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正定中学11届一轮复习学案 不等式的证明答案


学案三 不等式的证明
一、考点梳理: 1、求差法:a>b ? a-b>0 a 2、求商法:a>b>0 ? ? 1并且 b ? 0 b
3、分析法——执果索因;模式: “欲证?,只需证?” ; 4、综合法——由因导果;模式:根据不等式性质等,演绎推理 5、放缩法证明不等式 6、用单调性证明不等式. 7、构造一元二次方程利用“Δ ”法证明不等式. 8、数形结合法证明不等式. 9、反证法、换元法等.

二、考点自测: 1、已知下列不等式:

(1) x 2 ? 3? 2x( x ? R) (2)a 5 ? b 5 ? a 3b 2 ? a 2b 3 (a, b ? R)
其中正确的个数为 A.0 B.1 C. 2 B. b >

(3)a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1)
D. 3

2、1> a > b >0,那么 a?b A. a > > ab > b 2 a?b C. a > > b > ab 2 3、a>b>0,则下列不等式恒成立的是 A.

a?b > ab > a 2 a?b D. > ab > a > b 2
1 1 ?b? a b

2a ? b b ? a ? 2b a

B.

b2 ?1 b2 ? a2 ?1 a2

C. a ?

D. aa>bb

4、已知实数 a, b, c满足ab ? bc ? ca ? 1, 给出下列等式: (1) a b ? b c ? c a ? 1
2 2 2 2 2 2

(2)

1 ?2 3 abc
2 2 2

(3) (a ? b ? c) ? 2
2

(4) a bc ? ab c ? abc ?

1 3

其中一定成立的式子有_____3.4_____
2 2 2 5、若 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值为 __________ ___

6、已知 x>0,y>0,x+ y =1,求证: (1+

1 1 )(1+ ) ? 9 x y

证明:x>0,y>0, (1+

1 x? y y 1 x? y x 2x )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )=5+ + ? 5+4=9, x x x y y y y

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当且仅当

1 2x 2 y = 即 x= y= 时等号成立。 x 2 y

三、命题热点突破: 例 1、已知:a、b 是正实数,求证:
a b ? ? a? b b a

例 2、

1 ? a2 ? 1 ? b2 a?b 2 ? 1? ( ) 4 2

例 3、已知 a>1,n≥2,n∈N*.
求证: n a -1<

a ?1 . n a ?1 , n

证法一:要证 n a -1< 即证 a<(

a ?1 +1)n. n 令 a-1=t>0,则 a=t+1.
也就是证 t+1<(1+ ∵(1+

t n ). n

t n t t n ) =1+C 1 +?+C n ) >1+t, n n( n n n

a ?1 成立. n 证法二:设 a=xn,x>1.
即 n a -1< 于是只要证 即证
xn ?1 >x-1, n

xn ?1 xn ?1 - >n.联想到等比数列前 n 项和 1+x+?+xn 1= , x ?1 x ?1
- -

① ②

倒序 xn 1+xn 2+?+1= ①+②得 2·

xn ?1 . x ?1

xn ?1 - - - =(1+xn 1)+(x+xn 2)+?+(xn 1+1) x ?1

>2 x n?1 +2 x n?1 +?+2 x n?1 >2n. ∴
xn ?1 >n. x ?1

思考讨论
本不等式是与自然数有关的命题,用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.

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例 4.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 、 x2 满足
1 ? x1 ? x 2 ? 1 。 a

(1) 当 x ? (0, x1 ) 时,证明: x ? f ( x) ? x1 设函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明: x0 ?

x1 。 2

四、知识方法总结:

学案三作业(不等式的证明)
1、不等式: (1)x3+3>2x; (2)a5+b5<a3b2+a2b3; (3)a2+b2≥2(a+b-1); (4)|
恒成立的有 A.(1)(2) B. (1)(3) C. (3)(4)
2

a b ? |? 2 b a

D. (1)(2)(3)(4)

2、 对 x ? R 都成立的不等式是
2 A. lg( x ? 1) ? lg 2 x B. x ? 1 ? 2 x

C.

