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湖南省衡阳八中2015届高三上学期第四次月考试题++数学(理)


湖南省衡阳八中 2015 届高三上学期第四次月考试题 数学(理)
考生注意:本试卷共 21 道小题,满分 150 分,时量 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题 目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。 ) 1.已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 25

,则 z ? ( A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i ) D. ?3 ? 4i )

2.已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

3.若集合 A ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 B ? x x ? A且x ? 2 ? A ,则集合 B 的子集的个数为 ( A.1 B.2 C.4 D.8

?

?



4.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 A.6 B.5 C.4 D.3





5. “a≤0”是“函数 f (x)= (ax+1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



6.函数 f ( x) 的导数 f '( x) 的图像是如图所示的一条直线 l ,l 坐标为 (1, 0) ,则 f (0) 与 f (2) 的大小关系为( A. f (0) ? f (2) C. f (0) ? f (2) B. f (0) ? f (2) D.无法确定 )

y

与 x 轴交点

o

1

x

7. 为得到函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象, 可将函数 y ? sin x 的图象向左平移 m 个单位长度, 或向右平移 n 个
)

单位长度( m , n 均为正数) ,则 | m ? n | 的最小值是( A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

8.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

n m , S m ? (m, n ? N * 且 m ? n) ,则下列各值中可以为 m n

Sn? m 的值的是(



1第

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知关于 x 的方程 是( )

cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四个命题正确的 x
2

A. sin 2? ? 2? cos ? C. sin 2? ? ?2? sin 2 ?

B. cos 2? ? 2? sin ?
2

D. cos 2? ? ?2? sin 2 ?

10.已知函数 f ( x) ? cos x , a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 3a 2 ? 3b 2 ? c 2 ? 4ab ,则下 列不等式一定成立的是( ) B. f (sin A) ? f (cos B ) D. f (cos A) ? f (cos B )

A. f (sin A) ? f (cos B ) C. f (sin A) ? f (sin B )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.不等式

1? x ? 0 的解集为_______ 2? x

___

?x ? y ? 4 ? 12.已知点 P ? t , 2 ? 在不等式组 ? y ? x 所表示的平面区域内运动,l 为过点 P 和坐标原点 O 的直线,则 ?x ? 1 ?

l 的斜率的取值范围为



13. 已知点 C 在直线 AB 上运动,O 为平面上任意一点,且 OC ? xOA ? 4 yOB ( x,y ? R + ),则 x ? y 的 最大值是 .

14.设 a ? 是

?

1

0

1 ? x 2 dx ,对任意 x ? R ,不等式 a(cos 2 x ? m) ? ? cos x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围


15.已知数列 A : a1 , a2 , a3 ,

, an (n ? 3,n ? N * ) 中,

* 令 TA ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n, i, j ? N , card (TA ) 表示集合 TA 中元素的个数.

?

?

( 例 如 A :1, 2, 4 , 则 card (TA ) ? 3. ) 若

ai ?1 ? c ( c 为 常 数 , 且 c ? 1 , 1 ? i ? n ?1 ) 则 ai

card (TA ) ?





2第

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式并标出其定义域; (2)设 g ( x) ? 6mf ( x) ? 1(m ? 0) ,若 g ( x) 的值域为 [ ?

2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3

3 ,1) ,求实数 m 的值. 2

17.(本小题满分 12 分)

AB ? 2 , 如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面 ABCD是平行四边形,且 AA 1 ? 底面 ABCD,

AA1 ? BC ? 4 , ?ABC ? 60 °,点 E 为 BC 中点,点 F 为 B1C1 中点.
(1)求证:平面 A 1 ED ? 平面 A 1 AEF ;

AD 与平面 A1ED (2)设二面角 A 1 ? ED ? A 的大小为 ? ,直线
所成的角为 ? ,求 sin(? ? ? ) 的值.

A1 B1 F C1

D1

A
18. (本小题满分 12 分)

D E C

B

2 已知数列 {an } 的各项均为正数, Sn 表示数列 {an } 的前 n 项的和,且 2Sn ? an ? an .

(1)试求数列 {an } 的通项; (2)设 bn ? an ? 2 n ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

19. (本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数

f ? x ? 与时刻 x (时)的关系为 f ? x ? ?

