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学科教师辅导讲义 学员学校: 学员姓名: 学科组长签名 课 授课时间: 题 数列复习 备课时间: 年 级: 课时数:4 学科教师:

辅导科目: 数学 组长备注

1. 掌握等差数列、公差、等差中项、等差数列的通项公式和递推公式。 教学目标 2. 利用等差数列和等比数列前 n 项和的公式求解有关问题。 3. 能

够根据递推公式熟练解出数列通项和前 n 项和 Sn. 4. 能够运用数学归纳法证明数列通项。 1. 2. 重点、难点 3. 4. 熟练掌握数列题目的解题方法。 对等比数列前 n 项和公式要有分类讨论意识。 数列极限的运算法则,常用的数列极限,无穷等比数列各项和公式。 由实际问题出发建立起等比数列模型。

5. 数学归纳法的应用。

1.掌握等差数列、公差、等差中项、等差数列的通项公式和递推公式。 2.利用等差数列和等比数列前 n 项和的公式求解有关问题。掌握等比数列、 公比、等比中项、等比数列的通项公式和递推公式。 3.能够根据递推公式熟练解出数列通项和前 n 项和 Sn. 考点及考试要求 4.能够运用数学归纳法证明数列通项。熟练掌握数列题目的解题方法。 5.对等比数列前 n 项和公式要有分类讨论意识。 5. 数列极限的运算法则,常用的数列极限,无穷等比数列各项和公式。 6. 由实际问题出发建立起等比数列模型。
8.通过归纳猜想命题的一般结论

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教学内容 知识精要
数列知识结构 正 整 数 集 上 函 数 及 性 质 定义 表示方法 数 列 图像 通项 前n项和 与函数的关系 等 比 数 列 等 差 数 列

一、数列的概念

1、Sn 与通项 an 的基本关系是:an= ? 2、递推公式求数列通项.
二、等差、等比数列

? S1 ?S n ? S n ?1

( n ? 1), ( n ? 2).

Sn=a1+a2+?+an.

1、
等差数列 概念 等比数列

an ? an?1 ? d (n ? 2)
an=a1+(n-1)d

an?1 ? q(q ? 0) an

an ? a1qn?1
推广:

通项公式

推广:an=am+(n-m)d

an ? amqn?m

Sn=
前 n 项和公式

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) =na1+ d 2 2

?na1 ? (q ? 1) ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q ? (q ? 1) ?
等比中项

中项

等差中项 2an=an-1+an+1(n≥2)

an2 ? an ? an?1 (n ? 2)

am ? an ? as ? at

am ? an ? as ? at
特别地:若 m ? n ? 2 p ,则
am ? an ? a p 2

m?n ? s?t
一数列有 3m 项,前 m

特别地;若 m ? n ? 2 p ,则
am ? an ? 2ap

S m 中间 m



Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m
成等差数列

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m
成等比数列

S2 m ? Sm 最后 m 项 S3m ? S2m

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2、证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是: (1)利用定义,证明 an-an-1(n≥2)为常数; (2)利用等差中项,即证明 2an=an-1+an+1(n≥2) 3、证明数列{an}是等比数列的两种基本方法是:

an?1 ? q(q ? 0) a n (1)利用定义,证明 为常数;
2 (2)利用等比中项,即证明 an ? an ? an?1 (n ? 2)

4 、三个数或四个数成等差数列且又知和时,则三个数可设为 a ? d , a, a ? d ,四个数可设为
a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 为好.

5、三个数或四个数成等比数列且又知积时,则三个数可设为 可设为
a a 、 、aq、aq3 为好. 3 q q

a 、a、aq,四个数(公比为正) q

6、数列求和的常见方法. (1)直接运用等差、等比数数列的前 n 项和公式 (2)转化为几个等差、等比数列或易求和的数列的和 (3)分类讨论求和 (5)错位相减求和 (6)倒序相加求和 (7)裂项相消求和 常用结论 1) 2) 1+2+3+...+n =
n(n ? 1) 2

1+3+5+...+(2n-1) = n 2
?1 ?2 ? ?
2

3) 13 ? 23 ? ? ? n3 ? ? n(n ? 1) ? 4) 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1)
1 6

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5)
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

三、数学归纳法 (1)先证明当 n=n0(n0 是使命题成立的最小自然数)时命题成立; (2)假设当 n=k(k∈N*, k≥n0)时命题成立。 (3)再证明当 n=k+1 时命题也成立,那么就证明这个命题成立,这种证明方法叫数学归纳法. 数学归纳法的应用:①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面几何中的问题;④探求数列的 通项;⑤不等式的证明. 四、数列极限 1.数列极限的定义: 2.几个常用的极限: ① lim C=C (C 为常数) ;② lim
n ?? n ??