1 ?1 x ?1
2

D. x ? 4 ? 4 x
2

3、已知 a、b 是不相等的正数,x=

a? b 2

,y= a ? b ,则 x、y 的关系是

A.x>y 解析:∵x2= y2=a+b=

B.y>x

C.x> 2 y

D.不能确定

1 1 ( a + b )2= (a+b+2 ab ) , 2 2

1 1 (a+b+a+b)> (a+b+2 ab )=x2,又 x>0,y>0.∴y>x. 2 2

答案:B 4、(05 年天津)给出下列三个命题: ①若 a ? b>-1,则

a b ? 1? a 1? b n 2
2 2

②若正整数 m 和 n 满足 m ? n,则 m ? n ? m ? ?
2 2

③设 P(x1,y1)为圆 O1:x +y =9 上任一点, 圆 O2 以 Q (a,b) 为圆心且半径为 1, 当 (a-x1) +(b-y1) =1 时,圆 O1 与 O2 相切 其中假命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C.2 D.3 解析:①a ? b>-1 ? a+1 ? b+1>0
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a b a ?b a b ? ? ? 0? ? 1 ? a 1 ? b (1 ? a)(1 ? b) 1? a 1? b
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② m ? n ? m? ?

m?n?m n n ? , 当且仅当 m=n-m 即 m= 时取等号 2 2 2

③圆 O1 上的点到圆 O2 的圆心的距离为 1,两圆不一定相切,选 B 5.若 x,y 是正数,则 ( x ?

1 2 1 ) ? ( y ? ) 2 的最小值是( ) 2y 2x
C.4 D.

A.

3

B.

7 2

9 2

解析: (x ?

1 2 1 1 1 x y 2 ) ? ( y ? ) 2 = x 2 ? 2 ? 2 ? y 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 当且仅当 x ? y ? 2y 2x 4x 4 y y x 2
1 a 1 b 1 c
?

时等号成立,故选 C 6. 设M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1), 且a ? b ? c ? 1, (a, b, c ? R ), 则M 的取值范围是 ( ) A. [0,

1 ] 8

B.(

1 ,1) 8 1 得 M=8 ,故选 D 3

C. [-1,

1 ] 8

D. [8,+∞)

解法 1:特值法令 a=b=c=

1 1 1 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) (b ? c)(a ? c)(a ? b) 2 bc ? 2 ac ? 2 ab 法2:M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ? ? ?8 a b c abc abc abc
二、填空: 7.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0), ? , ? 为方程 f(x)=x 的两个根,且 0< ? ? ? ?
2

给出下列不等式①x<f(x) ② ? < f(x) 其中成立的是 A. ①④ B. ③④

③x>f(x) C. ①②

④ ? > f(x) D. ②④

1 ,0<x< ? , a

解析: ? , ? 为方程 f(x)=x 的两个根,? f(x)-x=a(x- ? )(x- ? )>0, ? f(x)> x ①对 f(x)-

? = a(x- ? )(x- ? )+x- ? =(x- ? )[a(x- ? )+1]<0 f(x)< ? ④对,选 A
y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值为________
x? y x? y ? 2

8.若 x,y 为正实数,且 x ?

( x ? y )2 2 解析:x+y ? ? x? y ? ( x ? y) 2 2
a?

x? y x? y

恒成立,? a ?

2 ,a 的最小值为 2

9.若 a>b>c,则

1 1 3 + _______ .(填“>” “=” “<” ) a?b b?c a?c 1 1 1 1 + ) (a-c)=( + ) [ (a-b)+(b-c) ] a?b b?c a?b b?c

解析:a>b>c, (

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≥2

1 ·2 (a ? b)(b ? c) =4. (a ? b)(b ? c)

1 1 4 3 + ≥ > . a?b b?c a?c a?c 答案:>


三、解答题 10、设 a、b、c 均为实数,求证:
1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . b?c c?a a?b 2a 2b 2c

证明:∵a、b、c 均为实数, 1 1 1 1 1 ∴ ( + )≥ ≥ ,当 a=b 时等号成立; 2 2a 2b a?b 2 ab 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 b=c 时等号成立; 2 b?c 2b 2c 2 bc 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ . 2 2c 2a c?a 2 ca 三个不等式相加即得

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + ,当且仅当 a=b=c 时等号成立. b?c c?a a?b 2a 2b 2c

11、已知△ABC 的外接圆半径 R=1, S ?ABC ?

1 , a 、 b 、 c 是三角形的三边,令 4

s ? a ? b ? c ,t ?

1 1 1 ? ? 。求证: t ? s a b c

12.设 f(x)=3ax +2bx+c,使 a+b+c=0,f(0)f(1)>0 求证: (1)方程 f(x)=0 有实根 (2)-2<

2

b <-1 a
2 3 ? | x1-x2|< 3 3
2

(3)设 x1, x2 是 f(x)=0 的两个实根,则

解析:(1)若 a=0,因为 a+b+c=0 则 b=-c f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=-c ? 0 与已知矛盾, 所以 a ? 0 △=4(b -3ac)=4(a +c -ac)=4[(a2 2 2

