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高中数学二轮复习 数列


高中数学二轮复习—— 数 列
一、知识点再回顾
1.等差数列{an}中: ①an=a1+(n-1)d;②an=am+(n-m)d;③d= an-am ; n-m

n?n-1? n?a1+an? ④若 m+n=p+q=2t,则 am+an=ap+aq=2at;⑤Sn=na1+ 2 d= ; 2 ⑥Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-

S3n,……组成等差数列,新公差为 d ' ? n 2 d
⑦n为奇数时,Sn ? na中 ; S奇 = n ?1 n ?1 a中 , S偶 ? a , S ? S偶 ? a中. 2 2 中 奇

⑧n为偶数时,S偶 ? S奇 ?

nd . 2

?S ? ⑨ ? n ? 为等差数列. ?n?

⑩单调性:d ? 0为递增数列,d ? 0为递减数列 d ? 0为常数列

2.等比数列{an}中: ①an=a1qn-1;②an=am· qn - m;③若 m+n=p+q=2t,则 am· an=ap· aq=a2 t;

?na1, n ?q=1? ④Sn=?a1?1-q ? a1-an 1 ? 1-q = 1-q ,?q≠1?


(要注意 q)

?a ? 0, ?a1 ? 0 ?a ? 0, ?a1 ? 0 ⑤ 单调性: 当? 1 或? 时, 为递增数列; 当? 1 , 或? 时, 为递减数列; 当q ? 0 ?0 ? q ? 1 ?q ? 1 ?q ? 1, ?0 ? q ? 1
时,为摆动数列;当 q ? 1 时,为常数列. ?n=1? ?S1, 3.an 与 Sn 的关系式:an=? ?Sn-Sn-1, ?n≥2? 4、等差数列的判定方法主要有以下几种: (1) an?1 ? an ? d (n ? 2, d为常数) ? ?an ?是等差数列 (2)2an=an-1+an+1(n≥2) ? {an}是等差数列. (3)an=kn+b(k,b 为常数) ? {an}是等差数列. (4)Sn=An2+Bn(A,B 为常数) ? {an}是等差数列. 5、等比数列的判定方法主要有以下几种 (1)利用定义
an ?1 = 常数. an

(2)利用等比中项: an2 =an?1an?1 (n ? 2且n ? N ? )

(3)an=kqn(k,q 是不为 0 的常数) ? {an}是等比数列. (4)Sn=A-Aqn( A ?
a1 是不为 0 的常数, q ? 0, q ? 1 ) ? {an}是等比数列. 1? q

6.求数列通项公式的常用方法 公式法、利用 an ?

?

S1 ( n?1)

Sn ? Sn?1 ( n? 2) 、累加法、累乘法.构造等比

an?1 ? pan ? q 、迭代法……

7.求数列前 n 项和的常用方法
(1)错位相减法 (2)倒序相加法 (3)裂项相消发

(4)分组求和法

二、考点分析
考点一:等差等比数列的性质及运算
例 1、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. 例 2、设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k= 例 3、若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 例 4、各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于

考点二:由递推关系求数列通项
1.对 Sn 求 an 或 Tn=a1· a2· a3…an 求 an 一定要注意分 n=1、n≥2 两步. 2.对于由数列的递推公式求数列通项 an 的问题,一般有以下几种模型: (1)递推模型 an+1=can+d,可以通过待定系数法(an+1+λ)=c(an+λ),化为等比数列; (2)递推模型 an+1=an+f(n)与 an+1=f(n)· an,可以分别通过叠加、叠乘方法求得通项. (3)递推模型 an ?1 ?

an 1 1 ,可以通过取倒数 ? c ? ,化为等差数列; c ? an ? 1 an?1 an
n

例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 3 -2,求通项公式 an 例 2、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ?1, 求an . 例 3、已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1, an ?1 ?

n an , 求通项an n ?1

考点三:数列求和
例 1、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. an 1)求数列{an}的通项公式;2)求数列{ n-1}的前 n 项和. 2 例 2、等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. 1 1)求数列{an}的通项公式;2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和?

bn

练习题
一、选择题 1、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8

S5 ? S2

(D) ?11

2、如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

3、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

4、设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

5、如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 6、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 =4,函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f ' ? 0? ? ( ) A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

7、lim ?1 ? x ?? A.

