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2江苏省南通市2015届高三第二次调研测试数学试题


南通市 2015 届高三第二次调研测试 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 命题“ ?x ? R , 2 x ? 0 ”的否定是“ ” . . . I ← 1 While I < 7 S ← 2I+1 I ← I+2 End While Print S

(第 4 题)

2. 设 1 ? i ? a ? bi ( i 为虚数单位, a , b ? R ),则 ab 的值为 1? i

1, 3. 设集合 A ? ?1, 0, 3 , B ? x x2 ≥1 ,则 A 2
4. 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为 .

?

?

?

?

B?

5. 一种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量(单位:t/hm2) 如下:9.8,9.9,10.1,10,10.2,则该组数据的方差为 .

6. 若函数 f ( x) ? 2sin ? x ? π (? ? 0) 的图象与 x 轴相邻两个交点间的距离为 2,则实数 ? 的值为 3 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线与直线
ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为

?

?





8. 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 3 cm, AD ? 2 cm, AA1 ? 1 cm,则三棱锥 B1 ? ABD1 的体积为 cm3. A1 A D1 C1

9. 已知等差数列 ?an ? 的首项为 4,公差为 2,前 n 项和为 Sn . 若 Sk ? ak ?5 ? 44 ( k ? N ),则 k 的值为
?


D

B1


C


B




(第 8 题)



10.设 f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R )是 R 上的单调增函数,则 m 的值为 11.在平行四边形 ABCD 中, AC ? AD ? AC ? BD ? 3 ,则线段 AC 的长为 12.如图,在△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ? 4 ,点 D 在边 BC 上, .





A

?BAD ? 45°,则 tan ?CAD 的值为



B

D
(第 12 题)

C

13.设 x , y , z 均为大于 1 的实数,且 z 为 x 和 y 的等比中项,则 最小值为 .

lg z lg z 的 ? 4lg x lg y

14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 ,圆 C2 : ( x ? 17)2 ? ( y ? 30)2 ? r 2 . 若圆 C2 上存在一点 P ,使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A , B ,满足 PA ? 2AB , 则半径 r 的取值范围是 .

-1-

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 ....... 算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中,平面 BAD ? 平面 CAD , ?BAD ? 90°. M , N , Q 分别为棱 AD ,

BD , AC 的中点.
(1)求证: CD // 平面 MNQ ; (2)求证:平面 MNQ ? 平面 CAD . N B
(第 15 题)

A M D

Q

C

16. (本小题满分 14 分) 体育测试成绩分为四个等级:优、良、中、不及格.某班 50 名学生参加测试的结果如下: 等级 人数 优 5 良 19 中 23 不及格 3

(1)从该班任意抽取 1 名学生,求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率; (2)测试成绩为“优”的 3 名男生记为 a1 , a 2 , a3 ,2 名女生记为 b1 , b2 .现从这 5 人中 任选 2 人参加学校的某项体育比赛. ① 写出所有等可能的基本事件; ② 求参赛学生中恰有 1 名女生的概率.

-2-

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a ? (1,0), b ? (0,2).设向量 x ? a ? ( 1 ? cos ? ) b ,
y ? ? ka ? 1 b ,其中 0 ? ? ? π . sin ?

(1)若 k ? 4 , ? ? π ,求 x ? y 的值; 6 (2)若 x // y,求实数 k 的最大值,并求取最大值时 ? 的值.

18. (本小题满分 16 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,右焦点为 a b

F (c , 0) . P( x0 ,y0 ) 为椭圆上一点,且 PA ? PF .

y P

(1)若 a ? 3 , b ? 5 ,求 x0 的值; (2)若 x0 ? 0 ,求椭圆的离心率; (3)求证:以 F 为圆心, FP 为半径的圆与椭圆的右准线 x ? a 相切. c
(第 18 题)
2

A

O

F

x

-3-

19. (本小题满分 16 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a ? a . (1)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值;
3] , f ( x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)若对任意的 x ? [2,

(3)当 a ? 4 时,求函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 零点的个数.