2x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? , x ?1 3
2

其中 a 是与气象有关的参数,且 a ??0,1? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记 作 M ? a? . (1)令 t ?


2x , x ??0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

3第

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超 标?

20. (本小题满分 13 分) 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知]任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常 数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn ? 2log 2 an?1 (n∈N*). b1+1 b2+1 bn+1 证明:对任意的 n∈N*,不等式 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn

21. (本小题满分 13 分) 设 g ( x) ? ex , f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 . (1)求函数 f ( x ) 的最值; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

g ( x) ? 1 ? 1 ? a 成立; x
? ?

(3)设 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有: a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 .

衡阳市八中 2015 届高三第四次月考 数学(理科)参考答案
二、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题 目要求的。请将你认为正确的选项填在答题卡的相应的位置上。 ) 1.已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 25 ,则 z ? ( A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i A ) C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i



4第

由复数相等得 ?

?a ? 3 ?3a ? 4b ? 25 ,解得 ? ,因此 z ? 3 ? 4i ,故选 A. ?b ? ?4 ?4a ? 3b ? 0

2. 已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ=( B ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 3.若集合 A ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 B ? x x ? A且x ? 2 ? A ,则集合 B 的子集的个数为 ( C A.1 B.2 C.4 D.8 ( C )

?

?



4.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 A.6 【答案】C. B.5 C.4 D.3

a a 5 16 16 ?5? ? 2?? ? ? ,? lg a1 ? lg . 【解析】由已知得 q ? 5 ? ,? a1 ? 4 3 a4 2 q 125 ? 2 ? 125

3

?an ? 为等比数列,

? lg an ? lg an?1 ? lg
8lg

an 5 ? lg ? n ? 2 ? ,??lg an ? 为等差数列,∴所求和为 an?1 2

16 8 ? 7 5 ? lg ? 8 ? 4 lg 2 ? 3lg 5 ? ? 28 ? lg 5 ? lg 2 ? ? 4 lg 2 ? 4 lg 5 ? 4 ,故选 C. 125 2 2

5. “a≤0”是“函数 f (x)= (ax+1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的( D ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.函数 f ( x) 的导数 f '( x) 的图像是如图所示的一条直线 l , l 与 x 轴
y



点坐标为 (1, 0) ,则 f (0) 与 f (2) 的大小关系为( C A. f (0) ? f (2) C. f (0) ? f (2) 7. 为得到函数 y ? sin( x ? B. f (0) ? f (2)



o

1

x

D.无法确定

?
3

) 的图象, 可将函数 y ? sin x 的图象向左平移 m 个单位长度, 或向右平移 n 个

单位长度( m , n 均为正数) ,则 | m ? n | 的最小值是( B ) A.


? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

5第

【答案】B

5? (k1 , k2 ? N ) ,则 3 3 4? 2? | m ? n |?| 2(k1 ? k2 )? ? | ,易知 k1 ? k2 ? 1 时 | m ? n |min ? 3 3 n m * 8.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? , S m ? (m, n ? N 且 m ? n) ,则下列各值中可以为 m n
【解析】由条件可得 m ? 2k1? ?

?

, n ? 2k2? ?

Sn? m 的值的是(
A.2 【答案】D

D

) B.3 C.4 D.5

n ? S n ? An 2 ? Bn ? ? ?( An ? B)m ? 1 ? m ?? 【解析】由已知,设 Sn ? An2 ? Bn ,则 ? ? S ? Am 2 ? Bm ? m ?( Am ? B)n ? 1 m ? n ?
两式相减得, B(m ? n) ? 0 ,故 B ? 0, A ?
2

1 。 mn

Sm? n

(m ? n)2 m2 ? n 2 ? 2mn 4mn ? A(m ? n) ? ? ? ? 4 ,故只有 D 符合。 mn mn mn cos x ? k 在 (0, ??) 有且仅有两根,记为 ? , ? (? ? ? ) ,则下列的四个命题正确的 x
2

9.已知关于 x 的方程
是( C )

A. sin 2? ? 2? cos ? C. sin 2? ? ?2? sin 【答案】C
2

B. cos 2? ? 2? sin ?
2

?

D. cos 2? ? ?2? sin

2

?