1 1 =0;③ lim qn=0 (|q|<1=;④ lim(1 ? )n ? e . n ? ? n ? ? n n

3.数列极限的四则运算法则:设数列{an} 、 {bn} , 当 lim an=a, lim bn=b 时, lim (an±bn)=a±b; lim (an·bn)=a·b; lim
n ?? n ?? n ?? n ?? n ??

an a = (b≠0). bn b

名题精解 名题精解:

例1、 (1)在等差数列?an ?中a3 ? a7 ? a10 ? 8,a11 ? a4 ? 4, 其前n项和为Sn,则S13 ? ____ . ?a ? a ? a ? 8 解法一 : ? 3 7 10 ? (a11 ? a3 ) ? a7 ? (a10 ? a4 ) ? 12, ? a11 ? a4 ? 4 ? a7 ? 12, 13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 156. 2 解法二:将原式中的an项都转化为an ? a1 ? (n ? 1)d的形式 S13 ? 然后求出a1和d,再利用等差数列求和公式 Sn ? na1 ? ( n n -1) d (n ? 1, 2,3?)求出S13 2
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(2)等差数列 ?an ?的前n项和为S n , S9 ? 18, S n ? 240, 若an ? 4 ? 30(n ? 9).则n ? ____ . 解法一 : S9 ? 9 ? a5 ? 18,? a5 ? 2, n(a1 ? an ) n(a5 ? an ? 4 ) n(2 ? 30) ? ? ? 240,? n ? 15. 2 2 2 ( n a1 ? an) 看底标的联系?底标 n ? 4, n,9 ? S n ? (n ? 1, 2,3?) 2 ( n a5 ? an ? 4) (n ? 1, 2,3?) ? Sn ? 2 Sn ?
a ?a 再由 s9 ? 18 ? 9 1 9 ? 18 ? 9 ? a5 ? 18 ? a5 ? 2 2

?

( n 2 ? 30) ? 240 2 ? n ? 15.
? Sn ?

题目具有灵活性,要注意思路
例2、假设等差数列 ?an ?的前n项和为S n , 已知a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0. (1)求公差d的取值范围. ? ? a3 ? a1 ? 2d ? 12 ? a1 ? 12 - 2d ? 12 ?11 24 ? ? 解 : (1) ? S12 ? 12a1 ? ? d ? 0 ? ?2a1 ? 11d ? 0 ? - ? d ? -3. 2 7 ? ? a ? 6d ? 0 1 ? 13 ?12 ? S13 ? 13a1 ? ?d ? 0 ? ? 2

求公差 d ?将三个结构分解成公差 d 的关系式
(2)指出S1 , S2 ,? S12中哪一个值最大,并说明理由. ? a ?0 解: (2)S12 ? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0, S13 ? 13a7 ? 0, ? 7 ? n ? 6. a ? a ? 0 6 7 ? ∴当n ? 6时, Sn取得最大值.

从整体联系的角度 ? n 转换到

s

an 的形式 ? a7 <0

a6

+

a7 >0? 得出结论

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例3、 (1)已知数列?Cn ? , 其中cn ? 2n ? 3n , 且数列?Cn ?1 ? pCn ? 为等比数列, 求常数p; 解: ??Cn ?1 ? pCn ? 为等比数列, 故有 (Cn ?1 ? pCn ) 2 ? (Cn ? 2 ? pCn ?1 )(Cn ? pCn ?1 ), 将Cn ? 2n ? 3n 代入上式, 求得p ? 2或p ? 3.

等比数列?等比中项?代入

cn ?求出结论

(2)设 ?an ?、 ?bn ? 是公比不相等的两个等比数列, Cn ? an ? bn , 证明数列?Cn ? 不是等比数列. 解 : 设 ?an ?、 ?bn ?的公比分别为p、q, 且p ? q, Cn ? an ? bn . 为证 ?Cn ? 不是等比数列,
2 2 只需证C2 ? C1C3 , 事实上, C2 ? (a1 p ? b1q) 2 ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? 2a1b1 pq,

C1C3 ? (a1 ? b1 )(a1 p 2 ? b1q 2 ) ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? a1b1 ( p 2 ? q 2 ), 由于p ? q, p 2 ? q 2 ? 2 pq,
2 又a1、b1不为零,因此C2 ? C1C3 , 故 ?Cn ? 不是等比数列.