20. (本小题满分 16 分) 设 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列.记 cn ? an ? bn . (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n 2 ,?, nk ? ( k≥4 , k ? N? ),使得数列

cn1 , cn2 ,?, cnk 为等差数列?证明你的结论.

-4-

南通市 2015 届高三第二次调研测试 数学Ⅱ (附加题)
A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,从圆 O 外一点 P 引圆的切线 PC 及割线 PAB , C 为切点. 求证: AP ? BC ? AC ? CP . B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?2? ? a 2? 设 ? ? 是矩阵 M ? ? ? 的一个特征向量,求实数 a 的值. ?3? ? 3 2?

C

O B

P A

(第 21 - A 题)

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,设直线 ? ? π 与曲线 ? 2 ? 10? cos? ? 4 ? 0 相交于 A , B 两点,求线段 AB 中点 3 的极坐标.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设实数 a , b , c 满足 a ? 2b ? 3c ? 4 ,求证: a 2 ? b2 ? c2 ≥ 8 . 7
-5-

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(8 ,? 4) , P (2 ,t ) (t ? 0) 在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上. (1)求 p , t 的值; (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B ,点 C 在直线

AM 上.若 PA , PB , PC 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,且 k1 ? k2 ? 2k3 ,求点 C 的坐标.

y C O B

M x P A

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设 A,B 均为非空集合,且 A B ? ? ,A B?

? 1,2 ,3 ,?, n ? ( n≥ 3, n ? N? ).记 A,

B 中元素的个数分别为 a,b,所有满足“a ? B,且 b ? A ”的集合对(A,B)的个数为 a n . (1)求 a3,a4 的值; (2)求 a n .

-6-

南通市 2015 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题 1. ?x ? R , 2 x ≤0 8. 1 二、解答题 15.证明: (1)因为 M , Q 分别为棱 AD , AC 的中点, 所以 MQ // CD , ?? 2 分 A M D N B
(第 15 题)

2. 0 10. 6

3.

3? ??1 ,
3

4. 11 12. 8 ? 15 7

5. 0.02 13. 9 8

6. π 2

7. ?e

9. 7

11.

14. ?5 , 55?

又 CD ? 平面 MNQ , MQ ? 平面 MNQ , 故 CD // 平面 MNQ . ?? 6 分

Q

(2)因为 M , N 分别为棱 AD , BD 的中点,所以 MN // AB , 又 ?BAD ? 90 °,故 MN ? AD . 因为平面 BAD ? 平面 CAD ,平面 BAD 所以 MN ? 平面 ACD . 又 MN ? 平面 MNQ , 平面 MNQ ? 平面 CAD .

C ?? 8 分

平面 CAD ? AD , 且 MN ? 平面 ABD , ?? 11 分

?? 14 分

(注: 若使用真命题 “如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面” 证明 “ MN ? 平面 ACD ” ,扣 1 分. )

16.解: (1)记“测试成绩为良或中”为事件 A , “测试成绩为良”为事件 A1 , “测试成绩为中” 为事件 A2 ,事件 A1 , A2 是互斥的. 由已知,有 P( A1 ) ? 19 ,P( A2 ) ? 23 . 50 50 因为当事件 A1 , A2 之一发生时,事件 A 发生, 所以由互斥事件的概率公式,得
P( A) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 19 ? 23 ? 21 . 50 50 25

?? 2 分 ?? 4 分

?? 6 分

(2)① 有 10 个基本事件: (a1,a2 ) , (a1,a3 ) , (a1,b1 ) , (a1,b2 ) , (a2,a3 ) , (a2,b1 ) ,
(a2,b2 ) , (a3,b1 ) , (a3,b2 ) , (b1,b2 ) .
-7-

?? 9 分

② 记“参赛学生中恰好有 1 名女生”为事件 B .在上述等可能的 10 个基本事件中, 事件 B 包含了 (a1,b1 ) , (a1,b2 ) , (a2,b1 ) , (a2,b2 ) , (a3,b1 ) , (a3,b2 ) . 故所求的概率为 P( B) ? 6 ? 3 . 10 5 答: (1)这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为 21 ; 25 (2)参赛学生中恰有 1 名女生的概率为 3 . 5 ??14 分

(注:不指明互斥事件扣 1 分;不记事件扣 1 分,不重复扣分;不答扣 1 分.事件 B 包含的 6 种基本事件不 枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分. )

17.

