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湖北省黄冈中学2012届高三模拟考试数学(理)试题


湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试 数学(理工类)
本试卷共 4 页,共 22 题,其中 15,16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出后

,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标 号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 不能答在试题卷上. 3.填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直 接答在答题卡上对应的区 域内。答在试卷纸、草稿纸上无效. 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是
A.1 A. 1 ? 2i B.0 B. ?1 ? 2i C.-1 C. ?1 ? 2i D.1 或-1 D. 1 ? 2i 2.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,复数 a ? bi ?

3.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 C.30

B.20 D.55

4.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的
2

A.充分非必要条件; C.充要条件;

B.必要非充分条件; D.既非充分也非必要条件.

5.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 (第 3 题图) A. y ? cos x C. y ? ln B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x
n

2? x 2? x

?x

1 ? ? * 6.已知二项式 ? x 2 ? ? ? n ? N ? 展开式中,前三项的二项式系数和是 56,则展开式 2 x? ?
中的常数项为 A.
45 256

B.

47 256

C.

49 256

D.

51 256

7.已知两点 A(1, 0),B (1, 3), 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设 O
?

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2 OA ? ? OB (? ?R ),则? 等于 ,
B.2

A. ? 1

C.1

D. ? 2

8.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距 离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

9.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的年 薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪为 8 千 元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,如果将第 n 年企业付给工人的 工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为 A.y=(3n+5)1.2n+2.4 C.y=(3n+8)1.2n+2.4 B.y=8×1.2n+2.4n D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4


10.如图, 平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 , ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD BD 折成四面体 A'? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A'? BCD 顶点在同一个球面 上,则该球的体积为 A' A 3 A. B. 3? ? 2 D DB B 2 C. D. 2? ? 3 C C
[来源:学.科.网]

第 10 题

二、填空题:本小题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
(一)必考题(11—14 题) 11. 函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1,2) 处的切线与函数 g ( x) ? x 围成的图形的面积等于
3 2 2

.
2 2 12.平面直角坐标系中,圆 O 方程为 x ? y ? 1 ,直线 y ? 2 x 与圆 O 交于 A, B 两点,又

知角 ? 、 ? 的始边是 x 轴,终边分别为 OA 和 OB ,则 cos ?? ? ? ? ?

.

?x ? y ? 4 ? 2 2 13.已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 14 相交于 ?x ? 1 ?

A、B 两点,则 AB 的最小值为

. .

14. 若实数 a,b,c 满足 2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c ,则 c 的最大值是 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答)

15.如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长 交圆 O 于点 D,则 CD= .

? x ? 1? t 16.已知直线 ? ? y ? 4 ? 2t 为直径的圆的面积为

? t ? R ? 与圆 ?
.

? x ? 2cos? ? 2 ? y ? 2sin ?

?? ? [0,2? ]? 相交于 AB,则以 AB

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。
17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin ( I ) 若 f (? ) ?

3 2? ? ? ) 的值; ,求 cos( 2 3

?? ? x x x ,1 ),n ? (cos ,cos 2 ) .记 f ( x ) ? m? n 4 4 4

(Ⅱ) 在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足

? 2a ? c? cos B ? b cos C ,若 f ( A ) ?

1? 3 ,试判断 ? ABC 的形状. 2

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的各项均为 正数,公比是 q ,且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2 q . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ )设 cn ? 3bn ? ? ? 2 求 ? 的取值范围.
an 3

? ? ? R ? ,若 ?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立,

? 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, BAD ? 60 ,

?

Q 为 AD 的中点. PA ? PD ? AD ? 2 .
(I)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (II)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

20.(本小题满分 12 分)某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成 绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ) 若该校决定在笔试成绩高的第 3, 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试, 4, (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组, 求学生 甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; (ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受 考官D的面试,设第 4组中有X名学生被考官D面试,求 X的分布列和数学期望. 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

x2 y 2 21. (本小题满分 13 分)如图,F1、F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点,椭圆的右 a b
准线 l 与 x 轴交于 A 点,若 F1 ? ?1,0 ? ,且 AF ? 2 AF2 . 1 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1、F2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P、Q、 M、N 四点,求四边形 PMQN 面积的取值范围.

????

???? ?

