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流体力学试卷及答案1


三峡大学水利与环境学院 《高等工程流体力学》试卷 A
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? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. (10 分)试证明: a ? (b ? c ) ? b ? (c ? a) ? c ? (a ? b ) ? 0
解:原式
? ai b j c k ? jkm? imn ? b j c k ai ? kim? jmn ? c k ai b j ? ijm? kmn ? ai b j c k (?? jkm? min ? ? kim? mjn ? ? ijm? mkn ) ? ?ai b j c k (? ji? kn ? ? jn? ki ) ? (? kj? in ? ? kn? ij ) ? (? ik ? jn ? ? in? jk ) ?0

?

?

2. (20 分)流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横截面积,在 A 截 面上流动参数均匀分布,试证明对该细管连续方程可写为:
A ?? ? ? ( ?Au ) ? 0 ?t ?s

式中 u 是沿管轴线的速度,?s 是沿流动方向的微元弧长。 证明:取 ds 长的细管如图,取两端面 A1 、A2 及侧面 ? 所围之体积为控制体。 引用积分形式的连续方程

?? ?? ?t d? ? ?A ?u ? ndA ? 0
对于上述控制体有

?? ?t d?
A

??

?

?? Ads ?t
A1

? ?u ? ndA ? ?
代入连续方程得

?u ? ndA? ? ?u ? ndA? ? ?u ? ndA
? A2

= ( ?Au ) 2

? ( ?Au )1 ?

? ( ?Au ) ds ?s

3. (25 分) 试利用边界层简化方法将不可压缩平壁边界层的耗散函数 ? ? 2?sij sij 简化为
? ?u ? ? ? ?? ? ?y ? ? ? ?
2

其中, sij ?

?u 1? ? ?u i ? j 2? ? ?x j ?xi

? ? ? ?

解:在不可压缩平壁边界层流动中不为零的应变率张量分量是
s11 ? ?u 1 ?u ?v ?v , s12 ? s 21 ? ( ? ) , s 22 ? ?x 2 ?y ?x ?y

由于 u ~ U , x ~ L , y ~ ? ,

?u ?v ~ ?x ?y

?

U v ? ~ ? v ~ U ,于是应变率张 L ? L

量各分量的量级可估计如下, ?u U U ? ~ ? ?x L ? L
?u U ~ ?y ?
?v U ? U ? 2 ~ ? ( ) ?x L L ? L

?v U ? ~ ?y ? L

显然 ?u ?y 量级最大,其余各量中的最大者与 ?u ?y 的比值为 ? L ,均可忽略, 于是
1 ?u 1 ?u ?u ? ? 2?sij sij ? 2?[ ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? ? ( ) 2 4 ?y 4 ?y ?y

4. (25 分) 设某边界层外边界的势流速度分布为 U ? kx1 / 3 , 设? ?

3 k? x m f (? ) , 2

??

2k y ,试证明边界层方程可转换为常微分方程: 3 ? x1 / 3

1 1 f "' ? ff ' ? ( f ' ) 2 ? ? 0 2 2

证明:由于 U ? kx1 3 有

dU k 2 ?1 3 dU 1 ? 2 3 ? kx , U ? x ,则边界层方程 dx 3 dx 3

?u ?u dU ? 2u u ?v ?U ?? 2 ?x ?y dx ?y
可改写为

?? ? 2? ?? ? 2? k 2 ?1 3 ?3? ? ? x ? ? ?y ?x?y ?x ?y 2 3 ?y 3
由? ?

2k y 3 ,? ? k? x m f (? ) 可得 13 3? x 2

?? 3 ? ? k? x m ?1 (? f ' ? m f ) ?x 2 3
?? ? kx m?1 3 f ' ?y

? 2? 1 1 ? kx m?4 3 [(? ?f '' ? (m ? ) f ' )] ?x?y 3 3
? 2? 2k m? 2 3 ?k x f 2 3 ? ?y
? 3? 2 k 2 m ?1 ? x f 3 ? ?y 3
'''

''

将以上各式代入边界层方程并加以整理,得
1 1 k 2 2 m?5 3 '' ' ? k 2 x 2 m?5 3?f '' f ' ? (m ? )k 2 x 2 m?5 3 ( f ' ) 2 ? x ?f f ? m k2 x 2 m?5 3?f '' f 3 3 3

=

k 2 ?1 3 2 2 m?1 ''' x ? k x f 3 3

上式左侧第一项和第三项相互抵消, k 2 也可以从整个方程中约去,则微分方程 简化为 2 m ?1 ''' 1 1 x f ? mx 2 m ?5 3 f '' f ' ? (m ? ) x 2 m ?5 3 ( f ' ) 2 ? x ?1 3 ? 0 3 3 3 为了得到相似解,x 变量不应在方程中出现,即 x 的指数必须为零,

5 1 2 ?? ? m? 3 3 3 将其代入微分方程即得, 1 1 f ''' ? ff '' ? ( f ' ) 2 ? ? 0 2 2 m ? 1 ? 2m ?

5. (20 分)试根据不可压缩流动的 N-S 方程,导出其紊流流动下的时均流动的 雷诺方程。



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