5 3

? ?

1 1 1? ? 2 ? ? ? n ? ?( ) 3 3 3 ? 3 B. C. 2 2

D. 不存在

2 8、设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为

(A) 15

(B) 16

(C)

49

(D)64

9、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 (A)5 (B)6 (C)8 (D)10

10、设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (B)-8 (C)5

S5 ? S2

(D)11

11、在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

12、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12

13、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,则 lim

an ? n ?? S n

(A)0

(B)

1 2

(C) 1

(D)2

14、已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ? ( A)

?1? ? 的前 5 项和为 a ? n?

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8
5 ,则 S5 = 4

15、已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 B.33 C.31 D.29

16、已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4a5a6 =

17、已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4a5a6 =

18、设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的 是( ) A、 X ? Z ? 2Y B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? C、 Y ? XZ
2

D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

19、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 二、填空题 1、设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? ) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? an xn ,将 ak (0 ? k ?n) 的最小值记为 Tn ,则
n n

B.7

C.8

D.9

1 2

1 3

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn =__________________ .

2、观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,…, 根据上述规律,第四个等式 为 .....
3、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ? 4、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 5、设{an}是等比数列,公比 q ?

.


an 的最小值为__________. n

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn ?

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最 an?1

大项,则 n0 =


?

6、若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,记这样的 m 的个数为 (an )? ,

? ? 则得到一个新数列 ( an ) .例如,若数列 ?an ? 是 1, 2,3…,n,… ,则数列 ( an ) 是 0,1, 2,…,n ? 1,… .已

?

?

?

?

知对任意的 n ? N , an ? n2 ,则 (a5 )? ?

?

, ((an )? )? ?

. .

7、在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ?

8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5= 三、问答题 1、已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 3

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

.

2、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

3、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

1’ a2 ? 2, an+2= 4、已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。

5、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

6、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

7、在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

8、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n ?1

an ?

n * ,a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

9、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n .

(Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

10、已知各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且 6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N *

(1)求{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 an (2bn ? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:

3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3), n ? N *

1) an ? 11、设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… . 2

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn?1 ,其中 n 为正整数.

12、数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1?

(1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b 2 ,a 3 ?b 3 成等比数列, 求 Tn

参考答案
一、选择题
1.解析:解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,代入所求式可知 答案选 D。 2.解析: a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 3.解析:两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

a4 ? 4. a3

2 4 4. 【解析】 由 a2a4=1 可得 a1 因此 a1 ? q ?1,

1 1 1 , 又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7 , 联力两式有 ( ? 3)( ? 2) ? 0 , 2 q q q

所以 q=

1 ,所以 S5 ? 2

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 2 5.∵ 3
6、 【 解 析 】 考 虑 到 求 导 中 , 含 有 x 项 均 取 0 , 则 f ' ? 0? 只 与 函 数 f ? x ? 的 一 次 项 有 关 ; 得 :

a1 ? a2 ? a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? 212 。
1 1? n 3 )? 3 7.【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim ( n ??? 1 2 1? 3
8.【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 9.解析:由角标性质得 a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5 10.解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,带入所求式可知答案选 A。 11.解析:

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

12.答案:C 13.解析:由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn?2 ? 2Sn?1 ? a1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ?




作差得 an+2=2an+1

a2=2a1. 故{an}是公比为 2 的等比数列

Sn=a1+2a1+22a1+……+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim

an 2n?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1

14.显然 q ? 1,所以

1 1 9(1 ? q3 ) 1-q6 = ? 1 ? q3 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的等比数列, 前 5 2 an 1-q 1? q

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 项和 T5 ? 1 16 1? 2
15.C.设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知, a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由 a4 与 2 a7 的等差中 项为
3

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 ? 2a7 ? 2 ? ,即 a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 4 4 2 4 2 4 4 1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

∴q ?

