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2009高考函数与导数


函数综合性大题 1 1.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x, g ( x) ? 6ln x ? m. (1)求 f ( x) 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值 h(t ); (2)是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有三个不同 的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (1) f (

x) ? ? x2 ? 8x ? ?( x ? 4)2 ? 16. 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在 ?t, t ?1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16; 当 t ? 4 时, f ( x) 在 ?t, t ?1? 上单调递减,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.
??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 3? 综上, h(t ) ? ?16,      t ? 4, ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?

(2)函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? g ( x) 的图像有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图像与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.

? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0.

? 要使 ? ( x) 的图像与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0, ?

即 7 ? m ? 15 ? 6 ln 3.

所以存在实数 m ,使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像有且只有三个不同的交 点, m 的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3). 评价:高次方程用导数求解。 2 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? b ? c) ,其图像在点 A(1, f (1)), B(m, f (m)) 处的切线 的斜率分别为 0, ? a . (1)求证: 0 ≤ ? 1 ; (2)若函数 f ( x) 的递增区间为 [ s, t ] ,求 | s ? t | 的取值范围; (3)若当 x ≥ k 时(k 是与 a , b, c 无关的常数) ,恒有 f ?( x) ? a ? 0 ,试求 k 的最小 值. 解: (1) f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ,由题意及导数的几何意义得
f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 ,

1 3

b a

(1) (2)

f ?(m) ? am2 ? 2bm ? c ? ?a ,

又 a ? b ? c ,可得 4a ? a ? 2b ? c ? 4c ,即 4a ? 0 ? 4c ,故 a ? 0, c ? 0, 由(1)得 c ? ? a ? 2b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得
1 b ? ? ?1, 3 a

(3)

将 c ? ? a ? 2b 代入(2)得 am2 ? 2bm ? 2b ? 0 ,即方程 ax 2 ? 2bx ? 2b ? 0 有实根. 故其判别式 ? ? 4b2 ? 8ab ≥0 得
b b ≤ ?2 ,或 ≥0 , a a

(4)
b a

由(3)(4)得 0 ≤ ? 1 ; , (2)由 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 的判别式 ?? ? 4b2 ? 4ac ? 0 , 知方程 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 (?) 有两个不等实根,设为 x1 , x2 ,

又由 f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 知, x1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则有根与系数的关系 得
x1 ? x2 ? ? 2b 2b , x2 ? ? ? 1 ? 0 ? x1 , a a

当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x2 ? x ? x1 时, f ?( x) ? 0 , 故函数 f ( x) 的递增区间为 [ x2 , x1 ] ,由题设知 [ x2 , x1 ] ? [ s, t ] , 因此 | s ? t |?| x1 ? x2 |? 2 ?
2b b ,由(Ⅰ)知 0 ≤ ? 1 得 a a

| s ? t | 的取值范围为 [2, 4) ;

(3)由 f ?( x) ? a ? 0 ,即 ax2 ? 2bx ? a ? c ? 0 ,即 ax2 ? 2bx ? 2b ? 0 , 因为 a ? 0 ,则 x2 ? 2 ? x ? 2 ? ? 0 ,整理得 (2 x ? 2) ? x2 ? 0 , 设 g ( ) ? (2x ? 2) ? x2 ,可以看作是关于 的一次函数, 由题意 g ( ) ? 0 对于 0 ≤ ? 1 恒成立, 故?
? 2 ? g (?1)≥0, ? x +2 x ? 2≥0, 即? 2 得 x ≤ ? 3 ? 1 或 x≥ 3 ? 1 , ? g (0) ? 0, ? x ? 0, ?

b a

b a

b a

b a

b a

b a

b a

b a

由题意, [k , ??) ? (??, ? 3 ? 1] ? [ 3 ?1, ??) , 故 k≥ 3 ? 1 ,因此 k 的最小值为 3 ? 1 . 评价:注意双变量取一次作为变量,证明或求出范围。已知范围的优先考虑为变 量。 t 3.已知函数 f ( x) ? x ? (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 x PM 、 PN ,切点分别为 M 、 N . (Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不 存在,请说明理由. (Ⅲ) (Ⅰ) 在 的条件下, 若对任意的正整数 n , 在区间 [2 , n ?
64 ] 内总存在 m ? 1 n