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln ax ? (Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ) 求证: 对于任意正整数 n, 均有 1 ?

x?a ? a ? 0? x

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln ( e 为自然对数的底数) ; 2 3 n n!

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y ? f ( x) 的图象相切? 若存 在,有多少条 ?若不存在,说明理由.

湖北省黄冈中学 2012 届高高考模拟考试 数学(理工类)答案
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M ? {?1,0,1} ,N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是 ( )
A.1 解析:C 2.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R ,i 是虚数单位,复数 a ? bi ? A. 1 ? 2i 解析:B 3.阅读右面的程序框图,则输出的 S = A.14 B.20 C.30 ( ) D.55 B. ?1 ? 2i C. ?1 ? 2i D. 1 ? 2i ( ) B.0 C.-1 D.1 或-1

解析:C

4.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y 2 ? xz ”成立的 A.充分非必要条件; C.充要条件; 解析:A B.必要非充分条件; D.既非充分也非必要条件.
[来源:学科网 ZXXK]

5.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是 A. y ? cos x C. y ? ln 解析:D
2 6.已知二项式 ( x ?





B. y ? ? x ? 1 D. y ? e ? e
x ?x

2? x 2? x

的常数项为 A.
45 256

1 n ) ( n ? N? )展开式中,前三项的二项式系数和是 56,则展开式中 2 x ( ) 49 51 47 B. C. D. 256 256 256
?

解析:A 7.已知两点 A(1,0), B(1, 3), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120 ,设

???? ??? ? ??? ? OC ? ?2 OA ? ? OB (? ?R ),则 ? 等于 ,
B.2

( C.1 D. ? 2



A. ? 1 解析:C

8.过抛物线 y

2

? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距
C.有无穷多条 ( ) D.不存在

离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 解析:D

9.某个体企业的一个车间有 8 名工人,以往每人年薪为 1 万元,从今年起,计划每人的年

薪都比上一年增加 20%,另外,每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年的年薪为 8 千元, 第二年起与老工人的年薪相同. 若以今年为第一年, 如果将第 n 年企业付给工人的工资总额 y(万元)表示成 n 的函数,则其表达式为( A.y=(3n+5)1.2n+2.4 C.y=(3n+8)1.2n+2.4 ) B.y=8×1.2n+2.4n D.y=(3n+5)1.2n 1+2.4


【解析】 A 第一年企业付给工人的工资总额为:1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(万元), 而对 4 个选择项来说,当 n=1 时,C、D 相对应的函数值均不为 12,故可排除 C、D;A、 B 相对应的函数值都为 12,再考虑第 2 年付给工人的工资总额及 A、B 相对应的函数值,又 可排除 B. 10.如图, 平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 , ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD BD 折成四面体 A'? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体 A'? BCD 顶点在同一个球面上, 则该球的体积为 ( )

3 ? 2 2 C. ? 3 解析:A
A.

B. 3? D. 2?
B

A DB

A' D C C

第 10 题

二、填空题:本小 题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得 分.
11. 函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1,2) 处的切线与函数 g ( x) ? x 围成的图形的面积等于
3 2 2

解析:

4 3

2 2 12.平面直角坐标系中,圆 O 方程为 x ? y ? 1 ,直线 y ? 2 x 与圆 O 交于 A, B 两点,又

知角 ? 、 ? 的始边是 x 轴,终边分别为 OA 和 OB ,则 cos(? ? ? ) ? _________ 。

解析:

3 5

?x ? y ? 4 ? 13. 已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x , 过点 P 的直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 14 相交于 A、 ?x ? 1 ?
B 两点,则 AB 的最小值为 解析:4 14. 若实数 a,b,c 满足 2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c ,则 c 的最大值是 解析: log 2 .

.

4 3

15. 如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA ? OB, OA ? 2 ,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长

交圆 O 于点 D,则 CD=_________

解析:

3 5 5

? x ? 1? t 16.已知直线 ? ? y ? 4 ? 2t
为直径的圆的面积为

? t ? R ? 与圆 ?
. 解析:

? x ? 2cos? ? 2 ? y ? 2sin ?