解: (1) (方法 1)当 k ? 4 , ? ? π 时, x ? 1 ,2 ? 3 , y ? ( ?4 ,4 ), 6 则 x ? y ? 1 ? (?4) ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 3 . (方法 2)依题意, a ? b ? 0 ,
? ? 则 x ? y ? ?a ? 1 ? 3 b ? ? ? ?4a ? 2b ? ? ?4a 2 ? 2 ? 1 ? 3 b 2 2 2 ? ?

?

?

?? 2 分 ?? 6 分 ?? 2 分

?

?

?

?

?

?

? ? 4 ?2 ? 1 ?3 2

?

?
?

? 4 ? 4 ? 4 . 3

?? 6 分

2 ? 2cos? ? , y ? ?k , 2 , (2)依题意, x ? ?1, sin ?

?

因为 x // y, 所以 2 ? ? k (2 ? 2cos ? ) , sin ? 整理得, 1 ? sin ? ? cos ? ? 1? , k 令 f (? ) ? sin ? ? cos? ? 1? , 则 f ?(? ) ? cos? ? cos? ? 1? ? sin ? (? sin ? )
? 2 c o2s ?? c? o? s 1

?? 9 分

? ? 2cos? ? 1?? cos? ? 1? .

?? 11 分

令 f ?(? ) ? 0 ,得 cos ? ? ? 1 或 cos ? ? 1 , 2 又 0 ? ? ? π ,故 ? ? 2π . 3

列表:

?
f ?(? ) f (? )

?0,23π ?
?

2π 3

-8-

? 23π ,π ?
?


0 极小值 ? 3 3



故当 ? ? 2π 时, f (? )min ? ? 3 3 ,此时实数 k 取最大值 ? 4 3 . 3 4 9

?? 14 分

(注:第(2)小问中,得到 x ? ?1, ) 2 ? 2cos? ? , y ? ?k , 2 ,及 k 与 ? 的等式,各 1 分. sin ?

?

?

18.解: (1)因为 a ? 3 , b ? 5 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,即 c ? 2 , 由 PA ? PF 得, 又
2 x0 y2 ? 0 ?1, 9 5

y0 y 2 2 ? ? x0 ? x0 ? 6 , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? 3 x0 ? 2

?? 3 分

2 所以 4x0 ? 9 x0 ? 9 ? 0 ,解得 x0 ? 3 或 x0 ? ?3 (舍去) . 4

?? 5 分

(2)当 x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 , 由 PA ? PF 得,

y0 y0 ? ? ?1 ,即 b 2 ? ac ,故 a 2 ? c 2 ? ac , a ?c

?? 8 分 ?? 10 分

所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 (负值已舍) . 2
2 2 x2 y2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,① c c a b

由 PA ? PF 得,

y0 y 2 2 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? a x0 ? c



? a ? b 2 ? ac ? ? ? ? 0, 由①②得, ( x0 ? a) ? x0 ? c2 ? ? ? ?

解得 x0 ? ? 所以 PF ?

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? c2

或 x0 ? ?a (舍去).

?? 13 分

? x0 ? c ?

2

2 ? y0 ?

? x0 ? c ?

2

2 ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca ? a ? c x0 a

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ?a? c ? ? ? c, a c c2

所以以 F 为圆心, FP 为半径的圆与右准线 x ? a 相切. c

2

?? 16 分

2 2 (注:第(2)小问中,得到椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,得 1 分;直接使用焦半 c c

径公式扣 1 分. )
-9-

19.解: (1)若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) , 令 x ? 0 得, f (0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 , 所以 a ? 0 ,此时 f ( x) ? x x 为奇函数.
3] , f ( x)≥0 恒成立,所以 f ( x)min ≥0 . (2)因为对任意的 x ? [2,

?? 4 分

3] , f ( x) ? x x ? a ? a≥0 恒成立,所以 a≤0 ; ?? 6 分 当 a≤0 时,对任意的 x ? [2,
2 ? x ? a, ?? x ? ax ? a, 当 a ? 0 时,易得 f ( x) ? ? 2 在 ??,a ? 上是单调增函数,在 ? a , a? 上 ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? x ? ax ? a, x≥a

?