2 c2 证不是等比?举反例?证 c2 ? c1 ?

证等比要从一般角度去证明! 证不是等比只需找一个反例!

例4、选择题 (1)已知数列?an ?中, a1 ? 1, an an ?1 ? an ?1 ? (?1) n (n ? 2, n ? N ? ), 则 3 3 15 15 (A) ;(B) ;(C) ;(D) . 4 8 8 16 a 1 2 3 2 3 解:a1 ? 1,a2 a1 ? a1 ? (? 1 ) ,a2 ? 2;a3 ? a2 ? a2 ? (? 1 ) , ? a3 ? ,a4 ? 3,a5 ? , ? 3? , 2 3 a5 4 故选A. (2)已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1an ? an ?1 ? an , 那么它的通项公式是 _____ . 1 (A)an ? ;(B)an ? n;(C)an ? n ? 1;(D)an ? n ? 1. n a3 的值是 _____ . a5

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解: ? an ?1an ? an ?1 ? an ,? an ? 故选A. (3)已知数列?an ? 满足a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2n(n ? N ? ), 则a100 ? _____ . (A) 9900;(B) 9902;(C) 9904;(D) 11000. 解: ? an ?1 ? an ? 2n,? an ?1 ? an ? 2n, an ? an ?1 ? 2(n ? 1),? , a2 ? a1 ? 2. 以上n个式子相加, 得an ?1 ? a1 ? n(n ? 1),? a100 ? a1 ? 99 ?100 ? 9902, 故选B. 例5、填空题 : 1 1 (1)已知数列?an ?中, a1 ? , an ?1 ? an ? , 则通项an ? ______ . 3 2 1 1 1 1 n 1 解: ? a1 ? , an ?1 ? an ? , 即an是以 为首项, 为公差的等差数列,? an ? ? . 3 2 3 2 2 6
2 2 ? (2)设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列, 且( n ? 1) an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0( n ? N ), 则它的通项公式an为 _____ . 2 2 解: ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0,? ( n ? 1)(

an ?1 1 1 1 1 且a1 ? 1 ? a2 ? , a3 ? , a4 ? ,? an ? , 1 ? an ?1 2 3 4 n

an ?1 2 an ?1 a a n ) ? ? n ? 0,? n ?1 ? 或 n ?1 ? ?1(舍). an an an n ?1 an

那么

an a a n ?1 1 1 1 ? ,? , 2 ? ,以上(n ? 1)个式子相乘得 n ? , 又a1 ? 1,? an ? . an ?1 n a1 2 a1 n n
因式分解 1? an不为0 ? 左右同时除以an 2 ???? ?

思路:

an?1 n 1 ? ? 累乘 ? an ? an n ?1 n

2? 代入a1求a2 , a3找规律(猜想结果)
(3)在数列?an ? 和?bn ?中, a1 ? 2, 且对于任意正整数n,3an ?1 ? an ? 0, bn是an与an ?1的等差中项, 则?bn ?的前3项和是 _____ . a 1 1 ?1? 解 :由题设知 n ?1 ? , 数列?an ? 是等比数列, 公比为 , 其通项公式为an ? 2 ? ? ? an 3 3 ?3?
n ?1 n n ?1 1 1 ? ?1? ?1? ? 4?1? ? bn ? (an ? an ?1 ) ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? . 2 2? ?3? ? ? ?3? ? 3?3? n ?1

.

4 1 52 ? 数列?bn ? 是首项为 , 公比为 的等比数列,? S3 ? . 3 3 27
例6、等差数列?an ?的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为 _____ . (A) 130;(B) 170;(C) 210,(D) 260. 解 : 令m ? 1, 则a1 ? S1 ? 30, S2 ? a1 ? a2 ? 100,? d ? 40, S3 ? S 2 ? a3 ? 210 故S3m ? 210.
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三种方法①代公式②看成三块成等差数列③特殊比

例7、已知数列?an ?的前n和Sn ? 32n ? n 2 ,求数列? an ?的前n项和. 解:当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? ?2n ? 33.又n ? 1时,a1 ? S1 ? 31, ? an ? ?2n ? 33,n ? N ? 当n ? 16时,n ? N ?时,an ? 0,当n ? 17, n ? N ?时, an ? 0,? n ? 16, n ? N ?时, a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 32n ? n 2 ; 当n ? 17, n ? N ?时, a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? a16 ? a17 ? ? ? an ? ?(a1 ? a2 ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? ? a16 ) ? ?(32n ? n 2 ) ? 2 ? ? n 2 ? 32n ? 512
求通项?找正负分界点?分段求解

16(31 ? 1) 2

例8、在数列?bn ?中, 若b1 ? 1, bn ?1 ? 2n ? bn , 求通项bn . 解 :由题意, 得 bn ?1 b b b ? 2n ,因此 2 ? 2, 3 ? 22 ,? , n ? 2n ?1 , bn b1 b2 bn ?1
n ( n ?1) 2

将以上(n ? 1)个式子相乘, 得bn ? 2

.

