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2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检 测 新人教 A 版选修 2-2
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1. (2014·浙江理, 2)已知 i 是虚数单位, a、 b∈R, 则“a=b=1”是“(a+bi) =

2i” 的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当 a=b=1 时,(a+bi) =(1+ i) =2i,反之,(a+bi) =a -b +2abi=2i,则 a -b =0,2ab=1,解 a=1,b=1 或 a= -1,b=-1,故 a=1,b=1 是(a+bi) =2i 的充分不必要条件,选 A. - 2- z - 2. (2015·衡阳二模)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位), z 的共轭复数是 z , 则 等
2 2 2 2 2 2 2 2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

z

于(

) A.-1-2i C.-1+2i [答案] C - 2- z 2-?-1+i? ?3-i??-1+i? [解析] 由题意可得 = = =-1+2i,故选 z -1-i ?-1-i??-1+i? B.-2+i D.1+2i

C.

m-2i 3.复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1+2i
A.第一象限 C.第三象限 [答案] A B.第二象限 D.第四象限

)

m-2i ?m-2i??1-2i? 1 1 [解析] z= = = [(m-4)-2(m+1)i],其实部为 (m-4), 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5
2 虚部为- (m+1), 5
? ?m-4>0, 由? ? ?-2?m+1?>0.

得?

? ?m>4, ? ?m<-1.

此时无解. 故复数在复平面上对应的点不可能位于

第一象限.
1

1 3 4.(2014·东北三省三校联考)已知复数 z=- + i,则 z +|z|=( 2 2 1 3 A.- - i 2 2 1 3 C. + i 2 2 [答案] D 1 3 1 3 [解析] 因为 z=- + i,所以 z +|z|=- - i+ 2 2 2 2 3 i. 2 5.若 θ ∈? 的点在( ) B.第二象限 D.第四象限 1 3 B.- + i 2 2 1 3 D. - i 2 2

)

1 2 3 2 1 ?- ? +? ? = - 2 2 2

?3π ,5π ?,则复数(cosθ +sinθ )+(sinθ -cosθ )i 在复平面内所对应 4 ? ? 4 ?

A.第一象限 C.第三象限 [答案] B [解析] θ ∈?

?3π ,5π ?时, ? 4 ? ? 4

sinθ +cosθ <0,sinθ -cosθ >0, 故对应点(cosθ +sinθ ,sinθ -cosθ )在第二象限. [点评] 由于 θ ∈?

?3π ,5π ?时,据选项知,此复数对应点只能在某一象限,∴取 θ ? 4 ? ? 4
- (其中 i 为虚数单位),则 z 的

=π 检验知,对应点在第二象限. 6.(2015·石家庄市二模)已知复数 z 满足(1-i)z=i 虚部为( A. 1 2 ) 1 B.- 2 1 D.- i 2
2015

1 C. i 2 [答案] B [解析] ∵2015=4×503+3, ∴i
2015

=i =-i.

3

-i 1 1 ∴z= = - i. 1-i 2 2 1 ∴z 的虚部为- .故选 B. 2
2

- z - - - 7.设 z 的共轭复数为 z ,若 z+ z =4,z· z =8,则 等于(

z

)

A.i C.±1 [答案] D [ 解析 ]
?a=2, ? ? ?b=±2. ?

B.-i D.±i

? ?2a=4, - 设 z = a + bi(a , b ∈ R) ,则 z = a - bi ,由条件可得 ? 2 2 ?a +b =8. ?

解得

?z=2+2i, 因此?- ? z =2-2i,

?z=2-2i, 或?- ? z =2+2i.

- 2 z 2-2i 1-i ?1-i? -2i 所以 = = = = =-i, z 2+2i 1+i ?1+i??1-i? 2 或 - 2 z 2+2i 1+i ?1+i? 2i = = = = =i, z 2-2i 1-i ?1-i??1+i? 2

- z 所以 =±i.

z

8.若关于 x 的方程 x +(1+2i)x+3m+i=0 有实根,则实数 m 等于( A. 1 12 1 B. i 12 1 D.- i 12

2

)

1 C.- 12 [答案] A

[解析] 设方程的实数根为 x=a(a 为实数), 则 a +(1+2i)·a+3m+i=0, 1 ? ?a=-2, ∴? 1 m= . ? ? 12
2

∴?

?a +a+3m=0, ? ?2a+1=0, ?

2

故选 A.

9.已知复数 z=(x-2)+yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为 3,则 的最大值 是( A. ) 3 2 B. 3 3

y x

3

C.

1 2

D. 3

[答案] D [解析] 因为|(x-2)+yi|= 3,所以(x-2) +y =3,所以点(x,
2 2

y)在以 C(2,0)为圆心, 以 3为半径的圆上, 如图, 由平面几何知识知- 3
≤ ≤ 3. 10. (2014·河北衡水中学模拟)设 a∈R, i 是虚数单位, 则“a=1”是“ 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A 1+i ?1+i? [解析] 当 a=1 时, = =i 为纯虚数. 1-i 2 当
2

y x

a+ i 为纯虚数” a- i

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a+i ?a+i?2 a2-1+2ai = 2 = 为纯虚数时, a-i a +1 a2+1

a2=1 即 a=±1,故选 A.
11.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若复数 ∈R,则实数 x 的值为( A.-6 C. 8 3 ) B.6 8 D.- 3

a b

[答案] C [解析]

a 3+2i ?3+2i??4-xi? 12+2x ? 8-3x ? 8-3x = = = 2?·i∈R,∴ 2 2 +? 2=0,∴ b 4+xi 16+x 16+x ?16+x ? 16+x

x= .
12.设 z=(2t +5t-3)+(t +2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( A.z 对应的点在第一象限 B.z 一定不为纯虚数 C. z 对应的点在实轴的下方 D.z 一定为实数 [答案] C [解析] ∵t +2t+2=(t+1) +1>0,
4
2 2 2 2

