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数学竞赛练习——二项式定理答案版


排列组合
一、排列组合二项式定理 1.(2005 年浙江 年浙江)设 1 + x + x
n

二项式定理和概率练习


(

2 n

)

= a0 + a1 x + L + a2 n x 2 n ,求 a2 + a4 + L + a2 n 的值

为(

A. 3

B. 3 2
n

3n 1 C. 2

3n + 1 D. 2

【解】令 x = 0 得 a 0 = 1 ; (1) 令 x = 1 得 a 0 a1 + a 2 a3 + L + a 2 n = 1 ; (2) 令 x = 1 得 a 0 + a1 + a 2 + a 3 + L + a 2 n = 3 ; (3)
n

(2)+(3)得 2( a 0 + a 2 + a 4 + L + a 2 n ) = 3 + 1 ,
n

故 a0 + a 2 + a4 + L + a2n

3n + 1 = , 2 3n 1 。 2
∴选 【 C 】

再由(1)得 a 2 + a 4 + L + a 2 n =

2. 2004 全国)设三位数 n = abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这 ( 全国) 样的三位数 n 有 A.45 个 B.81 个 C.165 个 ( ) D.216 个

解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a, b, c ∈ {1, 2,...,9} (1) 若构成等边三角形, 设这样的三位数的个数为 n1 , 由于三位数中三个数码都相同, 所以,n1 = C9 = 9 .
1

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n2 ,由于三位数中只有 2 个不同数码. 设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2C9 。但当大数为底时,设 a>b, 必须满足 b < a < 2b 。此时,不能构成三角形的数码是 a b 9 4,3 2,1 8 4,3 2,1 7 3,2 1 6 3,2 1 5 1,2 4 1,2
2 2

3 1

2 1

1

共 20 种情况。同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C3 种情况。 故 n2 = C3 (2C9 20) = 6(C9 10) = 156 。综上, n = n1 + n2 = 165 。
2 2 2

3. . (2005 四川)设 A = {1,2,L ,10} ,若“方程 x bx c = 0 满足 b, c ∈ A ,且方程至少有一根 a ∈ A ” 四川) ,就 (
2

称该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为 A.8 B.10 C.12
1

D.14

解:由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 1 时,有 9 个满足题意的“漂亮方程” , 当一根为 2 时,有 3 个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个,故选 C。 4. . (2005 四川)设 a1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1,2,3,4 的任一排列, f 是 {1,2,3,4} 到 {1,2,3,4} 的映射,且满足 f (i ) ≠ i , 四川) ( 记数表

a2 a1 f (a1 ) f(a 2 )

a3

。 若数表 M , N 的对应位置上至少有一个不同, 就说 M , N 是两张 f (a3 ) f (a 4 ) a4
) D.576

不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为( A.144 B.192 C.216

4 解:对于 a1 , a 2 , a 3 , a 4 的一个排列,可以 9 个映射满足 f (i ) ≠ i ,而 a1 , a 2 , a 3 , a 4 共有 A4 = 24 个排列,

所以满足条件的数表共有 24 × 9 = 216 张,故选 C。 5 . (2005 江西 江西)连结正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 的对角线交另一个正五边形 B1 B2 B3 B4 B5 ,两次连结正五边形

B1 B2 B3 B4 B5 的对角线,又交出一个正五边形 C1C2C3C4C5 (如图) ,以图中线段为边的三角形中,共有等
腰三角形的个数为 ( ) A.50 B.75 C.85 D.100 解 : 对 于 其 中 任 一 点 P , 以 P 为 “ 顶 ” 两 腰 的 公 共 点 ) 的 等 腰 三 角 形 的 个 数 记 为 [P] 则 (

[ A1 ] = 6, (A1 A2 A5 , A1 B3 B4 , A1 B2 B5 , A1 A3 A4 , A1 A2 B5 , A1 A5 B2 ) .
[ B1 ] = 9, (B1 A3 A4 , B1B2 B5 , B1B3 B4 , B1C3C4 , B1B2C5 , B1C2 B5 , B1 A2 A5 , B1 A3 B4 , B1 A4 B3 )

[C1 ] = 2,

(C1 B3 B4 , C1 B2 B5 ) , 由于图中没有等边三角形,则每个等腰三角形恰有一个“顶” 。据对 [ Bi ] = 9, [Ci ] = 2,

称性可知 [ Ai ] = 6,

i = 1, 2,3, 4,5 .因此等腰三角形共有 5 (6 + 9 + 2) = 85 个.

6 . (2005 全 国 ) 将 关 于 x 的 多 项 式 f ( x ) = 1 x + x 2 x 3 + L x 19 + x 20 表 为 关 于 y 的 多 项 式

g ( y ) = a 0 + a1 y + a 2 y 2 + L + a19 y 19 + a 20 y 20 , 其中 y = x 4. 则 a 0 + a1 + L + a 20 =

5 21 + 1 . 6

解:由题设知, f (x ) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 x 的等比数列,由等比数列的求和公式,得:

f ( x) =

( x) 21 1 x 21 + 1 ( y + 4) 21 + 1 = . 令 x = y + 4, 得 g ( y ) = , 取 y = 1, x 1 x +1 y+5 5 21 + 1 . 6

有 a 0 + a1 + a 2 + L + a 20 = g (1) =

7. 如果自然数 a 的各位数字之和等于 7, 那么称 a 为 “吉祥数” .将所有 “吉祥数” 从小到大排成一列 a1 , a 2 , a3 , L , 若 a n = 2005, 则 a 5 n = 5200. 解:∵方程 x1 + x 2 + L + x k = m 的非负整数解的个数为 C m + k 1 .而使 x1 ≥ 1, xi ≥ 0(i ≥ 2) 的整数解个数
m

