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2014届一轮复习数学试题选编20空间的平行与垂直关系(教师版)


江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 20: 空间的平行与垂直关系 (教师版)
填空题 1 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)已知, m 是两条不同的直

线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l

? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l //

? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? .

则所有正确命题的序号是_________. 【答案】②
2 . (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)给出下列命题:

(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,所有真命题的序号为______.
【答案】 ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 3 . 南京市、 ( 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β

是两个不同的平面. ①若 m?α ,m⊥β ,则 α ⊥β ; ③若 m?α ,n?β ,α ∥β ,则 m∥n; ②若 m?α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,m?β ,α ∩β =n,则 m∥n.

上述命题中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).

【答案】①④ 4 . (江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题)设 m, n 是两条不同的直线, ? 是一个

平面,有下列四个命题: ①若 m ? n, m ? ? ,则 n ? ? ; ②若 m ? ? , n ∥ m ,则 n ? ? ; ③若 n ∥ ? , m ? ? ,则 n ∥ m ;④若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n . 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 【答案】②

1

5 . (南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)现有如下命题:①过平面外

一点有且只有一条直线与该平面垂直;②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平 行;③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行;④如果两个平 面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面 内. 则所有真命题的序号是 .
【答案】①③④ 6 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)在空间中,用 a,b,c 表

示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列四个命题: (1)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c (2)若 a ? b, b ? c ,则 a ? c (3) 若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b (4)若 a ? ? , b ? ? ,则 a ? b
【答案】①④ 7 . (江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题(数学)WORD 版)已知 α ,β 为平面,m,n

为直线,下列命题: ①若 m∥n,n∥α ,则 m∥α ; ②若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β ;

③若 α ∩β =n,m∥α , m∥β ,则 m∥n; ④若 α ⊥β ,m⊥α ,n⊥β ,则 m⊥n. 其中是真命题的有_______.(填写所有正确命题的序号) 【答案】②③④

8 (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题) . 已知两个平面 a , b ,直线 l ^

a,

直线 m ? b ,有下面四个命题: ① ? // ? ? l ? m ; ② ? ? ? ? l // m ; ③ l ? m ? ? // ? ;④ l // m ? ? ? ? . 其中正确的命题是____. 【答案】①、④
9 . (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 ) 设 m,n 是两条不同的直

线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ②若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m//n ,则 ? // ? .

2

上面命题中,真命题的序号是_______(写出所有真命题的序号). ...
【答案】② 10. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题)以下 5 个命题:

(1)设 a , b , c 是空间的三条直线,若 a ? c , b ? c ,则 a // b ; (2)设 a , b 是两条直线, ? 是平面,若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3)设 a 是直线, ? , ? 是两个平面,若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; (4)设 ? , ? 是两个平面, c 是直线,若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? ; (5)设 ? , ? , ? 是三个平面,若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . 其中正确命题的 序号是______________. 【答案】②④
11. (苏州市第一中学 2013 届高三“三模”数学试卷及解答) m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是 设 两个不同的平面,则下列正确命题的序号是____.

①.若 m // n ,m ? ? , 则 n ? ? ; ③. 若m // ? ,m // ? ,则? // ? ;
【答案】

②.若 m // n ,m // ? , 则 n // ? ; ④.若n ? ? ,n ? ? ,则? ? ? .



12. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)设 a、b 是两条不同的直

线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ③若 a // ? , a ? ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? , ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

? , 则? ? ?

其中正确的命题序号是____.
【答案】③④; 解答题 13. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)如图,在四棱锥 P ? ABCD

中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O . (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

3

【答案】

(Ⅰ)证:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD 又 AC ? BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,

? BD ? 平面 PAC , 而 BD ? 平面 PBD ,所以平面 PBD ⊥平面 PAC (Ⅱ)证:? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,? AC ? 平面 BED , 连接 EO ,? EO ? 平面 BED ,? AC ? EO , ? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PA ,
又 AC , PA, EO 共面,? EO // PA , 又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED ,? PA // 平面 BED
14.江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题) ( 在三棱锥 S-ABC 中,SA ?