1 2 3 2 c) + c ]>0,故方程有实根。 2 4

(2)f(0)f(1)=c(3a+2b+c)>0 由 a+b+c=0 消去 c,得(a+b)(a+2b)<0

b b b ? (1 ? )(2 ? ) ? 0, 故 ? 2 ? ? ?1 a a a 2b c a?b 4 b 3 2 1 , x1 x2 ? ?? (3) x1+x2= ? ,? (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= ( + ) + 3a 3a 3a 9 a 2 3

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-2<

b 1 4 2 3 <-1? ? (x1-x2)2< ? ? | x1-x2|< a 3 9 3 3

13.(06 年天津) 已知数列{xn}{yn}满足 x1=x2=1,y1=y2=2,并且

xn ?1 x y y ? ? n , n ?1 ? ? n ( ? xn xn ?1 yn yn ?1

为非零参数,n=2,3,4?) (1) 若 x1,x3, x5 成等比数列,求参数 ? 的值 (2) 当 ? >0 时,证明

xn?1 xn ? (n ? N ? ) yn?1 yn

(3) 当 ? >1 时,证明

x1 ? y1 x2 ? y2

?

x ? yn x2 ? y2 ? ??? n ? (n ? N ? ) x3 ? y3 xn?1 ? yn?1 ? ? 1

(1) 解:由已知 x1=x2=1,

xn ?1 x x x x x ? ? n 得 3 ? ? 2 ? x3= ? 又 4 ? ? 3 xn xn ?1 x2 x1 x3 x2

x5 x ? ? 4 ? x5= ? 6, x1,x3, x5 成等比数列,? (x3)2= x1 x5 ? 2= ? 6 ? ? 0 ? = ?1 x4 x3 (2)证明:由已知, ? >0,x1=x2=1,y1=y2=2,可得 xn>0,yn>0 由不等式性质,有 yn?1 y y y x ? ? n ? ? 2 n?1 ? ? 3 n?2 ? ?? ? n ?1 2 ? ? n ?1 yn yn?1 yn?2 yn?3 x1 xn?1 x x x ? ? n ? ? 2 n?1 ? ? ? ? n?1 2 ? ? n?1 xn xn?1 xn?2 x1 yn ?1 x x x ? ? n ?1 ? n ?1 ? n?1 ? n (n ? N ? ) yn?1 yn yn xn x x x ? yn?1 xn ? yn (3)证明:当 ? >1 时由(2)知 yn>xn ? 1,又? n ?1 ? n ? n?1 ? yn?1 yn yn ?1 yn x ? yn y 1 ? n ? n ?1 ? n xn?1 ? yn?1 yn?1 ? 1 1 ? ( )n x1 ? y1 x2 ? y2 x ? yn 1 1 ? ? ? ? ??? n ? 1 ? ??? n?1 ? 1 x2 ? y2 x3 ? y3 xn?1 ? yn?1 ? ? ? ?1 1?

?

(06 年浙江)设 f(x)=3ax +2bx+c,使 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0 求证: (1)a>0,且-2<

2

b <-1 a

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根 证明(1): f(0)>0,f(1)>0 ? c>0,3a+2b+c>0,又 a+b+c=0, ? a+b<0, 2a+b>0? -a-b>0? a>0,

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且-2<

b <-1 a
2

(2) f(x)=3ax +2bx+c 的 顶 点 坐 标 为 ( -

b 1 b 3ac ? b 2 , ) , -2< <-1 两 边 乘 以 - 得 a 3 3a 3a

1 b 2 << , 3 3a 3
b b b b a 2 ? c 2 ? ac ? 0 而 f(0)>0,f(1)>0, f(x)=0 在 (0,) , (, ? (0,1),f( - )= ? 3a 3a 3a 3a 3a

1)内分别有一实根,故方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根 设 a+b+c=1,a2+b2+c2=1 且 a>b>c.

1 求证:- <c<0. 3 证明:∵a2+b2+c2=1, ∴(a+b)2-2ab+c2=1. ∴2ab=(a+b)2+c2-1=(1-c)2+c2-1=2c2-2c. ∴ab=c2-c. 又∵a+b=1-c, ∴a、b 是方程 x2+(c-1)x+c2-c=0 的两个根,且 a>b>c. 令 f(x)=x2+(c-1)x+c2-c,则
?Δ ? 0 ?1 ? c 1 ? ?c?? ?c?0 ? 3 ? 2 ? f ( c ) ? 0 . ?

11、已知正数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? 2c ,求证: (1) c 2 ? ab (2) c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 分析法

注意: 本文件是河北正定中学 11 届高三全体数学老师编写的教学学案, 是 正中现用的教学资料。本人将本文件发布于网上,是为了将正中的一 些优秀的学习方法和大家共享,可以使大家从本文件有所收获。最后, 若有转载,请标明本文件作者: “河北正定中学 11 届所有数学老师”
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