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江苏省扬中市第二高级中学2014-2015第二学期高一数学期末模拟考试卷


扬中市第二高级中学高一数学期末模拟考试卷
1.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? 0, ?1? , c ? ? k , ?2 ? ,若 a ? 2b ? c ,则实数 k ?

姓名

?

?

?

?

?

?

?

?

2.若 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104, ,则 a5 与 a 7 的等比中项为 3.在等比数列 ?an ? 中,已知 S6 ? 48, S12 ? 60, 则 S24 ? 4.在 ?ABC 中,若 S ?ABC ? 12 3, ac ? 48, c ? a ? 2 则 b ? 5.若 x ? m ? 1 ? x2 恰有一个实数根,则实数 m 的取值范围是 6.等比数列 ?an ? 中, a3 ? . 。 .



3 9 , S 3 ? ,那么公比 q ? . 2 2 7. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | ax2 ? bx ? c ? 0, a, b, c ? R, ac ? 0} ,

b2 a ? 的最小值是 a c2 ? x ? y ? 1 ? 0, 8. 已知 x , y 满足约束条件 ? 当目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 在该约束条件 ?2 x ? y ? 3 ? 0,
若 A ? B ? ?3,4?, A ? B ? R ,则
2 2 下取到最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为

9.正方形 ABCD 的中心为 (3,0) , AB 所在直线的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则正方形 ABCD 的外 接圆的方程为 .

10.已知两点 M (1,0), N (?3,0) 到直线 l 的距离分别为 1 和 3,则满足条件的直线 l 的条数是 .

a1 ? 11. 若数列 ?an ? 满足:
12. 下列几个命题: ① 不等式

1 n ?1 an ?1 ? an( n ? N * ) , , 则 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2n

. C

3 ? x ? 1 的解集为 {x | x ? ?2, 或x ? 2}; P x ?1 N 1 4 ② 已知 a , b 均为正数,且 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 9; a b A 13 2 2 2 2 M ③ 已知 m ? n ? 4, x ? y ? 9 ,则 mx ? ny 的最大值为 ; 2 (第 13 题) x y ④ 已知 x, y 均为正数,且 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值为 7;
其中正确命题的序号为 . 13.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,AC=BC=1,点 M,N 分别是 AB,BC 的中点,点 P ???? ???? 是△ABC(包括边界)内任一点.则 AN ? MP 的取值范围为 . 14.实数 a, b, c 成等差数列,过点 P(?3, 2) 作直线 ax ? by ? c ? 0 的垂线,垂足为 M .又已 知点 N (2,3) ,则线段 MN 长的取值范围是 15. 已知| a |=1,| b |= 3 , a + b =( 3 ,1) , (1)求| a – b |的值; (2)求向量 a + b 与向量 a – b 的夹角 y 1 O .

B

1

· 3

?1

(第 11 题)

16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a ? c ? 2b . (1)求证: B ?

?
2

; (2)当 AB ? BC ? ?2 , b ? 2 3 时,求 ?ABC 的面积.

??? ? ??? ?

17. 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1), B(3, 2), C (5, 4) . (1)求边 AB 上的高所在直线的方程; (2)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴 上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标轴围成的三角形的周长.

18. 如图, ABCD 是长方形海域,其中 AB ? 10 海里, AD ? 10 2 海里.现有一架飞机在 该 海域失 事,两 艘海事搜 救船在 A 处 同时 出发,沿 直线 AP 、 AQ 向 前联 合搜索, 且 (其中 P 、 Q 分别在边 BC 、 CD 上) ,搜索区域为平面四边形 APCQ 围成的海 4 Q D C 平面.设 ?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S . (1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 tan ? 的取值范围; (2)求 S 的最大值,并指出此时 ? 的值.

?PAQ ?

?

P A B

19.已知点 A 的坐标为 (0,8) ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 y 轴交于 B 点,P 为直线 l 上的动点. (1)求以 AB 为直径的圆 C 的标准方程; (2)圆 E 过 A、B 两点,截直线 l 得到的弦长为 6 5 , 求圆 E 的标准方程; (3)证明以 PA 为直径的动圆必过除 A 点外的另一定点,并求出该定点的 坐标.

20. 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 3 , anbn ? 2 , bn ?1 ? an (bn ?

2 ) , n ? N* . 1 ? an

1 (1) 求证: 数列 { } 是等差数列, 并求数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 设数列 ?cn ? 满足 cn ? 2an ? 5 , bn
对于任意给定的正整数 p , 是否存在正整数 q ,r ( p ? q ? r ), 使得 若存在,试用 p 表示 q , r ;若不存在,说明理由.

1 1 1 , , 成等差数列? c p cq cr

参考答案: 1. ;2. 8、 4 ;9. 14. ? 2,5 2 ? . 3.

255 1 3 ;4. 2 37或2 13 ;5. m ?[?1,1) ? 2 ;6.1, 或 ? ;7. ; 4 2 2 3 3 n 10. 3 ; 11. n ;12. ②④ ;13. [ ? , ] ; 4 4 2
2 2

? ?

?

?

