当 a ? 当a ?

1 时, a ? x ? 1 ? a 2 1 时, 1 ? a ? x ? a 2

1 1 时,不等式的解集为 ? ;当 a ? 时,不等式的解集为 (a ,1 ? a) ; 2 2

1 时,不等式的解集为 (1 ? a , a) 2

2.解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ( a ? R ) 【解析】分以下情况讨论 (1)当 a ? 0 时,原不等式变为 ? x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 . (2)当 a ? 0 时,原不等式变为 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ※

1 a 1 ②当 a ? 0 时,※式变为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 . a 1 1 1)当 0 ? a ? 1 ,即 ? 1 时,则 1 ? x ? . a a 1 2)当 a ? 1 ,即 ? 1 时,则 x ?? . a

①当 a ? 0 时,※式变为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,∴不等式的解为 x ? 1 ,或 x ?

1 . a

2

1 1 ? 1 时,则 ? x ? 1 . a a ? 1 ? 综上:当 a ? 0 时,不等式的解集为 ? x x ? ,或x ? 1? ;当 a ? 0 时,不等式的解集为 a ? ?
3)当 a ? 1 ,即

? x x ? 1? ;

当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? . 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? x

? ?

1? ?. a?

? 1 ? ? x ? 1? . ? a ?

4.恒成立问题:设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) (1) f ( x) ? 0 对于任意的 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0
2 ?? ? b ? 4ac ? 0

?a ? 0 f ( x) ? 0 对于任意的 x ? R 恒成立 ? ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0
(2) f ( x) ? 0 对于任意的 x ? [m , n] 恒成立 ? f ( x)min ? 0

f ( x) ? 0 对于任意的 x ?[m , n] 恒成立 ? f ( x)max ? 0
例 3. 已知函数 f ( x) ? mx ? mx ?1.
2

(1)若对于 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x ? [1,3] , f ( x) ? 5 ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围 【解析】 (1)要使 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,
2

若 m ? 0 ,显然 ?1 ? 0 ; 若 m ? 0 ,则 ?

?m ? 0
2 ? ? ? m ? 4m ? 0

? ?4 ? m ? 0 .

∴ m 的取值范围是 (?4, 0] . (2)要使 f ( x) ? ?m ? 5 在 [1,3] 上恒成立,只需 mx ? mx ? m ? 6 在 [1,3] 上恒成立.
2

3 6 ? 0 ,∴ m ? 2 . 4 x ? x ?1 1 2 3 6 6 6 ∵y? 2 , 由 t ? ( x ? ) ? 在 [1,3] 上是增函数, ∴y? 2 ? 2 4 x ? x ?1 x ? x ? 1 ( x ? 1 )2 ? 3 2 4 6 ? 6? 在 [1,3] 上是减函数.因此函数的最小值 ymin ? .∴ m 的取值范围是 ?m m ? ? . 7 7? ?
又因 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3

第8课 1.解下列不等式

一元二次不等式的作业

(1) x ? x ? 2 ? 0 (2)?2 x ? 5 x ? 2 ? 0
2 2

(3) x ? 2 x ? 2 ? 0 (4)? x ? x ? 1 ? 0
2 2

【解析】 (1)原不等式化为 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , x ? 2 或 x ? ?1 ,所以原不等式的解集为

(?? , ? 1] ? [2 , ? ?)
(2)原不等式化为 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 , (2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,
2

1 ? x ? 2 ,所以原不等式的 2

解集为 ( , 2) (3)原不等式化为 ( x ? 1)2 ? 1 ? 0 ,? x 为任意实数,所以原不等式的解集为 R
2 (4)原不等式化为 x ? x ? 1 ? 0 , ? ? (?1)2 ? 4 ?1?1 ? ?3 ? 0 ? x ? ? ,所以原不等

1 2

式的解集为 ? 2. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} , 那么 A ? (?U B) ? ( )

A. ?x | ?2 ? x ? 4? B. ?x | x ? 3, 或x ? 4? C. ?x | ?2 ? x ? ?1 ? D. ?x | ?1 ? x ? 3? 【答案】D 【解析】∵ B ? ?x | x ? ?1, 或x ? 4? ,∴ ? U B ? ?x | ?1 ? x ? 4? ∴ A ? (? ?. U B) ? ?x | ?1 ? x ? 3 3. 不等式

2? x ? 0 的解集是( x?4
B. [?4, 2]

) C. (??, ?4] ? [2, ??) D. (??, ?4) ? [2, ??)

A. (?4, 2] 【答案】A 【解析】∵

2? x x?2 ? 0 ,∴ ? 0 ,解得 ?4 ? x ? 2 . x?4 x?4

4. “ m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的(
2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】∵ x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R 的充要条件是 ? ? m ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? m ? 2 .∴
2 2

4

选 B. 5.解下列关于 x 不等式: x2 ? (4a ? 1) x ? 3a(a ? 1) ? 0 原不等式可以化为 ( x ? 3a)[ x ? (a ? 1)] ? 0 (1)当 3a ? a ? 1 即 a ?

1 时, 2

3 ( x ? )2 ? 0 , x ? ? 2

(2)当 3a ? a ? 1 即 a ? (3)当 3a ? a ? 1 即 a ? 综上:当 a ? 当a ?

1 时, a ? 1 ? x ? 3a 2 1 时, 3a ? x ? a ? 1 2

1 1 时,不等式的解集为 ? ;当 a ? 时,不等式的解集为 (a ? 1, 3a) ; 2 2

1 时,不等式的解集为 (3a , a ? 1) 2

6.在 R 上定义运算*: x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围 【答案】C 【解析】∵ ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 恒成立, 即 ( x ? a)(1 ? x ? a) ? 1对任意 x 恒成立, ∴ x ? x ? a ? a ? 1 ? 0 恒成立,
2 2

∴ ? ? 1 ? 4(?a2 ? a ? 1) ? 0 , ∴?

1 3 ?a? . 2 2
2

7. 关于 x 的不等式 2 x ? 9 x ? m ? 0 在区间 [2 , 3] 上恒成立,求实数 m 的取值范围 【解析】设 f ( x) ? 2x ? 9x ? m , x ?[2 , 3] ,则 f ( x)max ? 0
2

而 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? m ? 2( x ? ) ? m ?
2 2

9 4

81 9 ,? 对称轴 x ? ? [2 , 3] 2 4

而 f (2) ? m ? 10 , f (3) ? m ? 9

? f ( x)max ? f (3) ? m ? 9 ? 0 ,即 m ? 9
故实数 m 的取值范围为 (?? , 9]

5


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