8 3

)

∴z 对应的点在实轴的上方. 又∵z 与 z 对应的点关于实轴对称. ∴C 项正确. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13 .(2015·重庆理, 11) 设复数 a + bi(a , b ∈ R) 的模为 3 ,则 (a + bi)(a - bi) = ________. [答案] 3 [解析] 由题易得 a +b = 3,故 a +b =3;(a+bi)(a-bi)=a +b =3. 1 1 2014 14.已知 x+ =-1,则 x + 2014的值为________________.
2 2 2 2 2 2

x

x

[答案] -1 1 2 [解析] ∵x+ =-1,∴x +x+1=0.

x

1 3 3 ∴x=- ± i,∴x =1. 2 2 ∵2014=3×671+1,∴x ∴x
2014 2014

=x,



1

x2014

1 =x+ =-1.

x

15 .已知复数 z1 = cosα + isinα , z2 = cosβ + isinβ ,则复数 z1·z2 的实部是 _____________ [答案] cos(α +β ) [解析] z1·z2=(cosα +isinα )(cosβ +isinβ ) cosα cosβ -sinα sinβ +(cosα sinβ +sinα cosβ )i =cos(α +β )+sin(α +β )i 故 z1·z2 的实部为 cos(α +β ). 16.设 θ ∈[0,2π ],当 θ =________________时,z=1+sinθ +i(cosθ -sinθ ) 是实数. [答案] π 5 或 π 4 4

[解析] 本题主要考查复数的概念.z 为实数,则 cosθ =sinθ ,即 tanθ =1.因为 θ ∈[0,2π ], π 5 所以 θ = 或 π . 4 4 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)(2015·长春外国语学校高二期中)设复数 z=lg(m -2m-2)+(m
2 2

5

+3m+2)i(m∈R),试求 m 取何值时 (1)z 是实数. (2)z 是纯虚数. (3)z 对应的点位于复平面的第一象限. [解析] (1)由 m +3m+2=0 且 m -2m-2>0, 解得 m=-1, 或 m=-2, 复数表示实数. (2)当实部等于零且虚部不等于零时,复数表示纯虚数. 由 lg(m -2m-2)=0,且 m +3m+2≠0, 求得 m=3,故当 m=3 时,复数 z 为纯虚数. (3)由 lg(m -2m-2)>0,且 m +3m+2>0,解得 m<-2,或 m>3,故当 m<-2,或 m>3 时, 复数 z 对应的点位于复平面的第一象限. 18. (本题满分 12 分)(2014·洛阳市高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第 - 四象限,|z|=1,且 z+ z =1,求 z; 5m (2)已知复数 z= -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值. 1-2i [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R),
? ?a +b =1, 由题意得? ?2a=1. ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 解得 a= ,b=± . 2 2 3 . 2

∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,∴b=- 1 3 ∴z= - i. 2 2

5m 2 2 2 (2)z= -(1+5i)m-3(2+i)=(m -m-6)+(2m -5m-3)i,依题意,m -m-6= 1-2i 0,解得 m=3 或-2. ∵2m -5m-3≠0.∴m≠3.∴m=-2. 1 2 19.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z +2z+ <0,求 z.
2

2

z

[解析] 设 z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x +y =1. 1 1 2 2 则 z +2z+ =(x+yi) +2(x+yi)+ z x+yi =(x -y +3x)+y(2x+1)i. 1 2 ∵y≠0,z +2z+ <0,
2 2

2

2

z

?2x+1=0, ① ? ∴? 2 2 ? ?x -y +3x<0, ②

6

又 x +y =1. 1 x=- , ? ? 2 由①②③得 ? 3 ? ?y=± 2 .

2

2



1 3 ∴z=- ± i. 2 2

1 20.(本题满分 12 分)设 z=log2(1+m)+ilog (3-m)(m∈R). 2 (1)若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x-y-1=0 上,求 m 的值. [解析] (1)由已知,得 log2?1+m?<0, ? ? ? 1 log ?3-m?<0, ? ? 2 解①得-1<m<0. 解②得 m<2. 故不等式组的解集为{x|-1<m<0}, 因此 m 的取值范围是{x|-1<m<0}. 1 (2)由已知得,点(log2(1+m),log (3-m))在直线 x-y-1=0 上, 2 1 即 log2(1+m)-log (3-m)-1=0, 2 整理得 log2[(1+m)(3-m)]=1. 从而(1+m)(3-m)=2,即 m -2m-1=0, 解得 m=1± 2,且当 m=1± 2时都能使 1+m>0,且 3-m>0.故 m=1± 2. 5 21.(本题满分 12 分)满足 z+ 是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否
2

① ②

z

存在?若存在,求出虚数 z,若不存在,请说明理由. [解析] 存在. 设虚数 z=x+yi(x、y∈R,且 y≠0). 5y ? 5 5 5x ? z+ =x+yi+ =x+ 2 +?y- 2 2?i. z x+yi x +y2 ? x +y ? 5y ? ?y- 2 2=0, 由已知得? x +y ? ?x+3=-y. ∵y≠0,∴?
?x +y =5, ? ? ?x+y=-3.
2 2

解得?

?x=-1, ? ? ?y=-2,

或?

?x=-2, ? ? ?y=-1. 7

∴存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件. 22.(本题满分 14 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、4、 5、6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率;

a-b+2≥0, ? ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4, ? ?b≥0.

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位), z-3i 为实数, 则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实 数,则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1、2、3、4、5、6,故 b=3 的概率为 . 6 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为 . 6 (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果. 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界). 由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、 (3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P= = . 36 2

8


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