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新课标近三年圆锥曲线高考理科大题精选[1]


新课标近三年圆锥曲线高考题理科大题精选
2011 年圆锥曲线高考题精选
(11 江西 20 本小题满分 13 分)
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M , N 分别是双曲 a 2 b2

P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :

1 线 E 的左、右定点,直线

PM, PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率;

(2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点, O 为坐标原 点, C 为双曲线上的一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值.
(11 辽宁 20 本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的 短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥ MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两 点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥ AN,并说明理由.

(11 全 221)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且 2

斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上. (11 江苏 18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

??? ??? ??? ? ? ?

x2 y2 ? ?1 4 2

y 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; P (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB B M A N C x

(11 重庆 20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 如题(20)图,椭圆 的中心为原点 O ,离心率 e ?

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? . ?

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足: 其中 M , N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON OP ? OM ? ?ON , 的斜率之积为 ?

uur u

uuur

uuu r

? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF ? PF? 为定值?若存在,求 ? ?

F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.
(11 浙江 21 本题满分 15 分) 已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 1的圆心为点 M
3

2

2

(Ⅰ)求点 M 到抛物线 c1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 c1 上一点 (异于原点) ,过点 P 作圆 c 2 的两条切线,交抛物线 c1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程

(11 陕西本小题满分 12 分)如图,设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且 MD ?
4 PD (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 5

M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
4 的直线被 C 所截线段的长度 5

(11 四川 21 本小题共 l2 分)[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1 ,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.

3 2 时,求直线 l 的方程; 2 ??? ???? ? (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值。
(I)当| CD | =

(11 新课标 20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满 足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。
( 11 山 东 22 ) 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 直 线 l 与 椭 圆 C: (

x2 y 2 ? ?1 交于 3 2

P ? x ? y1 ? .Q ? x1 ? y ? 两不同点,且△OPQ 的面积 S=
(Ⅰ)证明 X1 +X2 和 Y1 +Y2 均为定值
2 2 2 2

6 ,其中 Q 为坐标原点。 2

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM ? PQ 的最大值; (11 福建本小题满分 13 分) 已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C: 2=4y 是否相切?说明理由。 x (11 安徽 21) (本小题满分 13 分) 设 ? ? 0 ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x 2 上运动,点 Q 满足 BQ ? ?QA ,经 过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程, 平面向量的概念, 性质与运算, 动点的轨迹方程等基本知识, 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养。 解 : 由 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三 点 在 同 一 条 垂 直 于 x 轴 的 直 线 上 , 故 可 设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2 ? y0 ? ? ( y ? x2 ) ,即

y0 ? (1 ? ? ) x2 ? ?y



再设 B( x1 , y1 ) ,由 BQ ? ?QA ,即 ( x ? x1, y0 ? y1 ) ? ? (1 ? x,1 ? y0 ) ,解得

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? ? y1 ? (1 ? ? ) y0 ? ?.



将①式代入②式,消去 y0 ,得

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? 2 2 ? y1 ? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ?.
2



又点 B 在抛物线 y ? x 2 上,所以 y1 ? x1 ,再将③式代入 y1 ? x1 ,得
2

(1 ? ? )2 x2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? ((1 ? ? ) x ? ? )2 ,
整理得 2? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? (1 ? ? ) ? 0 因 ? ? 0 ,两边同除以 ? (1 ? ? ) ,得

2x ? y ? 1 ? 0
故所求点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 。

(11 北京 19 本小题共 14 分)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 4

I 交椭圆 G 于 A,B 两点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

(11 广东 21 本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 上, 给定抛物线 L: y ?

1 2 x 4 .