?? ? [0,2? ]? 相交于 AB,则以 AB

16 ? 5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分)

?? ? x x x 已知向量 m ? ( 3 sin ,1 ),n ? (cos ,cos 2 ) .记 f ( x ) ? m? n 4 4 4 3 2? ? ? ) 的值; (I)若 f ( ? ) ? ,求 cos( 2 3 (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足
(2a—c) cos B=b cos C , 若 f ( A) ?

1? 3 ,试判断 ? ABC 的形状. 2

x x x 3 x 1 x 1 17.解: f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? 4 4 4 2 2 2 2 2

?x ?? 1 ? sin ? ? ? ? ?2 6? 2

??

2分

(I) 由已知 f ( ? ) ?

3 2? ?? ? ? 1 3 ,k ??, 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 ? ? 4k? ? 2 3 ?2 6? 2 2

∴ cos(

2? 2? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? 3 3 ? 3

? ? ?1 ?

??6 分

(Ⅱ 根据正弦定理知: ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C)cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ?
∵ f ( A) ?

1 ? ?B? 2 3

1? 3 2
2? 3

∴ sin ?

2? ? A ? ? ? A ? ? 1 1? 3 ? A? 或 ? ?? ? ? ? ? 或 3 3 2 2 6 3 ?2 6? 2

? 而0 ? A ?

,所以 A ?

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的各项均为正数,公比是 q , 且满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2 q . (Ⅰ)求 ?an ? 与 {bn } ; (Ⅱ)设 cn ? 3bn ? ? ? 2 求 ? 的取值范围. 18. (Ⅰ)由已知可得 ?
an 3

? ? ? R ? ,若 ?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N * 恒成立,

?q ? 3 ? a2 ? 12 ?3 ? a2 ? q
2

,消去 a2 得: q ? q ? 12 ? 0 ,解得 q ? 3 或
2

q ? ?4 (舍) ? a2 ? 6, d ? 3 从而 an ? 3n, bn ? 3n?1 ,
(Ⅱ)由(1)知: cn ? 3bn ? ? ? 3 ? 3 ? ? 2 . 2
n n an

∵ cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立, 即: 3
* n n *

n ?1

? ? ? n?1 ? 3n ? ? ? n 恒成立,整理得: 2 2
n

?3 ? ?2 ? 2? 对任意的 n ? N 恒成立,即: ? ? 2? ? 对任意的 n ? N * 恒成立. 3 ? ? ?2?

3 ?3? ∵ y ? 2? ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,? ymin ? 2? ? 3 ? ? ? 3 . ? 2 ?2?
? ? 的取值范围为 ? ??,3? .
19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 ,Q 为 AD 的中点。
?

x

PA ? PD ? AD ? 2 (I)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ;
(II)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小。

19.解: (1)当 t

1 时, PA // 平面 MQB 3 下面证明:若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC , AQ AN 1 ? ? ? BC NC 2 .....2分 .... ? PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN , ? PA // MN ............ ............4分 1 PM AN 1 1 ?t ? ? ? 即: PM ? PC 3 ... PC AC 3 3 ...6分 ?

(2)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 .7分 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, 四边形 ABCD 为菱形, ∵AD=AB, ∠B AD=60°△ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ...... ......8分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
[来源:学+科+网]

A(1,0,0) ,B( 0, 3, 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) ? ??? ? ? ??? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? 3 y ? 0 ? ? 设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,可得 ? ? ???? ,? ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? x ? 3z ? 0 ? ? ? 取 z=1,解得 n ? ( 3,0,1)

?

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 设所求二面角为 ? ,

?

???10 分

?

[来源:学+科+网]

则 cos? ?

| QP ? n | | QP | | n |

?

1 2

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°....... .......12分

20. 某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组:第1 组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]得到的频率分 布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2) 若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试, (ⅰ 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概 ) 率; (ⅱ 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试, ) 设第4组中有 X 名学生被考 官D面试,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1) 第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为0.02 ? 5=0.1.…………3分 (2) (ⅰ) 设M:学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P( M ) ? (ⅱ ) X P 0 1 2
1 C 28 1 ? 3 C30 145

??6分

2 5

8 15

1 15
[来源:学,科,网]

E?X ? ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

??12分

(本小题满分 13 分)
21.如图,F1、F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点,椭圆的右准线 l 与 x a 2 b2

轴交于 A 点,若 F1(-1,0),且 AF ? 2 AF2 , 1 (I)求椭圆的方程; (II)过 F1、F2 作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 P、Q、M、 N 四点,求四边形 PMQN 面积的取值范围.
2 解:(I) 由 F1(-1,0)得 c ? 1 ,∴A 点坐标为 a , 0 ;??2 分

????