是单调减函数,在 ? a, ? ? ? 上是单调增函数, 当 0 ? a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 2(2 ? a) ? a≥0 ,解得 a≤ 4 ,所以 a≤ 4 ; 3 3 当 2≤ a≤3 时, f ( x)min ? f (a) ? ?a≥0 ,解得 a≤0 ,所以 a 不存在; 当 a ? 3 时, f ( x)min ? min ? f (2) ,f (3)? = min ?2(a ? 2) ? a , 3(a ? 3) ? a?≥0 ,解得 a≥ 9 , 2 所以 a≥ 9 ; 2 综上得, a≤ 4 或 a≥ 9 . 2 3 (3)设 F ( x) ? f ? f (x) ? a ? , 令 t ? f ( x) ? a ? x x ? a 则 y ? f (t ) ? t t ? a ? a , a ? 4 , 第一步,令 f (t ) ? 0 ? t t ? a ? a , 所以,当 t ? a 时, t 2 ? at ? a ? 0 ,判别式 ? ? a(a ? 4) ? 0 ,
2 2 解得 t1 ? a ? a ? 4a , t2 ? a ? a ? 4a ; 2 2

?? 10 分

当 t≥a 时,由 f (t ) ? 0 得,即 t (t ? a) ? a ,
2 解得 t3 ? a ? a ? 4a ; 2

第二步,易得 0 ? t1 ? a ? t2 ? a ? t3 ,且 a ? a , 2 4 ① 若 x x ? a ? t1 ,其中 0 ? t1 ? a , 4 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 p( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
- 10 2

2

p(a) ? t1 ? 0 ,且 ?1 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 t 2 ? at ? t1 ? 0 有 2 个不同的实根;

当 x≥a 时, x2 ? ax ? t1 ? 0 ,记 q( x) ? x2 ? ax ? t1 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
q(a) ? ?t1 ? 0 ,且 ?2 ? a2 ? 4t1 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t1 ? 0 有 1 个实根,

从而方程 x x ? a ? t1 有 3 个不同的实根; ② 若 x x ? a ? t2 ,其中 0 ? t2 ? a , 4 由①知,方程 x x ? a ? t2 有 3 个不同的实根; ③ 若 x x ? a ? t3 , 当 x ? a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 r ( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
r (a) ? ?t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ? 0 ,所以方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根;
2

当 x≤a 时, x2 ? ax ? t3 ? 0 ,记 s( x) ? x2 ? ax ? t3 ,因为对称轴 x ? a ? a , 2
s(a) ? t3 ? 0 ,且 ?3 ? a2 ? 4t3 ,

a 2 ? 4t3 ? 0 ? a3 ? 4a 2 ? 16 ? 0 ,

?? 14 分

记 m(a) ? a3 ? 4a2 ? 16 ,则 m?(a) ? a(3a ? 8) ? 0 , 故 m(a) 为 (4,? ?) 上增函数,且 m(4) ? ?16 ? 0 , m(5) ? 9 ? 0 ,
5) , 所以 m(a) ? 0 有唯一解,不妨记为 a 0 ,且 a0 ? (4 ,

若 4 ? a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 0 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 1 个实根; 若 a ? a0 ,即 ?3 ? 0 ,方程 x2 ? ax ? t3 ? 0 有 2 个实根, 所以,当 4 ? a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 1 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 2 个实根; 当 a ? a0 时,方程 x x ? a ? t3 有 3 个实根. 综上,当 4 ? a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 7; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 8; 当 a ? a0 时,函数 y ? f ? f ( x) ? a ? 的零点个数为 9.
- 11 -