平面 ABC,SA=AB=AC= M 是线段 SD 上一点, (1)求证:BC ? AM

3 BC ,点 D 是 BC 边的中点,点 E 是线段 AD 上一点,且 AE=4DE,点 3

(2)若 AM ? 平面 SBC,求证:EM ? 平面 ABS

4

【答案】(1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC,

SA ? 面ABC ? SA ? BC BC ? 平面SAD? ? ?? ?? ? ? BC ? AM AD ? SA ? A? BC ? 面ABC ? AM ? 面SAD ?
(证到 SA⊥平面 SAD 得 5 分) (2)∵AM ? 面 SAB, ? AM ? SD,

ME // SA ? SM ? 4MD? ? ? ? ME ? 平面ABS? ? EM∥面 ABS AE ? 4 DE ? ? SA ? 平面 ?
(证到 SM=4MD 得 10 分,得到 ME‖SA 得 12 分.)
15. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)如图,四棱锥 P-A BCD 中,底面 ABCD

为菱形,BD⊥面 PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=

4 ,M 是 PC 的中点. 5

(Ⅰ)证明 PC⊥平面 BMD; (Ⅱ)若三棱锥 M-BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

【答案】

5

16. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面

ABCD,AD⊥AB,CD∥AB, AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 ,直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60°,
点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB .

【答案】证明:

(1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥AB 因为 CD∥AB,所以 MN∥CD. 又 CD ? 平面 PCD, MN ? 平面 PCD,所以 MN∥平面 PCD (2)因为 AD⊥AB,CD∥AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥底面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD ? PD ? D ,所以 CD⊥平面 PAD 因为 MD ? 平面 PAD,所以 CD⊥MD, 所以四边形 MNCD 是直角梯形 (3)因为 PD⊥底面 ABCD,所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而∠PAD= 60? 在 Rt △ PDA 中, AD ? 2 , PD ? 6 , PA ? 2 2 , MD ? 2 . 在直角梯形 MNCD 中, MN ? 1 , ND ? 3 , CD ? 3 , CN ?

MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ,

6

从而 DN 2 ? CN 2 ? CD 2 ,所以 DN⊥CN 在 Rt △ PDB 中,PD= DB= 6 , N 是 PB 的中点,则 DN⊥PB 又因为 PB ? CN ? N ,所以 DN ? 平面 PCB

17.江苏省南京市 2013 届高三 9 月学情调研试题 ( (数学) WORD 版) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1

中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.
A1 B1 C1

A B (第 16 题)

C D

【答案】证明:(1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC.

因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1 (2)(证法一) 连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD, 则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD//A1B ? 因为 OD?平面 ADC1,A1B/平面 ADC1, 所以 A1B//平面 ADC1 (证法二) ∥ 取 B1C1 的中点 D1,连结 A1D1,D1D,D1B.则 D1C1 = BD. 所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B// C1D. ? 因为 C1D?平面 ADC1,D1B/平面 ADC1, 所以 D1B//平面 ADC1. 同理可证 A1D1//平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1//平面 ADC1 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B//平面 ADC1
7

A1 B1

D1

C1

A1 B1

C1

O

A B

C D

A B

C D

(第 16 题图)

(第 16 题图)

18. (江苏省南京市四区县 2013 届高三 12 月联考数学试题 )如图的几何体中, AB ? 平面

ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中
点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE . B E A

C F

D

【答案】(1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG .

∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且

GF ?

1 DE 2 .

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,

∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又

AB ?

1 DE 2 ,∴ GF ? AB .

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG .

8

B

E A

G

C F

D

∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ? DE, BG ? CD 又 CD ? DE ? D , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE

19. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1

中,AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上,且 AC1=4AF. (1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF //平面 ABB1A1. A1 C1 B1

F C
(第 16 题图)

A B E

D

9

【答案】证明:(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1?平面 ABC,

而 AD?平面 ABC, 所以 CC1?AD 又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 AD?BC, 因为 BC?CC1=C,BC?平面 BCC1B1,CC1?平面 BCC1B1, 所以 AD?平面 BCC1B1, 因为 AD?平面 ADF, 所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1 (2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1,所以 CF=3FG, 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB, 所以 EF//GB, 而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1 A1 C1 B1

G A

F C B E D

20. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期中考试数学试题)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是

直 角 梯 形 , AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是 两 个 边 长 为 2 的 正 三 角 形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (1)求证: OE // 平面 PDC ; (2) 求证:平面 PBD ? 平面 ABCD . P

E

A O D

B

C

10

【答案】

21. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷) 如图,在四棱锥

P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90? ,

11

?PBA ? 90? .求证:

(1) AD // 平面 PBC ; P

(2)平面 PBC ? 平面 PAB .

