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广东省深圳市宝安区西乡中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试卷


西乡中学 2015-2016 学年第一学期高二年级期中考试试题 理科数学
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.如果在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? A.

7 , c ? 2 ,那么 B 等于(
C.

r />


? 6

B.

? 4

? 3

D.

2? 3
)

2.在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asinB= 3b,则角 A 等于( π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 c 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cosA,则△ABC 为( b A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 )

x-y≥-1, ? ? 4.若实数 x,y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, A.3 B. 5 2 ) C.2

则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )

D.2 2

x-3 5.不等式 ≤0 的解集为( x-1 A.{x|x<1 或 x≥3}

B.{x|1≤x≤3}

C.{x|1<x≤3} D.{x|1<x<3}

2 ? ?x -4x+6,x≥0, ? 6.设函数 f(x)= 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ?x+6,x<0, ?

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) )

7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14

8.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( A.7 B.5 C.-5 D.-7

)

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于( 1 A. 3 1 B.- 3 1 C. 9 1 D.- 9

)

10.数列{ an }中, 如果 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 ,?, an ? an?1 , ?是首项为 1, 公比为 数列,则 an = ( A. ) B.

1 的等比 3

3 1 (1 ? n ) 2 3

3 3 (1 ? n ?1 ) 2 3

C.

2 1 (1 ? n ) 3 3

D.

2 1 (1 ? n ?1 ) 3 3
)

11 设{ an }是正项等比数列,且公比为 q ,( q ? 1) 则 a1 ? a8 与 a4 ? a5 的大小关系为( A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D. 与公比的值有关

12. (此题 A 层必做, B 层选做)若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?, 则实数 a 的值的集合是( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 π → → 13.在△ABC 中,已知AB· AC=tanA,当 A= 时,△ABC 的面积为________. 6 y≤x, ? ? 14.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, -n 等于 15.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为________. 16. (此题 A 层必做, B 层选做) 若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 都成立, 则实数 m 的 取值范围是 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分).已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0;

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m

(2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a、b 的值.

18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a=3,b=2 6,B=2A. (1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值.

1 1 19. (本小题满分 12 分)已知数列{an}是首项为 a1= ,公比为 q= 的等比数列,设 bn+2= 4 4 bn. 3log 1 an (n∈N*),数列{cn}满足 cn=an·
4

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

20. (本小题满分 12 分)某客运公司用 A、 B 两种型号的车辆承担甲、 乙两地间的长途客运业务, 每车每天往返一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本 分别为 1600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车 不多于 A 型车 7 辆.若每天运送人数不少于 900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那 么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?

21. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b= 3, 且函数 f(x)=2 3sin2x+2sinxcosx- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2) (此问 A 层必做,B 层选做)求△ABC 的面积.

22. ( 此 题 A 层 必 做 , B 层 选 做 ) ( 本 小 题 满分 12 分 ) 正 项 数 列 {an} 的 前 项 和 sn 满 足 :
2 sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) (a n )

参考答案; 一:CDACC ACDCA AD 二:13.

1 6

14. 6

15. 3

16. (?2, 2]

三.解答题 17. 解 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0, 即 a2-6a-3<0,解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)∵f(x)>b 的解集为(-1,3), ∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3, a) , ?-1+3=a(6- 3 ∴? 6-b ?-1×3=- 3 ,

?a=3± 3, 解得? ?b=-3.

18. 解 (1)在△ABC 中,由正弦定理 a b 3 2 6 2 6 = ? = = , sinA sinB sinA sin2A 2sinAcosA ∴cosA= 6 . 3

6 (2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA? 32=(2 6)2+c2-2× 2 6c× , 3 则 c2-8c+15=0. ∴c=5 或 c=3. 当 c=3 时,a=c,∴A=C. π 由 A+B+C=π,知 B= ,与 a2+c2≠b2 矛盾. 2 ∴c=3 舍去.故 c 的值为 5. 1 19. 解 (1)由题意,知 an=( )n(n∈N*), 4 又 bn= 3log 1 an ? 2 ,故 bn=3n-2(n∈N*).
4

1 (2)由(1),知 an=( )n,bn=3n-2(n∈N*), 4 1 所以 cn=(3n-2)× ( )n(n∈N*). 4 1 1 1 1 - 1 所以 Sn=1× +4× ( )2+7× ( )3+…+(3n-5)× ( )n 1+(3n-2)× ( )n, 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 + 于是 Sn=1× ( )2+4× ( )3+7× ( )4+…+(3n-5)× ( )n+(3n-2)× ( )n 1. 4 4 4 4 4 4

两式相减,得 3 1 1 1 1 1 + 1 1 + S = +3[( )2+( )3+…+( )n]-(3n-2)× ( )n 1= -(3n+2)× ( )n 1. 4 n 4 4 4 4 4 2 4 2 3n+2 1 n 所以 Sn= - × ( ) (n∈N*). 3 3 4 20. 解 设 A 型、 B 型车辆分别为 x、 y 辆,相应营运成本为 z 元,则 z=1600x+2400y.由题意, 得 x,y 满足约束条件 x+y≤21, ? ?y≤x+7, ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上的 z 截距 最小,即 z 取得最小值. 2400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小. 21. 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3 因为 f(x)=2 3sin2x+2sinxcosx- 3 = 3(2sin2x-1)+sin2x=sin2x- 3cos2x π? =2sin? ?2x-3?, 2π 所以 T= =π. 2 π? 又因为 sin? ?2x-3?∈[-1,1], 所以 f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值,

π? 所以 sin? ?2A-3?=1. 2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值, 3 2 5 π 所以 A= π,所以 C= . 12 4 3 c 由正弦定理,知 = ? c= 2. π π sin sin 3 4 π π? 2+ 6 又因为 sinA=sin? ?4+6?= 4 , 3+ 3 1 所以 S△ABC= bcsinA= . 2 4
2 2 22. 【答案】(1)解:由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64


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