提示:这类题具有规范性?把 bn 除到另一边?累乘?求出 bn 通项。
例9、已知数列?an ? 满足a1 ? 1, 且an ?1 ? 2an ? 3, 求an . 解 : 解法1、由题设, 得an ?1 ? 2an ? 3, an ? 2an ?1 ? 3. 那么an ?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ),因此 ?an ? an ?1? 为公比为2的等比数列, 又a2 ? a1 ? 22 , ? an ? an ?1 ? 2n , an ?1 ? an ? 2 ? 2n ?1 ,?? a2 ? a1 ? 22. 以上(n ? 1)个式子相加, 得an ? a1 ? 2n ?1 ? 4, 即an ? 2n ?1 ? 3. 解法2、运用待定系数法,得an ?1 ? A ? ( 2 an ? A)判断是否存在满足题设中的递推关系的 , A. 展开, 可得an ?1 ? 2an ? A, ? A ? 3.? an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3), 于是数列?an ? 3? 是首项为4, 公比为2的等比数列, 那么an ? 3 ? 2 n ?1 , an ? 2n ?1 ? 3.

转折点:两式做差?等比数列 累加法

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例10、选择题 (1)用数学归纳法证明不等式 了 ______ . 1 1 1 1 1 1 (A) ;(B) ? ? ;(C) ? (k ? 1) ? (k ? 1) (k ? 1)( ? k ? 1) k ? k ? 1 k ? 1 (k ? 1)( ? k ? 1) k ? k ? 1 (D)以上均错 1 1 1 ? ?? ;当n ? k ? 1时,不等式左边为 k ?1 k ? 2 k ?k 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ,那么不等式的左边增加了 k ?2 k ?3 k ? k k ?1? k k ?1? k ?1 1 1 1 ? ? ,故选B. (k ? 1 )( ? k ?1 ) k ? k ?1 k ?1 解:当n ? k时,不等式左边为 1 1 1 13 ? ?? ? 的过程中,由k 推导k ? 1时, 不等式左边增加 n ?1 n ? 2 n ? n 24

(2)用数学归纳法证明命题 "当n为奇数时,x n ? y n能被x ? y整除 ", 在证明n ? 1正确后, 归纳假设应 写成 ______ . ( A)假设n ? k (k ? N ? )时命题成立 ( B)假设n ? k (k ? N ? )时命题成立 (C )假设n ? 2k ? 1(k ? N ? )时命题成立 ( D)假设n ? 2k ? 1(k ? N ? )时命题成立

解: ? n为正奇数,? 在证明n ? 1后, 归纳假设应写成n ? 2k ? 1(k ? N ? )时命题成立, 故选D. (3)某个命题与正整数n有关, 若当n ? k (k ? N ? )时, 该命题成立, 则可推出n ? k ? 1时, 该命题成立, 现 已知当n ? 5时, 该命题不成立, 那么 ______ . ( A)当n ? 6时该命题不成立 ( B)当n ? 6时该命题成立 (C )当n ? 4时该命题不成立 ( D)当n ? 4时该命题成立
解 : 显然选C, 否则不符合题设.
转化为逆否命题?n=k+1 不成立 n=k 不成立

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例11、已知数列 S3 ? 8 ?1 8 ? 2 8? n 8 24 , 2 2 ,? , ,? , S n为其前n项和.计算得S1 ? , S 2 ? , 2 2 2 1 ?3 3 ?5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 9 25
2

48 80 , S 4 ? .观察上述结果, 推测出计算S n的公式, 并用数学归纳法加以证明. 49 81 4n(n ? 1) 解 : 猜想S n ? (n ? N ? ). (2n ? 1) 2 8 4? 2 证明(1)当n ? 1时, S1 ? ? 2 , 等式成立; 9 3 4k (k ? 1) (2)假设当n ? k ? 1时, 等式成立, 即S k ? . (2k ? 1) 2 ? S k ?1 ? S k ?
2 4(k ? 1) ? 8(k ? 1) ? k (2k ? 3) ? 2 ? ?. ? 2 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 3) (2k ? 1) (2k ? 3)

? k (2k ? 3) 2 ? 2 ? (2k ? 1) 2 ( k ? 2) ? S k ?1 ? 4(k ? 1)( k ? 2) 4(k ? 1) ? (k ? 1) ? 1? ? , 即当n ? k ? 1时等式也成立. 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 2) ? 1?