?? 16 分

(注:第(1)小问中,求得 a ? 0 后不验证 f ( x) 为奇函数,不扣分;第(2)小问中利用分离参数法参照参 考答案给分;第(3)小问中使用数形结合,但缺少代数过程的只给结果分. )

20.解: (1)证明:依题意, cn?1 ? cn ? d ? ? an?1 ? bn?1 ? ? ? an ? bn ? ? d
? ? an?1 ? an ? ? d ? ?bn?1 ? bn ?
? bn (q ? 1) ? 0 ,

?? 3 分

从而

cn?2 ? cn?1 ? d bn?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn?1 ? cn ? d bn (q ? 1)
?? 5 分

所以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是首项为 b1 (q ? 1) ,公比为 q 的等比数列.

(2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d , 9 ? d , 15 ? d , 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,
2

解得 d ? 3 ,从而 q ? 2 ,
?a ? b ? 4, 且? 1 1 ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,

?? 7 分

解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 .
?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , 法 2:依题意,得 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1
?d ? b1q ? b1 ? 6 , ? 消去 a1 ,得 ?d ? b1q 2 ? b1q ? 9 , ? 3 2 ?d ? b1q ? b1q ? 15 ,
2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1 ? 3 , 消去 d ,得 ? 3 2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1q ? 6 ,

?? 10 分

?? 7 分

消去 b1 ,得 q ? 2 , 从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 . ?? 10 分

② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) ,且 cl , cm ,

c p , c r 成等差数列,
则 2cm ? cp ? cl , 因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? cp , ①
- 12 -

若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
m?1 m?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , ② 3 因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , c r 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm?1 ? cm ? cm? 2 , 即 2 ? am?1 ? bm?1 ? ? am ? bm ? am? 2 ? bm? 2 , 故 2bm?1 ? bm ? bm? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A . ?? 16 分

(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在” ,就给 1 分. )

南通市 2015 届高三第二次调研测试 数学Ⅱ (附加题)
A.证明:因为 PC 为圆 O 的切线, 所以 ?PCA ? ?CBP , 又 ?CPA ? ?CPB , 故△ CAP ∽△ BCP , 所以 AC ? AP , BC PC 即 AP ? BC ? AC ? CP . ?? 10 分 ?? 7 分 B O P A ?? 3 分 C

(第 21 - A 题)

?2? B.解:设 ? ? 是矩阵 M 属于特征值 ? 的一个特征向量, ?3? ?a 2? ?2? 则? ? ? ??? ? 3 2? ?3? ?2? ?3? , ? ?

?? 5 分

? 2a ? 6 ? 2?, ?? = 4, 故? 解得 ? ?12 ? 3?, ? a ? 1.
- 13 -

?? 10 分

C. 解: (方法 1)将直线 ? ? π 化为普通方程得, y ? 3x , 3 将曲线 ? 2 ? 10? cos? ? 4 ? 0 化为普通方程得, x2 ? y 2 ? 10x ? 4 ? 0 , ?? 4 分

? ? y ? 3x , 联立 ? 并消去 y 得, 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 , 2 2 ? ? x ? y ? 10 x ? 4 ? 0
解得 x1 ? 1 , x2 ? 2 , 2 所以 AB 中点的横坐标为 化为极坐标为 5 ,π . 2 3
?? ? π , ? 3 (方法 2)联立直线 l 与曲线 C 的方程组 ? 2 ? ? ? 10 ? cos? ? 4 ? 0 , ?

x1 ? x2 5 ? ,纵坐标为 5 3 , 2 2 4

?? 8 分 ?? 10 分

? ?

?? 2 分

消去 ? ,得 ? 2 ? 5? ? 4 ? 0 , 解得 ?1 ? 1 , ?2 ? 4 , ?? 6 分
1 2

? π , ? ,即 ? 5 ,π ? . ?? ? 2 3 2 3 (注:将线段 AB 中点的极坐标写成 ? 5 ,π ? 2kπ ? (k ? Z) 的不扣分. ) 2 3
所以线段 AB 中点的极坐标为

?? 10 分

D.证明:由柯西不等式,得 a2 ? b2 ? c2 12 ? 22 ? 32 ≥ ? a ? 2b ? 3c ? ,
2

?