【解析】即方程 cos x ? kx 在 (0, ??) 上有两个不同的解,作出 y ? cos x 的图象,可见,直线

?? ? y ? kx 与 y ? cos x 在 x ? ? , ? ? 时相切才符合,此时 y ? cos x ? ? cos x ?2 ?
有 y'
x??

? sin ? ? k ,又 cos ? ? k ? ? k ?

? cos ?

?



sin ? ?

? cos ?

?

? ? sin 2? ? ?2? sin 2 ?

10.已知函数 f ( x) ? cos x , a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 3a 2 ? 3b 2 ? c 2 ? 4ab ,则下 列不等式一定成立的是( B ) B. f (sin A) ? f (cos B )

A. f (sin A) ? f (cos B )



6第

C. f (sin A) ? f (sin B )

D. f (cos A) ? f (cos B )

解析:由 3a 2 ? 3b 2 ? c 2 ? 4ab 可得 (a2 ? b2 ? c2 ) ? ?2(a ? b)2 ? 0 ,

? a 2 ? b2 ? c 2 ,? A ? B ?

?
2

,? 0 ? A ?

?
2

?B?

?
2

? 0 ? sin A ? sin( ? B) ? 1 ,? 0 ? sin A ? cos B ? 1 2

?

? f (sin A) ? f (cos B)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 不等式

1? x ? 0 的解集为__________ {x | x ? 2或x ? 1} 2? x

?x ? y ? 4 ? 12.已知点 P ? t , 2 ? 在不等式组 ? y ? x 所表示的平面区域内运动,l 为过点 P 和坐标原点 O 的直线,则 ?x ? 1 ?

l 的斜率的取值范围为

.[1,2]

13. 已知点 C 在直线 AB 上运动,O 为平面上任意一点,且 OC ? xOA ? 4 yOB ( x,y ? R + ),则 x ? y 的 最大值是 .

1 16
1 1 1 x ? 4y 2 1 x?4y ? ( ) ? ,当且仅当x=4y= 时取等号. 2 4 4 2 16

解:由题易知 x ? 4 y ? 1 , xy ? 14.设 a ? 是

?

1

0

1 ? x 2 dx ,对任意 x ? R ,不等式 a(cos2 x ? m) ? ? cos x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围
(??, ?3)

15.已知数列 A : a1 , a2 , a3 ,

, an (n ? 3,n ? N * ) 中,

* 令 TA ? x | x ? ai ? a j ,1 ? i ? j ? n, i, j ? N , card (TA ) 表示集合 TA 中元素的个数.

?

?

( 例 如 A :1, 2, 4 , 则 card (TA ) ? 3. ) 若

ai ?1 ? c ( c 为 常 数 , 且 c ? 1 , 1 ? i ? n ?1 ) 则 ai

card (TA ) ?
【答案】 2n ? 3



【解析】根据题中集合 TA 表示的含义,可知 TA 中元素为数列中前后不同两项的积,所以 例如 A :1, 2, 4 ,则集合 TA 中元素为 2,4,8,元素个数为 3.因此由题易知,数列数列 A 为首项为 a1 ,公比 为 c ( c ? 1 )的等比数列,所以 an ? a1 ? cn?1 ,



7第

ai ? a j ? a12 ? c(i ? j ?2) (1 ? i ? j ? n) , i ? j 可以取遍从 3 到 2n ? 1 中每个整数,共有 2n ? 3 个不同的整数,
故 card (TA ) ? 2n ? 3 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式并标出其定义域; (2)设 g ( x) ? 6mf ( x) ? 1(m ? 0) ,若 g ( x) 的值域为 [ ? .解: (1)由正弦定理有:

2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3

3 ,1) ,求实数 m 的值. 2

BC 1 AB ; ? ? sin x sin 2? sin(? ? x) 3 3

sin( ? x) 1 3 ∴ BC ? ; sin x , AB ? 2? 2? sin sin 3 3
∴ f ( x) ? AB BC ?

?

4 ? 1 2 3 1 sin x sin( ? x) ? ( cos x ? sin x)sin x 3 3 2 3 2 2
-----------------6分

1 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? (0 ? x ? ) 3 6 6 3
(2) g ( x) ? 6mf ( x) ? 1 ? 2m sin(2 x ?

?
6

) ? m ? 1 (0 ? x ?