综上所述, 对于任何n ? N ?猜想都成立.

关键:1 先观察,猜结果 2 再分析证明

2 ?1? ?2? ? n ? a1n ? a2 n ? a3 例12、是否存在常数a1、a2、a3 , 使不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对于一切 n ?n? ?n? ?n? n ? N都成立 ? 并证明你的结论.

3

3

3

解 :由于等式对于一切n ? N ?成立, 所以当n ? 1、、 2 3时亦成立, 故将n ? 1、、分别代入 23 , ? 1 ? ? ? a1 ? 4 , a1 ? a2 ? a3 ? 1, ? ? 1 ? ? 得 ? 16a1 ? 8a2 ? 4a3 ? 9, 解得 ?a2 ? , 2 ?81a ? 27a ? 9a ? 36. ? 2 3 1 ? 1 ? ? ? a3 ? 4 . ? ?

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1 2 1 1 3 3 3 n ? n? ?1? ?2? ?n? 2 4. 故原命题即证 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 n n n n ? ? ? ? ? ? 1 ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? n 2 (n ? 1) 2 (n ? N ? ). 4 证明 : (1)当n ? 1时, 上述等式显然成立. (2)假设当n ? k时, 等式成立, 即13 ? 23 ? ? ? k 3 ? 当n ? k ? 1时, 左边 ? 13 ? 23 ? ? ? k 3 ? (k ? 1)3 ? 1 2 k ( k ? 1) 2 成立. 4

1 2 1 k (k ? 1) 2 ? ( k ? 1)3 ? ( k ? 1) 2 ? k 2 ? 4(k ? 1) ? ? ? 4 4

1 2 ? (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 1? .所以当n ? k ? 1时等式也成立. 4 综合(1)、 (2), 可知对于一切正整数等式13 ? 23 ? ? ? n3 ? 1 2 n ( n ? 1) 2 均成立. 4

提示: 存在性问题可用先特殊后一般的方法来证明从一般可以直接到特殊 要证明 另解:可用待定系数法求

从特殊到一般则需

a1a2a3

n n?1 例 13、已知 n 次多项式 Pn ( x) ? ao x ? a1 x ? ? ? an?1 x ? an . 如果在一种算法中,计算 k xo (k ? 2,3,4,?, n) 的值需要 k-1 次乘法,计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法),

那么计算 Pn ( xo ) 的值共需要______次运算. 解:计算 an?k xo 的值需要 k 次运算(乘法),故计算 Pn ( xo ) 需要
k

?n ? (n ? 1) ? ?? ? 2 ? 1? ? n ? 1 n(n ? 3)
2

次运算;

下面给出一种减少运算次数的算法: P0 ( x0 ) ? a0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? ak ?1 (k ? 0,1,2?n ? 1) .利用该 算法,计算 Pn ( x0 ) 的值共需要______次运算.
1 ( x0 ) ? x0 P 0 ( x0 ) ? a0 由 Pk ?1 ( x0 ) ? x0 Pk ( x0 ) ? ak 知计算 Pk ?1 ( x0 ) 比计算 Pk ( x0 ) 要多两次运算 .又 P

也是两次运算.故计算 Pn ( xo ) 的值需要 2n 次运算. 第一种算法为完全展开形式,第二种带有括号,所以计算次数减少 数学归纳法:由特殊现象归纳出一般现象,然后证明
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在多项式变化中形成分析归纳概括的能力

例 14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式. 解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a2= . 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即

Sn2-2Sn+1-anSn=0.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得

Sn-1Sn-2Sn+1=0



1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 由此猜想 Sn=

n n+1

,n=1,2,3,?.

下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk=

k k+1



当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立.

1 k+1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

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综上,由(i)、(ii)可知 Sn=

n n+1

对所有正整数 n 都成立.

于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

n n-1 1 - = , n+1 n n(n+1)

1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an=

n n+1

,n=1,2,3,?.