??

?

?? 6 分

因为 a ? 2b ? 3c ? 4 , 故 a 2 ? b 2 ? c 2≥ 8 , 7 当且仅当 a ? b ? c ,即 a ? 2 , b ? 4 , c ? 6 时取“ ? ” . 1 2 3 7 7 7 ?? 8 分 ?? 10 分

22.解: (1)将点 A(8 ,? 4) 代入 y 2 ? 2 px , 得 p ?1, 将点 P (2 ,t ) 代入 y 2 ? 2 x ,得 t ? ? 2 , 因为 t ? 0 ,所以 t ? ? 2 .
0) , (2)依题意, M 的坐标为 (2 ,
(第 22 题) - 14 -

?? 2 分

y C B

?? 4 分

O

M x P A

直线 AM 的方程为 y ? ? 2 x ? 4 , 3 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 并解得 B 1 , 联立 ? 1 , 2 2 ? y ? 2 x ?

? ?

?? 6 分

所以 k1 ? ? 1 , k2 ? ?2 , 3 代入 k1 ? k2 ? 2k3 得, k3 ? ? 7 , 6 从而直线 PC 的方程为 y ? ? 7 x ? 1 , 6 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 联立 ? 并解得 C ?2 ,8 . 3 7 1 ?y ? ? x ? 6 3 ?

?? 8 分

?

?

?? 10 分

23.解: (1)当 n ? 3 时,A

B ? {1,2,3},且 A

B?? ,

0 若 a ? 1,b ? 2,则 1 ? B ,2 ? A ,共 C1 种;

若 a ? 2,b ? 1,则 2 ? B ,1 ? A ,共 C1 1 种,
0 所以 a3 ? C1 + C1 1 ?2;

?? 2 分 B?? ,

当 n ? 4 时,A

B ? {1,2,3,4},且 A

若 a ? 1,b ? 3,则 1 ? B ,3 ? A ,共 C0 2 种; 若 a ? 2,b ? 2,则 2 ? B ,2 ? A ,这与 A B ? ? 矛盾;

若 a ? 3,b ? 1,则 3 ? B ,1 ? A ,共 C2 2 种,
2 所以 a4 ? C0 2 + C2 ? 2 .

?? 4 分 B?? ,

(2)当 n 为偶数时,A

B ? {1,2,3,?,n},且 A

若 a ? 1,b ? n ? 1 ,则 1 ? B , n ? 1 ? A ,共 C0 n ? 2 (考虑 A )种; 若 a ? 2,b ? n ? 2 ,则 2 ? B , n ? 2 ? A ,共 C1 n ? 2 (考虑 A )种; ??
?2 2 若 a ? n ? 1 ,b ? n ? 1 ,则 n ? 1 ? B , n ? 1 ? A ,共 Cn ? 2 (考虑 A )种; 2 2 2 2 n

若 a ? n ,b ? n ,则 n ? B , n ? A ,这与 A 2 2 2 2

B ? ? 矛盾;
n

2 若 a ? n ? 1 ,b ? n ? 1 ,则 n ? 1 ? B , n ? 1 ? A ,共 C n ? 2 (考虑 A )种; 2 2 2 2

??
- 15 -

?2 若 a ? n ? 1 ,b ? 1 ,则 n ? 1 ? B ,1 ? A ,共(考虑 A ) Cn n ? 2 种,
n ?2

n?2 n?2 1 2 2 2 Cn ? Cn 所以 an ? C0 ? 2 ? C n ? 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 2 ?2 ; n ? 2 ? Cn ? 2 ? ? ?

n

n ?1

?? 8 分

1 n?2 n?2 当 n 为奇数时,同理得,an ? C0 , n ? 2 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 2
n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? C n ? 2,n为偶数, 综上得, an ? ? n?2 ? n为奇数. ?2 ,

?? 10 分

- 16 -


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