?
3

)

? ? ? 5? ? 1 x ? (0, ) ,∴ ? 2 x ? ? ,则 sin(2 x ? ) ? ( ,1] 。 3 6 6 6 6 2
当 m ? 0 时, g ( x) ? 2m sin(2 x ? ) ? m ? 1 的值域为 [m ? 1,1) 。 又 g ( x) 的值域为 [ ? ∴综上 m ? ?

? 6

3 ,1) 2

解得

m??

5 2
-----------------12 分

5 2

17.(本小题满分 12 分)

ABCD是平行四边形,且 AA1 ? 底面 ABCD, AB ? 2 , 如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面

AA1 ? BC ? 4 , ?ABC ? 60 °,点 E 为 BC 中点,点 F 为 B1C1 中点.
(Ⅰ)求证:平面 A 1 ED ? 平面 A 1 AEF ;

AD 与平面 A1ED (Ⅱ)设二面角 A 1 ? ED ? A 的大小为 ? ,直线
所成的角为 ? ,求 sin(? ? ? ) 的值. 【解】 (1)


A1 B1 F C1

D1

AB ? BE ? 2 , ?ABC ? 600 ,??AEB ? 600
8第

A

D



CE ? CD ? 2 ,??CED ? 300 ,则 ?AED ? 900 ,即

AE ? ED .又
而 AE

AA1 ? 底面 ABCD ,? AA1 ? ED ,

AA1 ? A 则 ED ? 平面 A1 AEF ,又 ED ? 平面 A1ED ,
???5 分

? 平面 A1ED ? 平面 A1 AEF .
(2) ?A1 EA 为二面角 A 1 ? ED ? A 的平面角,则 sin ? ? 过A作A 垂足为 H , 连结 HD , 又 1E 的垂线,

2 5 5 , cos ? ? .???7 分 5 5

ED ? 平面 A1 AEF , ? ED ? AH , 则 AH ? 平面 A 1ED ,
????9 分

??ADH 为直线 AD 与平面 A1ED 所成的角,
易得 AH ? 则? ? ? ?

4 5 5 , sin ? ? ? cos ? , 5 5

????11 分 ????12 分

?
2

,即 sin(? ? ? ) ? 1 .

18. (本小题满分 12 分)
2 已知数列 {an } 的各项均为正数, Sn 表示数列 {an } 的前 n 项的和,且 2Sn ? an ? an .

(1)试求数列 {an } 的通项; (2)设 bn ? an ? 2 n ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a 2 解析:(1) 2S1 ? a1 ? a1 2 2 ?a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? an ? an ? an ?1 ? an?1



an ? 0 ,? an ? an?1 ? 1,?{an } 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,
-----------------6 分

故 an ? a1 ? (n ?1)d ? n (2)由题意可设

Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ?Tn ? 21 ? 22 ?

? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
-----------------13 分

? 2n ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2

? Tn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2

19. (本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数



9第

f ? x ? 与时刻 x (时)的关系为 f ? x ? ?

2x 2 ? a ? 2a ? , x ? ?0, 24? , x ?1 3
2

其中 a 是与气象有关的参数,且 a ??0,1? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记 作 M ? a? . (1)令 t ?

2x , x ??0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是 否超标? 解析: (1)当 x ? 0 时, t ? 0 ; 当 0 ? x ? 24 时,

2x 2 ? ? 1 (当 x ? 1 时取等号) x ?1 x ? 1 x
2

?0 ? t ? 1
综上所得 t 的取值范围是 [0,1] (2)当 a ??0,1? 时,记 g ? t ? ? t ? a ? 2a ? ????5 分

2 3

2 ? ?t ? 3a ? , 0 ? t ? a ? ? 3 则 g ?t ? ? ? ? t ? a ? 2 ,a ? t ?1 ? 3 ?

……………………8 分

∵ g ? t ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a,1? 上单调递增, 且 g ? 0 ? ? 3a ?

2 5 1? ? , g (1) ? a ? , g ? 0 ? ? g (1) ? 2 ? a ? ? . 3 3 2? ?

5 1 1 ? ? a ? ,0 ? a ? g ?1? , 0 ? a ? ? ? ? 3 2 2 ? ?? 故 M ?a? ? ? . ……………………11 分 ? g ? 0 ? , 1 ? a ? 1 ?3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? ? ? 2 3 2 ?
1 时, M ? a ? ? 2 . 3 1 1 故当 0 ? a ? 时不超标,当 ? a ? 1 时超标. 3 3
∴当且仅当 0 ? a ?