例 15、已知数列{ an }满足 an ? 4an?1 ? 2 n (n ? 2,n ? N * ),且a1 ? 2. 求及 an . 解析: ∵ an ? 4an?1 ? 2 n 令 bn ?
an 2n



an 2
n

? 2?

a n ?1 2 n ?1

?1

,则 bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1)
a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列 2

∴{ bn +1}是以首项为 b1 ? ∴ bn ? 1 ? 2 n ∴
an 2
n

? 1 ? 2 n 得数列{ an }的通项公式为 an ? 2 2n ? 2 n

变式 2: an ? pan?1 ? qn ? r ( pq ? 0)型 对 策 : 等 价 转 化 为 :

an ? xn ? y ? p(an?1 ? xn ? y)

, 再 化 为

an ? xn ? y ? pan?1 ? ( p ? 1) xn ? ( p ? 1) y ,对照系数,解出 x,y,进而转化为类型三

例 16、已知数列{ a n }满足 a1=1, a n?1 ? 解析:由 an ?1 ?

3a n ,求 a n 3a n ? 6

3an 1 1 ,得 ? 2? ?1 3an ? 6 a n ?1 an
- 13 创新三维学习法,高效学习加速度

源于名校,成就所托
即:

1 a n ?1

? 1 ? 2(

1 ? 1) ,以下请读者解决。 an

r 变式 4: an ? pan ?1 ( p ? 0)型

若 p=1,则等式两边取常用对数或自然对数,化为: lg an ? r lg an?1 ,得到首项为 lg a1 , 公比为 r 的等比数列{ lg a n },所以 lg a n = r n ?1 lg a1 ,得 a n ? a1r
n ?1

若 p≠1,则等式两边取以 p 为底的对数得: lg p an ? r lg p an?1 ? 1,转为类型三求通项。

2 例 17、若数列{ a n }中, a1 ? 3 且 an?1 ? an (n为正整数) ,则数列的通项公式为 2 解析:∵ a n ?1 ? a n 及 a1 ? 3 知 a n ? 3 ,两边取对常用对数得:

lg an?1 ? 2 lg an
∴ lg an ? 2 n?1 lg 3

∴{ lg a n }是以首项为 lg a1 ? lg 3 ,公比为 2 的等比数列。 ∴ a n ? 32
n ?1

变式 5、 an?1 ? pan ? qan?1an ( pq ? 0)型 对策: 两端除以 a n?1 a n 得:
1 1 ?p ?q an a n ?1 1 1 ,公差为 ? q 的等差数列{ }; a1 an

(1)若 p ? ?1 ,则构成以首项为

例 18、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式 a n 。 解:∵ an?1 ? an ? 2an?1 an ∴
1 1 1 1 }是以首项 ? 1 ,公差为 2 的等差数列 ? ? 2 ,∴数列{ a n a n ?1 an a1 1 ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 an
1 2n ? 1
- 14 创新三维学习法,高效学习加速度



∴ an ?

(2)若 p ? ?1,转化为类型三求解。

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变式 6: an?1 ? pan ? qan?1 ( pq ? 0)型 对策:等价转化为 an?1 ? xan ? y(an ? xan?1 ) ,利用与 an?1 ? pan ? qan?1 恒等求出 x,y 得到 一等比数列 {a n?1 ? xan } ,得 a n?1 ? xan =f(n),进而化为变式 2 类型

例 20、设数列{ a n }的首项 a1 ? a ?

1 ,且 4

? 1 ? 2 a n , n为偶数 ,求 a n a n ?1 ? ? 1 ?a n ? , n为奇数 4 ? 1 1 1 1 1 解:若 n 为偶数,则 a n ?1 ? a n ? (a n ?1 ? ) ? a n ?1 ? 2 2 4 2 8 1 1 即 a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? 2 8
∴ a2n?1 ?

1 1 1 ?1? 1 1 ?1? ? (a2n?1 ? ) ? ? ? (a2n?3 ? ) ? ? ? ? ? (a1 ? ) 4 2 4 ? 2? 4 4 ? 2?
n

2

n

1 ?1? 1 ∴ a2n?1 ? ? ? ? (a1 ? ) 4 ? 2? 4
∴ a2n?1

1 1 ?1? ? ? ? (a ? ) ? 4 4 ? 2?
1 1 1 ? a n ?1 ? 4 2 4

n

若 n 为奇数,则 a n ?1 ? a n ? 即 a 2n ?
1 1 a 2n?2 ? , 2 4

1 1 1 ?1? 1 ?1? ∴ a 2 n ? ? (a 2 n ? 2 ? ) ? ? ? (a 2 n ? 4 ? ) ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 2 ? 2?
∴ a2n

2

n ?1

1 (a 2 ? ) 2

?1? ?? ? ?2?

n ?1

(a ?