个实数 a1 , a2 ,?, am , am?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立, 求 m 的最大值. 解: (Ⅰ)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

? 切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 。
2

由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2tx ? t ? 0 的两根,
? x1 ? x 2 ? ?2t , ?? ……( * ) ? x1 ? x 2 ? ?t .
MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t 2 t t 2 ) ] ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) [1 ? (1 ? x1 x2 x1 x2

? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?

t 2 ) ], x1 x2

把( * )式代入,得 MN ? 20t 2 ? 20t , 因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ? 20t 2 ? 20t (t ? 0) . (Ⅱ)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,? 即
x1 ? t ? x1
2

x1 ?

t t x2 ? ?1 ?1 x2 x1 = , x2 ? 0 x1 ? 0

x1

2



x2 ? t ? x2
2

x2

2

,化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 ,
1 . 2

……………… (3) (*) 把 式代入 (3) 解得 t ? , ? x1 ? x2 , t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 . ?

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且 t ?
(Ⅲ)易知 g (t ) 在区间 [2 , n ?
64 ] 上为增函数, n

1 。 2

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n 64 ). n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ? 依题意,不等式 m ? g (2) ? g (n ?

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 . [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立, 6 n n

?n ?

64 1 64 64 1 2 136 ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? , [16 ? 16] ? n 6 n n 6 3
136 . 3

?m ?

由于 m 为正整数,? m ? 6 . 又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , am?1 ? 16 ,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 。 评价:记住题型。 4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a、b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x) 且方程 f(x)=2x 有等根。 (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)是否存在实数 m,n (m<n≤ ),使 f(x)定义域和值域分别为[m,n]和 4 [4m,4n] ,如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由。 解: (1)∵方程 ax2+bx=2x 有等根,∴Δ=(b–2)2=0,得 b=2。 b 由 f(x–1)=f(3–x)知此函数图像的对称轴方程为 x ? ? =1 得 a=–1,故 2a f(x)=–x2+2x。 1 (2)f(x)=–(x–1)2+1≤1,∴4n≤1,即 n≤ 4 1 而抛物线 y=–x2+2x 的对称轴为 x=1 ∴n≤ 时, (x)在 m,n] f [ 上为增函数。 4

? f ( m) ? 4 m 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ? ? f ( n) ? 4n
?? m 2 ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 ? 即? 2 ?? ?? n ? 2 n ? 4 n ?n ? 0或n ? ?2 ?
1 ,∴m=–2,n=0,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0] 4 由以上可知满足条件的 m、n 存在,m=–2,n=0 评价:对数函数等注意考虑定义域。这种题型考虑单调性。 1 1? t ) ( x ? 0) 的最小值恰好 5.已知函数 y ?| x | ?1 , y ? x2 ? 2 x ? 2 ? t , y ? ( x ? 2 x

又 m<n≤

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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是方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 .

(1)求证: a 2 ? 2b ? 3 ;

评价:记住题型

(2)设 ( x1 , M ) , ( x2 , N ) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的两个极值点. 若 | x1 ? x2 |?
2 ,求函数 f ( x) 的解析式. 3

解: (1)三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t , 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ?a ? b ? 1 ∴ f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1)

? ( x ?1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,
故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1

( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ? 1)2 ,即 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2

a 2 ? 2b ? 3
b 2a , x1 x2 ? , 3 3

(2)故有 x1 ? x2 ? ?

且△ ? (2a)2 ?12b ? 0 ,得 b ? 3 . 由 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

2 a 2 ? 3b 2 3 ? b ? 3 3

2 2 3?b ? ;得, b ? 2 , a2 ? 2b ? 3 ? 7 . 3 3

由(1)知 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) ? 0 ,故 a ? ?1 , ∴ ∴

a ? ? 7 , c ? ?(a ? b ?1) ? 7 ? 3

f ( x) ? x3 ? 7 x2 ? 2x ? 7 ? 3 。
2 ? a ln x( x ? 0), x

2 6.已知函数 f ( x) ? x ?