A

D

B

C
(第 16 题)

【答案】 【证】(1)因为 BC//平面 PAD,

而 BC ? 平面 ABCD,平面 ABCD I 平面 PAD = AD, 所以 BC//AD 因为 AD ? 平面 PBC,BC ? 平面 PBC,所以 AD // 平面 PBC

P

A H B C

D

(2)自 P 作 PH ? AB 于 H,因为平面 PAB ? 平面 ABCD ,

且平面 PAB I 平面 ABCD =AB, 所以 PH ? 平面 ABCD 因为 BC ? 平面 ABCD,所以 BC ? PH. 因为 ?PBC ? 90? ,所以 BC ? PB, 而 ?PBA ? 90? ,于是点 H 与 B 不重合,即 PB I PH = H. 因为 PB,PH ? 平面 PAB,所以 BC ? 平面 PAB 因为 BC ? 平面 PBC,故平面 PBC ? 平面 AB
22. (苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷) 如图,在四棱柱

ABCD ? A1 B1C 1 D1 中,已知平面 AA1C 1C ? 平面 ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3 ,

AD ? CD ? 1 .
(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为棱 BC 的中点,求证: AE // 平面 DCC 1 D1 .

12

D1 A1 C1

B1

D A
第 16 题 图

C

E B

【答案】⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,

又平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC ,

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AAC1C , 1
又因为 AA1 ? 平面 AAC1C ,所以 BD ? AA1 1 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC , 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC , 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1
23. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)如图, AB , CD 均为圆 O 的直

径, CE ? 圆 O 所在的平面, BF ? CE .求证: ⑴平面 BCEF ? 平面 ACE ; ⑵直线 DF ? 平面 ACE .

13

E

F C A O
(第 15 题图)

B D

【答案】⑴因为 CE ? 圆 O 所在的平面, BC ? 圆 O 所在的平面,

所以 CE ? BC , 因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,所以 AC ? BC , 因为 AC ? CE ? C , AC, CE ? 平面 ACE , 所以 BC ? 平面 ACE , 因为 BC ? 平面 BCEF ,所以平面 BCEF ? 平面 ACE ⑵由⑴ AC ? BC ,又因为 CD 为圆 O 的直径, 所以 BD ? BC , 因为 AC, BC, BD 在同一平面内,所以 AC ? BD , 因为 BD ? 平面 ACE , AC ? 平面 ACE ,所以 BD ? 平面 ACE 因为 BF ? CE ,同理可证 BF ? 平面 ACE , 因为 BD ? BF ? B , BD, BF ? 平面 BDF , 所以平面 BDF ? 平面 ACE , 因为 DF ? 平面 BDF ,所以 DF ? 平面 ACE
24. (江苏省徐州市 2013 届高三期中模拟数学试题) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形

ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. ∥ (1)求证: PD 面 AEC ;
(2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB .

14

【答案】 (1)证明:设

AC ? BD ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点,所以

PD EO ∥ ∥ 而 PD ? 面AEC , EO ? 面AEC ,所以 PD 面 AEC
(2)连接 PO,因为 PA ? PC ,所以 AC ? PO ,又四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 而 PO ? 面 PBD , BD ? 面 PBD , PO ? BD ? O ,所以 AC ? 面 PBD 又 AC ? 面 AEC ,所以面 AEC ? 面 PBD

25. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 AC

的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λ EO (1)若 λ =1,求异面直线 DE 与 CD1 所成的角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值.

??? ???? ???? ? ? 【答案】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC , DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

1 0 则 A (1,0,0), O 1 ,1 , , C ? 0,, ? ,D1(0,0,1),E 1 ,1 ,1 , 0 2 2 4 4 2 ???? ? ???? 1 于是 DE ? 1,1 ,1 , CD1 ? ? 0,? 1, ? . 4 4 2 ???? ???? ? ???? ???? ? DE ? CD1 3 ? 由 cos ? DE,CD1 ? = ????? ???? = . | DE |? | CD1 | 6

?

?

?

?

?

?