1 1 1 ? )? 4 2 2

n ?1 ? 2 1 ? ? ?? ? (a ? 1 ) ? 1 , n为偶数 ? 2 4 2 a n ? ?? ? n ?1 ?? 1 ? 2 1 1 ?? ? (a ? ) ? , n为奇数 4 4 ?? 2 ?

- 15 -

创新三维学习法,高效学习加速度

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an?1 ? an ? pqn ( pq ? 0)型 ,这种类型一般可转化为{ a 2 n ?1 }与{ a 2 n }是等差或等比数列。

例 21、在数列{ a n }中, a1 ? 1 ,an an?1 ? 2 n , 求an 解:由 an an?1 ? 2 n ,得 an?1an?2 ? 2 n?1 两式相除得:

a n?2 ? 2 ,∴{ a 2 n ?1 }与{ a 2 n }均为公比为 2 的等比数列,易求得: an

?1 ? n2 ?2 , n为奇数 an ? ? n 2 ? ?2 ,n 为偶数

例 22、已知数列{ a n }满足 a1 ? 0,a n ?1 ?

a1 ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ), 则a 20 ? ( )
3 2

A.0

B. ? 3

C. 3
a1 ? 3 3a n ? 1

D.

略解:由 a1 ? 0,a n ?1 ?

,得 a 2 ?

a1 ? 3 3a1 ? 1

? ? 3,a3 ? 3,a 4 ? 0 ,因此数列是以

3 为周期的数列,所以 a20 ? a2 ? ? 3 ,选 B

巩固提高 1.已知数列 ? A:2

an ?

是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 . 若 a1、a2、a5 成等比数列,则 an ? C:2n-1 D:2n+1

B:2n

2 【 a1a5 ? a2 转换成 a1 和 d 求出 d =2 a1 =2】

2.设各项均为正整数的数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足: an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列, 且 a1 ? 1, b1 ? 2, a2 ? 3,求通项 an
(n ? 1) n A: 2

。 C: 3n ? 2
(n ? 1) 2 D: 2

B: 2n ? 1

【用枚举法找规律注意等差数列与等比数列】
- 16 创新三维学习法,高效学习加速度

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3.求和:
2? sn ? 1 2 3 4 n ? ? ? ?? ? n 2 4 8 16 2 2? n 2n ?1 2? 1 n ? n ?1 n 2 2 2? 1 n ? n n ?1 2 2

A:

1 2n ?1

B:

C:

D:

提示: 【错位相减】写成

sn ?

1 1 1 1 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ??? n n 2 2 2 2 2 (1)

1 1 1 1 1 1 1 sn ? 2 ? 2 3 ? 3 4 ? 4 5 ? ? ? n n ?1 2 2 2 2 2 两边同时乘以 2 ,得 2 (2)

然后(1) , (2)两式相减,??

S3 1 S6 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = S6 3 S12
A: 3 10 B: 1 3 C: 1 8 D: 1 9

【由于等差数列得 S3 ? 1, S6 ? S3 ? 2, S9 ? S6 ? 3, S12 ? S9 ? 4 所以选 A】

a 5.设 ? n ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ?
A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

【等差数列由 a1 ? a2 ? a3 ? 15 求得 a2 ? 5 再联立方程求解得 a1 ? 2, a3 ? 8 (注意公差为正数)又 可求得 d ? 3 ,最后求出结果 a11 ? a12 ? a13 ? 105 】
n 6、设数列{ an }的通项公式为 an ? ?3 ? 2 ,则 a2 =

( D、 11

)

A、 -4 【n=2 代入得-7 选 B】

B、

-7

C、 8

7.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 ( A.15 B.30 C.31 D.64



【由 a7 ? a9 ? 16 得 a8 =8,再由 a12,a8,a4 成等差得出 a12 =15 选 A】
{a n }中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a6 ? 5 , 4 则数列 {an } 的通项公式为
- 17 -

8.等比数列





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4? n A. an ? 2 n ?4 B. an ? 2 n?3 C. an ? 2 3?n D. an ? 2

【将所有的量转换成 a1 和 q 的形式,联立方程求解求的

a1 ? 8, q ?

1 2 最终得 A】

9、用数字归纳法证明“当 n 为偶数时,xn+yn 能被 x+y 整除”, 在验证 n=2 正确后,归纳假设应 写成 ( )
?