(1)若 f ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若定义在区间 D 上的函数 y ? f (x) 对于区间 D 上的任意两个值 x1、x2 总有以

x ?x 1 下不等式 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) 成立, 则称函数 y ? f (x) 为区间 D 上的 2 2

“凹函数”.试证当 a ? 0 时, f ( x) 为“凹函数”
2 a 2 ? a ln x ,得 f ' ? x ? ? 2 x ? 2 ? x x x ' 若函数为 [1, ??) 上单调增函数,则 f ? x ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立

解: (1)由 f ? x ? ? x 2 ?

即不等式 2 x ? 令 ? ( x) ?

2 a 2 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立. 也即 a ? ? 2 x 2 在 [1, ??) 上恒成立 2 x x x

2 2 ? 2 x 2 ,上述问题等价于 a ? ? ( x)max ,而 ? ( x) ? ?2 x 2 为在 [1, ??) 上的 x x

减函数,则 ? ( x)max ? ? (1) ? 0 ,于是 a ? 0 为所求 (2)证明:由 f ? x ? ? x 2 ?
2 ? a ln x 得 x

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 2 ?1 1? a x ?x 1 ? ? x1 ? x22 ? ? ? ? ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? 1 2 ? a ln x1 x2 2 x1 x2 2 2 ? x1 x2 ? 2
x ?x 4 ?x ?x ? ?x ?x ? f ? 1 2 ??? 1 2 ? ? ? a ln 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x2
2

而 1 ? x12 ? x22 ? ? 1 ?? x12 ? x22 ? ? 2x1x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ?
2 4? ? ? 2 ?

2


x1 ? x2 4 ? x1 x2 x1 ? x2

又 ? x1 ? x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? 2 x1 x2 ? 4 x1 x2 ,
2





∵ x1 x2 ? ∵a ? 0

x1 ? x2 2

∴ ln x1 x2 ? ln

x1 ? x2 , 2

∴ a ln x1 x2 ? a ln x1 ? x2
2


2

由①、②、③得 1 ? x12 ? x2 2 ? ? x1 ? x2 ? a ln x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 ? a ln x1 x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 即
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 1 2 ? ,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 2 ? 2 ?

评价:记住题型 7. 已 知 函 数 f ? x ? ? ax2 ? 4x ? 2 满 足 对 任 意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 , 都 有

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?

(1)求实数 a 的取值范围; (2)试讨论函数 y ? f ?x ?在区间 ?? 1,1? 上的零点的个数; (3)对于给定的实数 a ,有一个最小的负数 M ? a ? ,使得 x ? ? M ? a ? , 0 ? 时, ? ?

?4 ? f ? x ? ? 4 都成立,则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值.
? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 解: (1)∵ f ? 1 2 ? ? 2 ? 2 ?
ax 2 ? bx1 ? c ? ax2 2 ? bx2 ? c ?x ?x ? ?x ?x ? ? a? 1 2 ? ? b? 1 2 ? ? c ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ?
2

??

a 2 ? x1 ? x2 ? ? 0 , 4

又∵ x1 ? x2 ,∴必有 a ? 0 ,∴实数 a 的取值范围是 (0,??) . (2)? ? 16 ? 8a ,由(1)知:a ? 0 ,所以 ? ? 0 。 由 a ? 0 , f (1) ? a ? 2 ? 0

①当 0 ? a ? 6 时,总有 f (?1) ? 6 ? a ? 0 , f (0) ? ?2 ? 0 , f (1) ? 0 , 故 0 ? a ? 6 时, f (x) 在 ?? 1,1?上有一个零点;