2

为 C m + k 2 .现取 m = 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为 P ( k ) = C k + 5 .
6

m 1

∵2005 是形如 2abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P (1) = C 6 = 1, P ( 2) = C 7 = 7,
6 6 6 P (3) = C86 = 28, 对于四位 “吉祥数” abc , 1 其个数为满足 a + b + c = 6 的非负整数解个数, C 6 +31 = 28 即

个. ∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a 65 = 2005. 从而 n = 65,5n = 325. 又 P ( 4) = C 9 = 84, P (5) = C10 = 210, 而
6 6

∑ P(k ) = 330.
k =1

5

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,52000.∴第 325 个“吉祥 数”是 52000,即 a 5 n = 52000. 8. 2004 四川)某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个牌照中数字 9 至 ( 四川) 少出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有 4168 个. 二、概率部分 1. 2006 吉林预赛)在 6 个产品中有 4 个正品,2 个次品,现每次取出 1 个作检查(检查完后不再放回) 吉林预赛) ,直 ( 到两个次品都找到为止,则经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部都找到的概率是(D) A.1/15 B.2/15 C.1/5 D.4/15 2. 2006 年南昌市)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛, 年南昌市) ( 甲获胜的概率为

2 1 17 ,乙获胜的概率为 ,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为____ ______. 3 3 81
.

3. (2006 年浙江省预赛)在 1,2, L ,2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 年浙江省预赛) 解: 三个数成递增等差数列,设为 a, a + d , a + 2d ,按题意必须满足 a + 2d ≤ 2006,

d ≤ 1002 。 对于给定的 d,a 可以取 1,2,……,2006-2d。 故三数成递增等差数列
的个数为
1002 d =1

∑ (2006 2d ) = 1003 *1002.

三数成递增等差数列的概率为 1003 × 1002 = 3 .
3 C 2006

4010

4. 2006 吉林预赛)骰子是一个质量均匀的正方体,6 个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 点。现在桌面上有 ( 吉林预赛) 3 只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作,直到桌子上没有骰子:将桌上的骰子全部掷出, 然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数多于三次的概率。.(169/512) 5. 2004 湖南)如果一元二次方程 x 2 2( a 3) x b 2 + 9 = 0 中,a、b 分别是投掷骰子所得的数字,则该二 ( 湖南) 次方程有两个正根的概率 P= A. ( C. )

1 18

B.

1 9

1 6

D.

13 18 34 ,则 35

6.(2005 江西 江西)从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为

n=_____. 7. (2005 江西 江西)有 10 名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意 5 人中既有 1 人胜其余 4 人,又有 1 人负其余 4 人,则恰好胜了两场的人数为____________个. 8.将编号为 1,2,…,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所 有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转 或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法)
3

解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆 形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有

8! 种. 5 分 2

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设

x1 , x 2 , L , x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则 | 1 x1 | + | x1 x 2 | + L + || x k 9 |≥| (1 x1 ) + ( x1 x 2 ) + L + ( x k 9) |=| 1 9 |= 8. 上式取等 号当且
仅当 1 < x1 < x 2 < L < x k < 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此 S 最小 = 2 8 = 16 .…………………………………………………………………10 分 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x1 , x 2 , L x k ,9} 确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,…,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,…,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个子集 共有 C 7 + C 7 + C 7 + C 7 = 2 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法,即有利事件
0 1 2 3 6

26 1 = . ………20 分 总数是 2 种,故所求概率 P = 8! 315 2
6

8. 2004 全国)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数 ( 全国) 之和大于 2n , 则算过关。 (Ⅰ) 问: 某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ) 他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一 面的点数为出现点数。 ) 解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 × 4 > 24 , 6 × 5 < 25 ,因此,当 n ≥ 5 时,n 次出现的点数之和大于

2n 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连过 4 关.
,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功”. (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败” 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个. 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ,
n

.......5 分

∴ 过此关的概率为: P ( A1 ) = 1 P ( A1 ) = 1

2 2 = . 6 3

第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x + y = a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和. 即有
1 1 C11 + C2 + C3 = 1 + 2 + 3 = 6 (个).

∴ 过此关的概率为: P ( A2 ) = 1 P ( A2 ) = 1

6 5 = . 62 6

........10 分

第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x + y + z = a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数之和。
4

即有 C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 (个).
2 2 2 2 2 2

∴ 过此关的概率为: P ( A3 ) = 1 P ( A3 ) = 1

56 20 = . .........15 分 63 27 2 5 20 100 故连过前三关的概率为: P ( A1 ) × P ( A2 ) × P ( A3 ) = × × = . .......20 分 3 6 27 243

(说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来) 10. 2006 年浙江省预赛)六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 年浙江省预赛) ( 1)共有多少种不同的骰子; 2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V。在所有的 骰子中,求 V 的最大值和最小值。 解:1)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共 6×4 种。 所以不同的骰子共有

6! = 30 种. 6*4

…… (5 分)

2) 由 1-6 的六个数字所能产生的变差共有 15 个,其总和为 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 (10 分) 与之相比,每个骰子的全变差中,所缺的是三个相对面上数字之间的变差,记其总和为 v,则 vmax=(6+5+4)- (1+2+3) =9 , vmin= 1+1+1 = 3 ………………… (15 分) Vmin=35-vmax=26. …… (20 分) 因此 Vmax=35-vmin=32

5


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