实 数 p , q 满 足 p2 ? 4q ? 0 , x1 , x2 是 方 程 x2 ? px ? q ? 0 的 两 根 , 记

? ( p, q) ? max ? x1 , x2 ? 。
(1)过点 A( p0 ,
1 2 p0 )( p0 ? 0) 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明:对线段 AB 4

上任一点 Q(p,q)有 ? ( p, q ) ?

p0 ; 2

(2)设 M(a,b)是定点,其中 a,b 满足 a2-4b>0,a≠0. 过 M(a,b)作 L 的 两条切线 l1 , l2 ,切点分别为 E ( p1 , 线 段 EF
1 2 1 p1 ), E ?( p2 , p2 2 ) , l1 , l2 与 y 轴分别交与 F,F'。 4 4

上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为
p1 2 ;

X. 证 明 : M(a,b)

? X ? P ? P2 ? ? (a, b) ? 1

1 5 (3)设 D={ (x,y)|y≤x-1,y≥ (x+1)2- }.当点(p,q)取遍 D 时,求 ? ( p, q) 的 4 4

最小值 (记为 ?min )和最大值(记为 ?max ).
(11 湖北本小题满分 14 分)平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a,0) (a ? 0) 连续的斜率之积 等于非零常数 m 的点的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲 线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0)U (0, ??) ,对应的曲线为

C2 ,设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 撒谎个,是否存在点 N ,使得△
F1 N F2 的面积 S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理
由。

(11 湖南 21 本小题满分 13 分)
如图 7,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 x 2 , 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

得的线段长等于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ) C2 与 y 轴的交点为 M, 设 过坐标原点 O 的直线 l 与

C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E.
(i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 .问: 是否存在直 线 l ,使得

S1 17 = ?请说明理由。 S 2 32

(11 天津 18 本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) (a ? b ? 0) 为动点,

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点.已知△ F1PF2 为等腰三角形. a 2 b2 (Ⅰ )求椭圆的离心率 e ; ???? ???? ? ? (Ⅱ 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点,M 是直线 PF2 上的点, ) 满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.

F1 , F2 分别为椭圆

2010 解析几何大题
(10 湖北本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减 去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 (10 北京本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对
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??? ??? ? ?

称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;

1 . 3

(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

x2 y 2 (10 上海)已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为(-a,b). a b
?

(1)若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b),B(a,0)满足 PM =

? 1 ? ( PA + PB) ,求点 M 的坐标; 2

( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2
? ? ?

(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cosθ ,b sinθ ) (0<θ <π ) ,如果椭圆 ? 上存在不同的两 个交点 P1 、 P2 满足 PP1 + PP2 = PQ ,写出求作点 P1 、 P2 的步骤,并求出使 P1 、 P2 存在的θ 的取值范围. (10 浙 江 21) ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 m > 1 , 直 线

m2 l : x ? my ? ?0, 2
椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ,F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF F2 , 1

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段
GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.
(10 江苏本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、 9 5

右顶点为 A、 右焦点为 F。 B, 设过点 T t, m ) ( 的直线 TA、 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 TB

N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关) 。 (10 福建本小题满分 13 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2, 0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 (10 安徽本小题满分 13 分)已知椭圆 E 经过点 A? 2,3? , 对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; 1 (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

x2 y 2 (10 新课标本小题满分 12 分)设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a b
点,过 F 斜率为 1 的直线 i 与 E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 1 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

(10 广东本小题满分 14 分)已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 2

P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线 A P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程; 1 (2 若过点 H (0, h)(h ? 1) 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1 ? l2 , h 的 且 求 值。 (10 陕西)

(10 山东本小题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 a2 b2 2

椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的 顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交 点分别为 A、B 和 C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1·2 ? 1 ; k (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不 存在,请说明理由. (10 四川本小题满分 12 分)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴 上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.
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1 2

(10 天津本小题满分 12 分)已知椭圆 的四个顶点得到的菱形的面积为 4。 (1) 求椭圆的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆 2 a b 2

(2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

??? ??? ? ? Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? ? 4 ,求 y0 的值 QB
(10 重庆本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, F (I) (II)

?

5, 0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ?

?

5 。 2

求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题(20)图,已知过点 M ? x1 , y1 ? 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ? x2 , y2 ? (其中 x2 ? x ) 的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上, 直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。

(10 湖北本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 有 FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 2 2 (10 江西本小题满分 12 分)设椭圆

??? ??? ? ?