?a ? 0 ? ?? 1 ? ? 4 ? 1 ? ②当 a ? 6 时, ? ,即 a ? 6 时, f (x) 在 ?? 1,1?上有两个零点; 2a ? f (1) ? a ? 4 ? 2 ? 0 ? ? f (?1) ? a ? 4 ? 2 ? 0 ?
③当 a ? 6 时,有 f (?1) ? 0 , f (0) ? ?2 <0, f (1) ? 0 , 故 a ? 6 时, f (x) 在 ?? 1,1? 上有两个零点。 综上: 0 ? a ? 6 时, f (x) 在 ?? 1,1?上有一个零点; a ? 6 时, f (x) 在 ?? 1,1? 上有两 个零点。 评价:这类函数先带入端点值,0、1、-1 值,极值。

2? 4 ? (3)∵ f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ? a ? x ? ? ? 2 ? , a? a ?
2

2

显然 f ? 0? ? ?2 ,对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?

2 ?0. a

4 ? 2 ? ? ?4 ,即 0 ? a ? 2 时, M ? a ? ? ? ? , 0 ? ,且 f ? M ? a ? ? ? ?4 . ? ? a ? a ?

令 ax2 ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?

?2 ? 4 ? 2a , a

此时 M ? a ? 取较大的根,即 M ? a ? ? ∵ 0 ? a ? 2 ,∴ M ? a ? ? ②当 ?2 ?

?2 ? 4 ? 2a ?2 , ? a 4 ? 2a ? 2

?2 ? ?1 . 4 ? 2a ? 2

4 2 ? ?4 ,即 a ? 2 时, M ? a ? ? ? ,且 f ? M ? a ? ? ? 4 . ? ? a a

令 ax 2 ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?

?2 ? 4 ? 6a , a

此时 M ? a ? 取较小的根,即 M ? a ? ? ∵ a ? 2 ,∴ M ? a ? ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 , ? a 4 ? 6a ? 2

?6 ? ?3 . 当且仅当 a ? 2 时,取等号. 4 ? 6a ? 2

∵ ?3 ? ?1 ,∴当 a ? 2 时, M ? a ? 取得最小值-3. 8.设函数 f ( x) ? loga ( x ? 3a), (a ? 0且a ? 1) ,当点 P( x, y) 是函数 y ? f (x) 的图像 上的点时,点 Q( x ? 2a,? y) 是函数 y ? g (x) 的图像上的点。 (1)求出函数 y ? g (x) 的解析式; (2)若当 x ? [a ? 2, a ? 3] 时,恒有 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 ,试确定 a 的取值范围。

? x? ? x ? 2a ? x ? x ? ? 2a 解: (1)设 Q( x ?, y ?) ,则 ? ,又 y ? loga ( x ? 3a) ,则, ?? ? y? ? ? y ? y ? ? y?
? y? ? loga ( x? ? 2a ? 3a) ,所以 g ( x) ? ? loga ( x ? a) 。
( 2 )
f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 3a ) ? log a ( x ? a ) ? a

定 ,

义 则

域 有

? x ? 3a ? 0 ? x ? ?3a,? ?? ? ?x ? a ? 0





x ? [a ? 2, a ? 3]

a ? 2 ? 3a ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,

所以 f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 3a) ? log a ( x ? a) ? a ? ?1 ? log a ( x ? 3a)( x ? a) ? 1 且 x ? [a ? 2, a ? 3] 令 u( x) ? ( x ? 3a)(x ? a) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ( x ? 2a) 2 ? a 2

? 2a ? a ? 2 ? u ( x) 在区间 [a ? 2, a ? 3] 上单调增,? a ? u ( x) ?