15、解:(1)∵ a + b =( 3 ,1) ,∴| a + b |=2, ∴ a ? 2a ? b ? b ? 4 , ∵| a |=1,| b |= 3 ,∴ a ? b =0, ∴| a – b | 2= a ? 2a ? b ? b ? 4 , ∴| a – b |=2, (2)设 a + b 与 a – b 的夹角为 ? ( 0≤ ? ≤ ? ), ∴cos ? =
2 2

…………4 分 …………2 分 …………2 分 …………1 分 …………3 分

(a ? b)(a ? b)

| a ? b |?| a ? b | | a ? b |?| a ? b | 2? 2? ∵0≤ ? ≤ ? ,∴ ? = ∴ a + b 与 a – b 的夹角 。 …………2 分 3 3 1 1 2 2 2 (a ? c) 2 a 2 ? c 2 ? b 2 a ? c ? 2 (a ? c) 16.(1) (1)? cos B ? ? ?2 ? 0, 2ac 2ac 2ac ? B ? 900 (当且仅当 a ? c 时取得等号). ………………………………7 分 ??? ? ??? ? (2)? AB ? BC ? ?2 ,? ac cos B ? 2 ,
? b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? 12 ,? a 2 ? c 2 ? 16 ,………………11 分
又 a ? c ? 2b ? 2 6 ,? ac ? 4 ,? cos B ?

?

a ?b

2

2

?

1? 3 1 ?? 2?2 2

1 3 ,? sin B ? , 2 2

? S ?ABC ?

1 ac sin B ? 3 .………………………………………………14 分 2 1 17.解: (1)? k AB ? ,∴边 AB 上的高所在直线的斜率为 ?2 2

3分 7分

又∵直线过点 C (5, 4) ∴直线的方程为: y ? 4 ? ?2( x ? 5) ,即 2 x ? y ? 14 ? 0 (2)设直线 l 的方程为:

x y a 3 ? ? 1 ,即 y ? ? x?a ? k AC ? …10 分 a ?1 a a ?1 4 a 3 3 x y ?? ? , 解得: a ? ? ∴直线 l 的方程为: ? ? 1 …12 分 4 3 a ?1 4 7 ? 7 7
∴直线 l 过点 ( , 0), (0, ? ), 三角形斜边长为 ( ) ? ( ) ?
2 2

4 7

3 7

4 7

3 7

5 7
…14 分

∴直线 l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为 注:设直线斜截式求解也可.

5 4 3 12 ? ? ? . 7 7 7 7

18.解: (1)在 Rt ?APB 中, BP ? 10 tan ? , S ?ABP ? 在 Rt ?ADQ 中, DQ ? 10 2 tan(

?
4

1 ? 10 ? 10 tan ? ? 50 tan ? 2

? ?) ,

S?ADQ ?

1 ? ? ? 10 2 ? 10 2 tan( ? ? ) ? 100 tan( ? ? ) 2 4 4

∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 tan(

?

4

? ? ) ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?

5分

0 ? tan ? ? 1 ? ? 其中 ? ? 2 ,解得: 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 0 ? tan( ? ? ) ? ? ? 4 2
(注:观察图形的极端位置,计算出 tan ? 的范围也可得分. ) ∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ? (2)∵ tan ? ? 0 ,

1 ? tan ? , 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 1 ? tan ?

……8 分

S ? 100 2 ? 50(tan ? ? 2 ?

1 ? tan ? 4 ) ? 100 2 ? 50(tan ? ? 1 ? ? 3) 1 ? tan ? tan ? ? 1

? 100 2 ? 50(2 (tan ? ? 1) ?
当且仅当 tan ? ? 1 ? ∵ ? ? (0,

4 tan ? ? 1

? 3) ? 100 2 ? 50

…13 分

4 tan ? ? 1

时取等号,亦即 tan ? ? 1 时, Smax ? 100 2 ? 50

?
2

)

?? ?

?

4

答:当 ? ?

时, S 有最大值 100 2 ? 50 . …15 分 4 19.(1) x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ; (2) ( x ? 10) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 125 或( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50; (3)必过定点 ( 4,0) . 20. (1)因为 anbn ? 2 ,所以 an ?

?

2 , bn

4 2an bn 2bn 4 则 bn ?1 ? anbn ? , ………………………2 分 ? 2? ? 2? ? 2 1 ? an b ? 2 b ? 2 n n 1? bn 1 1 1 ? ? , 所以 bn ?1 bn 2
又 a1 ? 3 ,所以 b1 ? 即

?1? 2 3 1 ,故 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, 3 2 2 ? bn ?

……4 分

1 3 1 n?2 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,所以 bn ? . ………………………6 分 bn 2 2 2 n?2 (2)由(1)知 an ? n ? 2 ,所以 cn ? 2an ? 5 ? 2n ? 1 , ①当 p ? 1 时, c p ? c1 ? 1 , cq ? 2q ? 1 , cr ? 2r ? 1 ,


2 1 1 1 1 ?1? , , 成等差数列,则 (?) , 2q ? 1 2r ? 1 cr cp cq
2 1 ? 1 ,1 ? ?1 , 2q ? 1 2r ? 1 …………………………9 分

因为 p ? q ? r ,所以 q ≥ 2 , r ≥ 3 ,

所以( ? )不成立. 1 1 1 ②当 p ≥ 2 时,若 , , 成等差数列, cr cp cq 则

2 1 1 1 2 1 4 p ? 2 q ?1 ? ? ? ? ? ,所以 , 2q ? 1 2 p ? 1 2r ? 1 2r ? 1 2q ? 1 2 p ?1 (2 p ?1)(2 q ?1) (2 p ? 1)(2q ? 1) 2 pq ? p ? 2q ,所以 r ? , 4 p ? 2q ? 1 4 p ? 2q ? 1
2

即 2r ? 1 ?

………………………12 分 ………………14 分
2

欲满足题设条件,只需 q ? 2 p ? 1 ,此时 r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,

因为 p ≥ 2 ,所以 q ? 2 p ? 1 ? p , r ? q ? 4 p ? 7 p ? 3 ? 4( p ? 1) ? p ? 1 ? 0 , 即r ? q. …………………………15 分 综上所述,当 p ? 1 时,不存在 q , r 满足题设条件; 当 p ≥ 2 时,存在 q ? 2 p ? 1 , r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,满足题设条件.…16 分


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