(A)假设 n=k(k∈ N )时命题成立,即 xk+yk 能被 x+y 整除 (B)假设 n≤k(k∈ N )时命题成立,即 x +y 能被 x+y 整除
k k

?

(C)假设 n=2k+2(k∈ N )时命题成立,即 x2k+2+y2k+2 能被 x+y 整除 (D) 假设 n=2k (k∈ N )时命题成立,即 x2k+y2k 能被 x+y 整除 【根据数学归纳法证明 n=1 成立后应证明 n=k 成立,但这里要求 n 为偶数,所以假设 n=2k 成 立,选 D】
?

?

二、解答题
1 1 1 1 1 S2 S3 S4 , S2 S3 2 与3 10、 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 2 与 3 的等比中项是 4

的等差中项为1,求 ?an ? 的通项公式。 解:设数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d,依题意,得

1 1 ?1 2 ? 2 S 2 ? 3 S3 ? ( 4 S 4 ) ? ? 1 1 ? S 2 ? S3 ? 2 3 ? 2
d 3 2 ? ?(a1 ? 2 )(a1 ? d ) ? (a1 ? 2 d ) ? d ? (a1 ? ) ? (a1 ? d ) ? 2 2 ? 12 ? d ? ? , d ? 0 ?6a1 d ? 7d ? 0 ? ? 5 ?? ?? 或? ?a1 ? 1 ? a1 ? 14 , ? 4a1 ? 3d ? 4 5 ? 26 12 ? a n ? 1或a n ? ? n. 5 5
2

- 18 -

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等差中项,等比中项?列方程组?转换成 a1 和 d 的二元二次方程组?求解 a1 , d ?求通项 11、设等比数列 ?an ? 的公比为 q,前 n 项和 S n ? 0(n ? 1,2,?) (1)求 q 的取值范围;
3 bn ? a n ? 2 ? a n ?1 , 2 (2)设 .记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 和 Tn 的大小.

解:(1)? ?an ?是等比数列, S n ? 0, 可得 a1 ? S1 ? 0, q ? 0 当 q ? 1 时, S n ? na1 ? 0; 当 q ? 1 时,

Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? qn ?0 ?0 1? q 1 ? q ,即 .

? 1? q ? 0 ? 1? q ? 0 ? ? n n 1 ? q ? 0 ? 上式等价于不等式组 ①或 ?1 ? q ? 0 ②;解①得 q ? 1 ;
解 ② 当 n 为 奇 数 q ? 1 , n 为 偶 数 时 1 ? q ? ?1 , 得 ?1 ? q ? 1 . 综 上 所 述 , q 的 范 围 是

?? 1,0? ? ?0,??? 。 【老师此处有口误应为“n”为偶数】
(2)由
bn ? a n ?1 ? 3 3 3 a n ?1 bn ? a n (q 2 ? q), Tn ? (q 2 ? q) S n 2 2 2 得 ,于是

3 1 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? S n (q ? )( q ? 2) 2 2 ,又 S n ? 0, 且 q ? ?? 1,0? ? ?0,??? , ?1 ? q ? ? 1 1 ? ?q?2 T ? S T ? S ? 0 , q ? 2 2或 2 n ;当 n 时, n 即 n 且 q ? 0 时,Tn ? S n ; 【解题

?当

思路】算出 bn ? 转换为 Tn ? 比较 Tn 和 Sn 大小

1 an ?1 ? S n 3 ,n=1,2,3,??,求 12、 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,

(I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值.

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1 an ?1 ? S n 3 ,n=1,2,3,??,得 解(I)由 a1=1, 1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3, 3 3 9, 3 3 27 , 1 1 4 an ?1 ? an ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an an ?1 ? an 3 3 (n≥2) 3 (n≥2) 由 ,得 , 1 4 n?2 1 ( ) 又 a2= 3 ,所以 an= 3 3 (n≥2),

? 1 ? an ? ? 1 4 n ?2 ( ) ? 3 3 ? ∴ 数列{an}的通项公式为

n ?1 n≥ 2



【解题思路】将 Sn 转换为 an 的形式? an ?1 和 an 的关系?数列从第二项开始等比?求出 an 通项
4 1 ( )2 a , a , ? , a 2n 是 首 项 为 3 , 公 比 为 3 ( II ) 由 ( I ) 可 知 2 4 项数为 n 的等比数列,∴

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] ? 4 2 7 3 3 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = 1 ? ( 3 )
数列规律的探索问题,注意数列的特殊性:首项从第二项开始,公比为 q
2

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