……………………13 分

20. (本小题满分 13 分) 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知]任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常 数)的图象上. (1)求 r 的值;
页 10 第

(2)当 b=2 时,记 bn ? 2log 2 an?1 (n∈N*). b1+1 b2+1 bn+1 证明:对任意的 n∈N*,不等式 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn 解析:(1)由题意,Sn=bn+r, 当 n≥2 时,Sn-1=bn 1+r,所以 an=Sn-Sn-1=bn 1(b-1),
- -

由于 b>0 且 b≠1,所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列, a2 又 a1=b+r,a2=b(b-1), =b, a1 即 b?b-1? =b,解得 r=-1. b+r (2)证明:由(1)知 an=2n 1,因此 bn=2n(n∈N*),


????5 分

2+1 4+1 2n+1 所证不等式为 · · ?· > n+1. 2 4 2n 3 ①当 n=1 时,左式= ,右式= 2,左式>右式,所以结论成立. 2 2+1 4+1 2k+1 ②假设 n=k 时结论成立,即 2 · 4 · ?· 2k > k+1, ????8 分 2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 2k+3 则当 n=k+1 时, · · ?· · > k+1· = , 2 4 2k 2?k+1? 2?k+1? 2 k+1 要证当 n=k+1 时结论成立, 2k+3 ? k+2, 只需证 2 k+1 2k+3 ? ?k+1??k+2?, 即证 2 2k+3 ?k+1?+?k+2? ? ?k+1??k+2?成立, 由均值不等式 = 2 2 故 2k+3 2 k+1

?

k+2成立,所以,当 n=k+1 时,结论成立.

由①②可知,n∈N*时,不等式

b1+1 b2+1 bn+1 · ·?· > n+1成立.????12 分 b1 b2 bn

21. (本小题满分 13 分)
x 设 g ( x) ? e , f ( x) ? g[?x ? (1 ? ?)a] ? ?g ( x) ,其中 a, ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .

(1)求函数 f ( x ) 的最值; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

g ( x) ? 1 ? 1 ? a 成立; x

(3)设 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,证明:对任意正数 a1 , a 2 都有:
?2 a1?1 a2 ? ?1a1 ? ?2a2 .



11 第

(1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) , 由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) ,

-----------------1 分

∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取最大值, f ( x)max=f (a) ? (1 ? ? ) g (a) ? (1 ? ?)ea

f ( x) 没有最小值.
(2)∵

-----------------4 分

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
x x

又当 x ? 0 时,令 h( x) ? e ? x ? 1 ,则 h?( x) ? e ?1 ? 0 ,故 h( x) ? h(0) ? 0 ,

ex ? x ?1 ?a, 因此原不等式化为 x
即证对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 ex ? (1 ? a) x ?1 ? 0 恒成立, 令 ? ( x) ? ex ? (1 ? a) x ?1 ,则 ? '( x) ? ex ? (1 ? a) , 由 ? '( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值

? ( x)min ? ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,
令 s(a) ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a)(a ? 0) ,则 s?(a) ? ? ln(1 ? a) ? 0 . 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.

-----------------7 分

-----------------9 分

(3)由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立,故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1 , a ? x2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ?2 , (其中 x1 ? ln a1 , x2 ? ln a2 ) 即得 g (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ?2 g ( x2 ) , 即e 1 1
? x ? ?2 x2

? ?1ex1 ? ?2ex2 ,
-----------------13 分

?2 ? ?1a1 ? ?2a2 故所证不等式成立. ? a1?1 a2

法二:先证 ( x ? 1) ? 1 ? ? x(? ? 0, x ? ?1)
?

令 ? ( x) ? ( x ? 1) ? ? x , ? '( x) ? ?[( x ? 1) ?1] ? 0 ,
?

?



12 第

则 x ? 0 ,而 x ? (?1, 0) 时, ? '( x) ? 0 ; x ? (0, ??) , ? '( x) ? 0

? ( x)min ? ? (0) ? 1 , ? ( x) ? 1 ,
∴ ( x ? 1)? ? 1 ? ? x(? ? 0, x ? ?1) ,令 x ? 则有 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 。
? ?

a2 ? 1 , ? ? ?2 a1



13 第


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