1 a

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? a 4 ? ? 2 1 得0 ? a ? 2 5 ? x ? 4ax ? 3a ? a ?
评价:对数函数等注意考虑定义域。 9.已知 f(x)=x|x-a|+2x-3. (I) 当 a=4,2≤x≤5 时,问 x 分别取何值时,函数 f(x)取得最大值和最小值, 并求出相应的最大值和最小值; (II) 求 a 的取值范围,使得 f(x)在 R 上恒为增函数. 解: (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 | ?2 x ? 3 (1) 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x(4 ? x) ? 2x ? 3 ? ?( x ? 3)2 ? 6 当 x ? 2 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 3 时, f ( x)max ? 6 (2)当 4 ? x ? 5 时, f ( x) ? x( x ? 4) ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4 当 x ? 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 综上所述,当 x ? 2 或 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12

? a ? 2 2 (a ? 2) 2 (x ? ) ? ? 3, x ? a ? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ? ? 2 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ?? 2 ?? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ??( x ? a ? 2 )2 ? (a ? 2) ? 3, x ? a ? ? 2 4
2

?a ? 2 ? 2 ?a ? f ( x) 在 R 上恒为增函数的充要条件是 ? , a?2 ? ?a ? 2 ?

解得 ?2 ? a ? 2

即当 ?2 ? a ? 2 时, f ( x) 在 R 上恒为增函数

评价:绝对值函数先化为分段函数 1 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? ,(x>0). x (I)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求证:ab>1; (II)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b], 若存在,则求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由. (III)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域 为 [ma,mb] (m≠0),求 m 的取值范围.

? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? f (x) ? ? 解: (I) ∵x>0,∴ ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ? ∴f(x)在(0,1)上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数. 1 1 由 0<a<b,且 f(a)=f(b),可得 0<a ? 1<b 和 ? 1 ? 1 ? . a b 1 1 即 ? ? 2 .∴2ab=a+b> 2 ab . 故 ab ? 1 ,即 ab>1. a b (II)不存在满足条件的实数 a,b. 1 若存在满足条件的实数 a,b,使得函数 y= f ( x ) ? 1 ? 的定义域、值域都是[a, x b], ? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? 则 a>0. 而 f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ? 1 ①当 a , b ? (0,1) 时, f ( x ) ? ? 1 在(0,1)上为减函数. x ?1 ? a ? 1 ? b, ?f (a ) ? b, ? 故? 即 ? 解得 a=b. 1 ?f (b) ? a. ? ? 1 ? a. ?b ? 故此时不存在适合条件的实数 a,b。 1 ②当 a, b ? [1,??) 时, f (x) ? 1 ? 在 (1, ??) 上是增函数. x ? 1 ?1 ? a ? a , ?f (a ) ? a, ? 故? 即 ? ?f (b) ? b. ?1 ? 1 ? b. ? b ? 2 此时 a,b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数 a,b. ③当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由于 1? [a , b] ,而 f (1) ? 0 ? [a, b] , 故此时不存在适合条件的实数 a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b. (III)若存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为 [ma,mb]. 则 a>0,m>0. ?1 ? a ? 1 ? mb, ? ①当 a , b ? (0,1) 时,由于 f(x)在(0,1)上是减函数,故 ? .此时刻得 ? 1 ? 1 ? ma. ?b ? a,b 异号,不符合题意,所以 a,b 不存在.

②当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由(II)知 0 在值域内, 值域不可能是[ma,mb],所以 a,b 不存在. ③当 a, b ? [1,??) . 1 ∵ f ( x ) ? 1 ? 在 [1,??) 上是增函数, x ? 1 ?1 ? a ? ma, ?f (a ) ? ma, ? ∴? 即 ? 所以 b 是方程 mx2 ? x ? 1 ? 0 的两个根. ?f (b) ? mb. ?1 ? 1 ? mb. ? b ? 2 即关于 x 的方程 mx ? x ? 1 ? 0 有两个大于 1 的实根. 1 1 设这两个根为 x 1 , x 2 .则 x 1 + x 2 = , x 1 〃 x 2 = . m m ?? ? 0, ?1 ? 4m ? 0, 1 ? ? 0?m? . ∴ ?(x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0, 即 ?1 解得 4 ?( x ? 1)(x ? 1) ? 0. ? m ? 2 ? 0. ? 2 ? 1
1 . 4 评价:分类讨论思想,记住题型,这种题型考虑单调性。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故 m 的取值范围是 0 ? m ?


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