3 3 16. 【 解 析 】 由等比数列的性质知 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ? 5 , a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10, 所以
1

3 a2 a8 ? 50 3 ,所以 a4 a5a6 ? (a4 a6 )? a5 ? a5 ? ( a2 a8 )3 ? (50 6 )3 ? 5 2

1

17.

18.【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选项, 剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. 19.【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小值。 2

二、填空题
2.解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1 到 i+1 和的完全平方 3 3 3 3 3 2 2 所以第四个等式 为 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) (或 15 ). .....
3.解析:填 15.

3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ?3 ? ?a1 ? ?1 ? 2 ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?

4.【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n ,所以 设 f ( n) ?

33 ?33 ? n ? 1 ,令 f (n) ? 2 ? 1 ? 0 ,则 f (n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增,在 (0, 33) 上是递减的, n n a a a 53 a6 63 21 21 ? 因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为 5 ? , ? , 所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 6 6 2 6 2 n
5.【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用。

an 33 ? ? n ?1 n n

17a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2)2 n ] ? 1 16 1 ( 2)2 n ? 17( 2)n ? 16 1 ? 2 1? 2 ? ? [( 2)n ? ? 17] 因 Tn ? ? ? n n 1? 2 ( 2)n a1 ( 2) 1? 2 ( 2)
为 ( 2) ?
n

16 ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 n ( 2)

6.

7.【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



8.【解析】在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?

ak , 2

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2 三、问答题
所以 ak ?1 ?
四、

1.解: (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

2 1 2 ? ? , a3 ? ? f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 3? ? c ? ?? f ? 2? ? c? ?? . ? ? ? ? ? ? ? ? 9 3 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ; 2

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1 ? n 1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ?1 1 ? 1 ? 1 ?1 1? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 2? 3? 2 n?2 n 1? 2 1 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 3 ?5 ?2 5 ? 7 ? 2 ?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009 an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) 2 n ?1

2.解: (I)由已知有

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?
n n

n n n n k k , = S (2 k ? ) ? (2 k ) ? ? ? ? ? n n ?1 k ?1 k ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

3.解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 a 1 3 ? n ? ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n ?1 n 2 4 2 2 4 2

?

an 1 3 ? ? (n ? 1 ) ? n 2 2 4

3 1 n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 4 4

4.解: (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2

当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n?2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? (? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
5.解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) .因此,所求通项公式为 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N .①
*

(Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,于是,当 n ≥ 2 时,
*

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
? ? 3 ?n?2 ? an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ? 2n ? 2 ?12? ? ? ? a ? 3? , ? ? ? ?2? ?

?3? 当 n ≥ 2 时, an?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

n?2

? a ? 3≥ 0 ? a ≥ ?9 .

综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, ? ?? . 6.解:由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn ,
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1


两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n

(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n
n n n n ?1 于是 an?1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2

?

?
n?1

n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ? 1? 2 当 b ? 2 时,由由①得 an ?1 ?

1 1 b 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ?

因此 an ?1 ?

1 1 ? ? 2 ?1 ? b ? n ?b ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? bn?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
7.解: (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得 an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 . 又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ) a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q ,……, an ? an?1 ? q2 , (n ? 2) . 将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ?? qn?2 ( n ? 2 ) .

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?
上式对 n ? 1 显然成立.

q ? 1, q ? 1.

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q5 ? q2 ? q2 ? q8 ,由 q ? 0 得 q3 ?1 ? 1 ? q6 ,
3 2 3 3 3



整理得 (q ) ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 或 q ? 1 (舍去) .于是 q ? ? 3 2 . 另一方面, an ? an?3 ?

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 ? (q ? 1) , 1? q 1? q q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q
*

an?6 ? an ?

由①可得 an ? an?3 ? an?6 ? an , n ? N . 所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

n n ?1 , a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 3 n n ?1 1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). an ? n (n ? 2 ) . 3 3 3 3 1 * 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N ). 3
8.解:(I) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3
2 n ?1

an ?