15

3 . 6 ???? ? ??? ? (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· CO =0,m· CD1 =0

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1 ) . ?? y1 ? z1 ? 0, ? ???? 由 D1E=λ EO,则 E ? ? , ? , 1 ? , DE = ? ? , ? , 1 ? . ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· CD =0,n· DE = 0.
? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ ,即 n=(-2,0,λ ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ =2.
26. (江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)如图,在四棱锥 P‐ABCD 中 ,四边形

ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD
的中点.求证: (1)PB∥平面 A EC; (2)平面 PCD⊥平面 PAD. P E A B
(第 16 题图)

D C

【答案】(1)证明: 连 BD,AC 交于 O. ∵ABCD 是正方形

∴AO=OC, OC=

1 AC 2

连 EO,则 EO 是三角形 PBD 的中位线. EO∥PB EO ? 平面 AEC ∴PB∥平面 AEC ( 2):∵PA⊥平面 ABCD ∴CD⊥PA ∵ABCD 是正方形 ∴AD⊥CD ∴CD⊥平面 PAD

16

∴平面 PAD⊥平面 PCD
27 . 江 苏 省 苏 锡 常 镇 四 市 2013 届 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 一 ) 数 学 试 题 ) 如 图 , 在 三 棱 柱 (

A1 B1C1 ? ABC 中 , 已 知 E , F , G 分 别 为 棱 AB , AC , A1C1 的 中
点, ?ACB ? 900 , A1 F ? 平面 ABC , CH ? BG , H 为垂足.求证: (1) A1 E // 平面 GBC ; (2) BG ? 平面 ACH .

C1 G A1 B1

C F A
【答案】

H B

E

28. (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) 如图,在四棱锥 P-ABCD

中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E 为的 PC 中点. ⑴求证:PA∥平面 BDE; ⑵求证:平面 PBC⊥平面 PDC.

17

【答案】证明(1)连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO, PO

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ O 是 AC 中点, 又 E 为 PC 中点.∴ PA ∥ EO 又 EO ? 面BDE , PA ? 面BDE ∴ PA ∥平面 BDE (2)在△ PAC 中,易得 AO ? CO ? PO ? ∴在△ PDC 中可求得 DE ?

3 ∴ ?APC ? 90 ? ,∴ PC ? 2 2

2 ,同理在△ PBC 中可求得 BE ? 2
?

∴在△ BDE 中可得 ?BED ? 90 ,即 BE ⊥ DE 又 PB ? BC , E 为 PC 中点, ∴ BE ⊥ PC

BE ⊥面 PDC ,又 BE ? 面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 PDC
29. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面

ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D-AEC 的体积; (3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在 线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

18

D

C

F M A B
【答案】E (1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, 解

∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,∴AE⊥BF, ∴AE⊥平面 BCE. 又∵BE ? 平面 BCE,∴AE⊥BE.

1 1 1 4 V?D V ? ?? 2 22 ? ? D ? A V? A E EC C ? A ED ? 2 ? B C 2 2 3 3 (2) .
(3)在三角形 ABE 中,过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在三角形 BEC 中,过 G 点作

1 CE GN∥BC 交 EC 于 N 点,连 MN,则由比例关系易得 CN= 3 .
MG∥AE,MG ? 平面 ADE, AE ? 平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE,同理,GN∥平面 ADE, ∴平面 MGN∥平面 ADE. 又∵MN ? 平面 MGN,∴MN∥平面 ADE, ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.
30. (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面

ABCD ,四边形 ABCD 是平行四边形,且 AC ? CD , PA ? AD , M , Q 分别是 PD , BC
的中点. (1)求证: MQ ? 平面 PAB ; (2)若 AN ? PC ,垂足为 N ,求证: MN ? PD .

19

P

N
A

M

D

B

(第 16 题图)

Q

C

【答案】(1)取 PA 的中点 E ,连结 ME , BE ,

P

E N A

M

D

B

Q
(第 16 题图)

C

因为 M 是 PD 的中点,所以 ME ? AD , ME ?

1 AD , 2

1 BC , 2 因为四边形 ABCD 是平行四边形;
又因为 Q 是 BC 中点,所以 BQ ? 所以 BC ∥AD ,所以 BQ ∥ME , 所以四边形 MQBE 是平行四边形, 所以 MQ ? BE .因为 BE ? 平面 PAB , MQ ? 平面 PAB , 所以 MQ ? 平面 PAB
20

(2)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD ,又因为 AC ? CD , PA ? AC ? A ,

PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , 所以 CD ? 平面 PAC ,又 AN ? 平面 PAC , 所以 AN ? CD 又 AN ? PC , PC ? CD ? C , PC ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AN ? 平面 PCD ,又 PD ? 平面 PCD ,所以 AN ? PD ,
又 PA ? AD , M 是 PD 中点,所以 AM ? PD , 又 AM ? AN ? A , AM ? 平面 AMN , AN ? 平面 AMN ,所以 PD ? 平面 AMN , 又 MN ? 平面 AMN ,所以 MN ? PD
31. (2012 年江苏理)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 B1 ? A1C1 , D , 分别是棱 BC , 1 CC E

上的点(点 D 不同于点 C ),且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. F 求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

【答案】证明:(1)∵ ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC .

又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD . 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC B, CC ? DE E AD ? 平面 BCC1B1 .(lb CC ? ,∴ 1 1 1 ylfx) 又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1B1 . (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1F ? B1C1 . 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F . 又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 . B 由(1)知, AD ? 平面 BCC1B1 ,∴ A1F ∥ AD .

21

又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE

32. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1

中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中点. (1)证明:EF∥平面 ABC;(2)证明:C1E⊥平面 BDE.
C1 B1 A1

E F D

C

A B

(第 16 题)

【答案】证明(1)如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,FG.
C1 B1 A1

E F D G B (第 16 题)

C

A

1 ∥ 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG = C1C. 2 ∥ 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A = C1C,且 E 为 A1A 的中点, ∥ 所以 FG = EA. 所以四边形 AEFG 是平行四边形.
22

所以 EF∥AG 因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC (2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC, 所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC. 因为 A1A∩AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E 6 AB,C1B= 3AB, 2

根据题意,可得 EB=C1E=

2 所以 EB2+C1E2=C1B .从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB

因为 BD∩EB=B,BD ?平面 BDE, EB?平面 BDE, 所以 C1E⊥平面 BDE
33. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , BC ? 平 面 PAB . 已 知 PA ? AB , 点 D , E 分 别 为 PB , BC 的中点. (1)求证: AD ? 平面 PBC ; (2)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求

AF 的值. FC

P

D A F E B C

23

【答案】

34.南京市、 ( 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 在直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中,

AB ? BC , D 为棱 CC1 上任一点.
(1)求证:直线

A1 B1

∥平面 ABD ;

(2)求证:平面 ABD ⊥平面

BCC1 B1

.

24

【答案】(1)证明:由直三棱柱

ABC ? A1 B1C1 ,得 A1 B1 / / AB

而 EF ? 面ABD, AB ? 面ABD ,所以直线 EF ∥平面 ABD

AB ? BB1 ,又 AB ? BC , (2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以


BB1 ? 面 BCC1 B1 , BC ? 面 BCC1 B1 ,且 BB1 ? BC ? B ,所以 AB ? 面 BCC1 B1 BCC1 B1

又 AB ? 面ABD ,所以平面 ABD ⊥平面

35 . 江 苏 省 淮 安 市 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 (

ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , BC ? BB1 , D 为 AB 的中点.
(1)求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (2)求证: BC1 ∥平面 A1CD .

【答案】(1)因为在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,所以 CC1 ? 平面 ABC ,

25

A D B G A1 B1

C

C1

因为 AC ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , 又 AC ? BC , CC1 ? BC ? C ,所以 AC ? 平面 B1C1CB , 因为 BC1 ? 平面B1C1CB ,所以 BC1 ? AC 又因为 BC ? BB1 ,所以 BB1C1C 是正方形,所以 BC1 ? B1C , 又 B1C ? AC ? C ,所以 BC1 ? 平面 AB1C , (2)在正方形 A1C1CA 中,设 AC1 ? A1C ? G ,则 G 为 AC1 中点, D 为 AB 的中点,结

DG ,在 ?ABC1 中, BC1 ∥ DG ,
因为 DG ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD ,所以 BC1 ∥平面 A1CD ,

36. (江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题) 如图,在四面体 ABCD 中, BC ? 面

ACD , DA ? DC , E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点.
(1)求证:直线 EF ∥面 BCD ; (2)求证:面 DEF ⊥面 ABC .

26

【答案】证明:(1)

? E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点,? EF ∥ BC

又 BC ? 面 BCD , EF ? 面 BCD ,?直线 EF ∥面 BCD (2) ? DA ? DC ,点 F 为 AC 的中点,? DF ? AC 又? BC ? 面 ACD , DF ? 面 ACD ,? DF ? BC ,? DF ? 面 ABC 又? DF ? 面 DEF ?面 DEF ⊥面 ABC

37 . 江 苏 省 2013 届 高 三 高 考 压 轴 数 学 试 题 ) 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 (

中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点. A

ABCD

E G

B

C

D 求证:(1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心,试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF//平面 CDE.