???? ?

?

?

∵ AF ? 2 AF2 1

????

???? ?

∴ F2 是 AF1 的中点 ∴ a ? 3, b ? 2
2 2

∴ 椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 3 2

??5 分

(II)当直线 MN 与 PQ 之一与 x 轴垂直时,四边形 PMQN 面积 S ? ????6 分

1 MN ?PQ ? 4 ; 2

当直线 PQ,MN 均与 x 轴不垂直时,不妨设 PQ: y ? k ? x ? 1?? k ? 0? ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 代入消去 y 得 ? 2 ? 3k ? x ? 6k x ? ? 3k ? 6 ? ? 0 ?1 ? ? ?3 2
设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ?

?6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? ???8 分 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

∴ PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

4 3 ? k 2 ? 1? 2 ? 3k 2

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? ?k ? ,同理 MN ? 1 2?3 2 k

1 ? ? 24 ? k 2 ? 2 ? 2 ? 1 k ? ? ∴四边形 PMQN 面积 S ? MN PQ ? 2 ? 2 1 ? 6 ? k ? 2 ? ? 13 k ? ?
令u ? k ?
2

???10 分

24 ? u ? 2 ? 1 4 ? 4? ,则 u ? 2, S ? ,易知 S 是以 u 为变量的增函数 2 k 6u ? 13 6u ? 13
96 96 ?S?4 ,∴ 25 25

所以当 k ? ?1, u ? 2 时 , S min ? 综上可知,

96 ? 96 ? ? S ? 4 ,∴四边形 PMQN 面积的取值范围为 ? , 4? ???13 分 25 ? 25 ? x?a ? a ? 0? x

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln ax ? (Ⅰ)求此函数的单调区间及最值; (Ⅱ) 求证: 对于任意正整数 n, 均有 1 ?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln ( e 为自然对数的底数) ; 2 3 n n!

(Ⅲ)当 a=1 时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数 y=f(x)的图象相切? 若存 在,有多少条?若不存在,说明理由. 22、 (Ⅰ)解:由题意 f ?( x) ?

x?a . x2

??????1 分

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的定义域为 (0,??) , 此时函数在 (0, a ) 上是减函数,在 (a, ??) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.??????3 分

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的定义域为 (??,0) , 此时函数在 (??, a) 上是减函数,在 ( a, 0) 上是增函数,

fmin ( x) ? f (a) ? ln a2 ,无最大值.??????5 分
(Ⅱ)取 a ? 1 ,由⑴知 f ( x) ? ln x ? 故

x ?1 ? f (1) ? 0 , x

1 e ? 1 ? ln x ? ln , x x

取 x ? 1, 2,3?, n ,则 1 ?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln .??????9 分 2 3 n n!

(Ⅲ)假设存在这样的切线,设其中一个切点 T ( x0 , ln x0 ?

x0 ? 1 ), x0

∴切线方程: y ? 1 ?

x0 ? 1 x0
2

( x ? 1) ,将点 T 坐标代入得:

x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2 3 1 ,即 ln x0 ? ? 2 ?1 ? 0 , ln x0 ? ?1 ? 2 x0 x0 x0 x0
设 g ( x) ? ln x ?



3 1 ( x ? 1)( x ? 2) ? 2 ? 1 ,则 g ?( x) ? .??????12 分 x x x3

?x ? 0,

? g ( x) 在区间 (0,1) , (2,??) 上是增函数,在区间 (1,2) 上是减函数,
故 g ( x)极大值 ? g (1) ? 1 ? 0, g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? 又 g ( ) ? ln

1 ?0. 4

1 4

1 ? 12 ? 16 ? 1 ? ? ln 4 ? 3 ? 0 , 4 1 4

注意到 g ( x) 在其定义域上的单调性,知 g ( x) ? 0 仅在 ( ,1) 内有且仅有一根 方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条.????14 分


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