(II) bn ? n ? 3 , Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ...n ? 3
n 2 3

n

3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1
?2Sn ? 3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 , 1? 3

Sn ?

n n ?1 1 n ?1 3 ?3 ? ?3 ? ? 2 4 4 an ?1 a ? nn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1 , n 2 2 ?1

9.解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,

则 bn 为等差数列, b1 ? 1 , bn ? n , an ? n2n?1 . (2) S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1
10.(Ⅰ)解:由 a1 ? S1 ?

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1,因此 a1=2。 6 1 6

又由 an+1=Sn+1- Sn= (an?1 ? 1)(an?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) , 得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an=3n-2。 (Ⅱ)证法一:由 an (2 b ? 1) ? 1 可解得 b z ? log z ? ?1 ?
?
? 从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log z ? · ·?· 3 6 ?2 5 3n ? ?。 3n ? 1 ?

1 6

?

1 an

? 3n ? ? log z ; ? 3n ? 1 ?

因此 3Tn ? 1 ? log z (a n ? 3) ? log z ? · ·?·
?3 6 ?2 5
3

?3 6 ?2 5

3n ? 2 。 ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2
3

3

令 f ( x) ? ? · ·?·

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 3n ? 2 ,则 。 ? ·? ? · ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2

因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7>0 ,故 f (n ? 1)>f (n) . 特别的 f (n) ? f (1) ?
27 > 1 。从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 20

>log2 (a n ? 3) 。 即 3Tn ? 1

证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c>0 时,不等式 (1 ? c) 3> 1 ? 3c 成立。由此不等式有:
? 3Tn ? 1 ? log2 2?1 ? ?
3 ?? 1? ? 1? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ??1 ? ? >log2 2?1 ? ??1 ? 2 ?? 2? ? 5? 3 n ? 1 ? ? ?
3 3 3

3? ? 3 ? ? ? ?1 ? ? 5? ? 3n ? 1 ?

= log2 2· · ·? ·

5 8 2 4

3n ? 2 ? log2 (3n ? 2) ? log2 (an ? 3) 。 3n ? 1

证法三:同证法一求得 bn 及 Tn。 令 An= · ·?· 因
3 6 2 5 3n 3 7 3n ? 1 5 8 3n ? 2 ,Bn= · ·? ,Cn= · ·? 。 · · 3n 4 6 3n 4 7 3n ? 1

3n 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 2 3 ,因此 An 。 > > >An Bn Cn ? 3n ? 1 3n 3n ? 1 2
2 6 ?3 5 3n ? 3 ? ? log2 2 Ax > log2 2 An Bn C n ? log2 (3n ? 2) ? log2 (a n ? 3) 。 3n ? 1 ?
3

从而 3Tn ? 1 ? log2 2? · ? · ·?
11.解: (1)由 an ?

3 ? an ?1 1 ,n ? 2, 3, 4,…, 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2 2
n ?1

1 ? 1? 又 1 ? a1 ? 0 ,所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ? 的等比数列,得 an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? 2 ? 2?

(2)方法一:由(1)可知 0 ? an ?
2 2 那么, bn ?1 ? bn
2 2 ? an ?1 (3 ? 2 an ?1 ) ? an (3 ? 2 an )

3 ,故 bn ? 0 . 2

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
2 2 又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,因此

2

bn ? bn?1,n 为正整数.

3 ? an 3 方法二:由(1)可知 0 ? an ? ,an ? 1 ,因为 an ?1 ? , 2 2

所以 bn?1 ? an?1 3 ? 2an?1 ?

(3 ? an ) an . 2
3 2

? 3 ? an ? ? 3 ? an ? 2 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? ,即 an (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ? ? 2 ?
两边开平方得
an 3 ? 2an ? 3 ? an ? an . 2

即 bn ? bn?1,n 为正整数. 12.解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ? 1? n ? 2? ,两式相减得 an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故{an}是首项为 1,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n ?1 .

(2)设{bn}的公差为 d,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 ,故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ?5 ? d ?1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3?2 解得 d1 ? 2, d 2 ? 10 ∵等差数列{bn}的各项为正,∴ d ? 0 ,∴ d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? 2

? 2 ? n2 ? 2n


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