27

【答案】

38. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面

AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证:
(1) EF // 平面 ABC;(2)平面 AEF⊥平面 A1AD. A1 B1 E F A B C C1

D
(第 15 题)

【答案】解:(1)连结 A1 B和A1C .

因为 E、F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC 又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC (2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, 所以 A1 A ? 平面 ABC ,所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A 又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 BC ? AD . 故由 EF // BC ,得 EF ? AD B D
(第 15 题)

A1 B1 E F A C C1

28

而 A1 A ? AD ? A , A1 A, AD ? 平面 A1 AD ,所以 EF ? 平面 A1 AD 又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 A1 AD \ 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲评时应 注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、 公理、 定理等.
39. (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题)

如 图 , 四 边 形 ABC D为 正 方 形 , 在 四 边 形 A D P Q中 , PD // QA . 又 QA ⊥ 平 面 , ABC D QA ? AB ?

1 PD . 2

(1)证明: PQ ⊥平面 DCQ ; (2) CP 上是否存在一点 R ,使 QR // 平面 ABCD ,若存在,请求出 R 的位置,若不存在, 请说明理由.

【答案】 解:

(1)法一:?QA⊥平面 ABCD,?QA⊥CD, 由四边形 ABCD 为正方形知 DC⊥AD, 又 QA 、AD 为平面 PDAQ 内两条相交直线, ?CD⊥平面 PDAQ,?CD⊥PQ, 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=

2 PD, 2

则 P Q⊥QD, 又 CD 、QD 为平面 ADCB 内两条相交直线,

29

?PQ⊥平面 DCQ 法二:?QA⊥平面 ABCD,QA ? 平面 PDAQ, ?平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,?DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC.
2 PD,则 PQ⊥QD, 2

在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=

又 CD 、QD 为平面 ADCB 内两 条相交直线, ?PQ⊥平面 DCQ. (2)存在 CP 中点 R,使 QR∥平面 ABCD 证:取 CD 中点 T,连接 QR,RT,AT,则 RT∥DP,且 RT= 又 AQ∥DP,且 AQ=

1 DP, 2

?四边形 A QRT 为平行四边形,所以 AT∥QR, ?QR ? 平面 ABCD,AT ? 平面 ABCD, ?QR∥平面 ABCD

1 DP,从而 AQ∥RT,且 AQ=RT, 2

40 . 2011 年 高 考 ( 江 苏 卷 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 ( )

中 P ? A B C D , 平 面 PAD ? 平 面 , A B C D AB ? AD , ?BAD ? 60? , E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: P (1)直线 EF // 平面 PCD ; E (2)平面 BEF ? 平面 PAD.
A B F D C

【答案】 【命题立意】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定和性

质,考查空间想象能力和推理论证能力. 【解析】(1)在 ?PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD,又因为 EF ? 平 面 PCD,所以直线 EF / / 平面 PCD. (2)连结 BD.因为 AB ? AD, ?BAD ? 60 ,所以 ?ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中
0

点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF ? 平 面 BEF,所以平面 BEF ? 平面 PAD
41. (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)如图,

在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD .

30

P

A
O
B
(第 15 题)

D
C

【答案】证明:(1)在矩形 ABCD 中, AB // CD ,

又 AB ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AB // 平面 PCD (2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 PO , 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC, 的中点, BD 又 PA ? PB ? PC ? PD , 故 PO ? AC , PO ? BD , 又 AC I BD ? O , AC, ? 平面 ABCD , BD 所以 PO ? 平面 ABCD , 又 PO ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD
42. (2009 高考(江苏))如图,在直三棱柱 ABC

? A1B1C1 中, E,F 分别是 A1B,AC 的 1

中点,点 D 在 B1C1 上, A D ? 1

B1C ,

求证: (1) EF ∥ 平面ABC ; (2) 平面A FD ? 平面BB1C1C . 1
【答案】 【解析】证明: (1)因为 E,F 分别是 A B,AC 的中点,所以 EF 1 1

// BC ,又

31

EF ? 面ABC , BC ? 面ABC ,所以 EF ∥ 平面ABC ;
(2)因为直三棱柱

ABC ? A1B1C1 ,所以 BB1 ? 面 A B1 C1, BB1 ? A1D ,又 1

A1D ? B1C

, 所 以

A1 D 面B B C , 又 A1D ? 面A1FD ? C 1 1

, 所 以

平面A1FD ? 平面BB1C1C 。

32


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