C1 :

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 C : x2 ? by ? b2 。 a b ,抛物线 2

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN ,

? ?

5? 4?

的垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。

? ?

3 ? 4 ?

(10 辽宁本小题满分 12 分)设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直 a 2 b2
??? ? ??? ?

线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB . (I) (II) 求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

(10 湖南本小题满 分 13 分)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段

AB 的垂直 平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 6) .在直线 x ? 2 的右侧,考察范围为到

点 B 的距离不超过

6 5 km 的区域;在直线 x ? 2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之 5

和不超过 4 5 km 的区域. (Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图 6 所示,设线段 PP , P P 是冰川的 1 2 2 3 部分 边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化时, 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动, 第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一 年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的 最短时间.

09 年解析几何大题
(09 湖南本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。 ( 09 江 西 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 点 P ( x0 , y0 ) 为 双 曲 线 1
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

y

x2 y 2 ? ? 1 b 为正常数) ( 上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 1 8b 2 b 2
作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P . 2 (1) 求线段 P P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 2 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点
P1
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

P

P 2
A

F1

O

F2

x

Q x, y ( y? 0 ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点. (1 ) 1 ) 1
求证:以 MN 为直径的圆过两定点. (09 辽宁本小题满分 12 分)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (1) 求椭圆 C 的方程;
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

3 2

(2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (09 宁夏本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上, 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ ,求点 M

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(09 全国 1 本小题满分 12 分) ............. (注意:在试题卷上作答无效) 如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标 (09 湖北本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ......... 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线

l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。
(Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

w.w.w. k.s.5.u.c.o. m

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在 ? ,使

2 得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由

(09 江苏本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 C 的顶点在原点, 经过点 A (2, 2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点 间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。

( 09 安 徽 本 小 题 满 分 13 分 ) 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 , a 2 b2

x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ?

?
2

. 直线 l2 与直线 l1 :

x0 y0 x ? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原 2 a b

点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? .

(I)证明: 点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a 2 b2

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列.

(09 北京本小题共 14 分)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准 a 2 b2

线方程为 x ?

3 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线,l 与双曲线 C
2 2

交 于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.
.w.k.s.5.u.c.o.m

(09 福建本小题满分 13 分) 已知 A,B 分别为曲线 C: (y ? 0,a>0)与 x 轴

x2 + y 2 =1 2 a

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? 的三等分点,试求出点 S AB 的坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三 点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (09 广东本小题满分 14 分) 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA )
2

和 B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面 区域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

(09 海南本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上, 它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ ,求点 M

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(09 陕西本小题满分 12 分)已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 a 2 b2

e?

5 2 5 ,顶点到渐近线的距离为 。 2 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐 近线上,且分别位于第一、二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] , 求 ?AOB 面积的取值范围。
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

??? ?

??? ?

1 3

(09 上海本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分。已知双曲线 c :

x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 2

v e ? (1, k )
(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

(09 四川本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a2 b

心率 e ?

2 ,右准线方程为 x ? 2 。 2

(I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点, F2 M ? F2 N ? 且 1

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

( 09 天 津 本 小 题 满 分 14 分 ) 以 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

F1 (?c,0)和F2 (c,0)(c ? 0) , 过 点 E (

a2 , 0 的 直 线 与 椭 圆 相 交 与 A, B 两 点 , 且 ) c

F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。
(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线 AB 的斜率;
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在

n 的值 m y 2 x2 (09 浙江本题满分 15 分) 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 a b
? AFC 的外接圆上,求 1
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

的焦点且垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处 的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值. (09 重庆本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分)已知以原点 O 为中心的椭圆的一 条准线方程为 y ?

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆上的动点. 3 2

(Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3),(0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的 点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON ,

??? ?

???? ???? ?

??? ??? ? ? QA?BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程;

(09 全国 2 本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交 a b 3

于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (I)求 a , b 的值;

2 2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 (09 山东本小题满分 14 分)设椭圆 E:

??? ?

??? ??? ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1) a 2 b2

两点,O 为坐标原点, (I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。


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