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高中数学必修2空间立体几何大题


必修 2 空间立体几何大题
一.解答题(共 18 小题) 1.如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△ VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= 别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB(3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

,O,M 分

>2.如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 的值.

3.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

4.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点, (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F﹣AEC 的体积.

5.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.

6. 如题图, 三棱锥 P﹣ABC 中, 平面 PAC⊥平面 ABC, ∠ABC=

, 点 D、 E 在线段 AC 上, 且 AD=DE=EC=2, PD=PC=4,

点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面 PFE. (Ⅱ)若四棱锥 P﹣DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

7.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1, (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证;AC⊥平面 PDO; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值;

8.如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

9.如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 ,AA1= ,BB1=2 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

,点 E 和 F 分别为 BC 和

10.如图所示,已知 AB⊥平面 BCD,M、N 分别是 AC、AD 的中点,BC⊥CD. (1)求证:MN∥平面 BCD; (2)求证:平面 BCD⊥平面 ABC.

11.如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面的圆周上,BF⊥AE,F 是垂足. (1)求证:BF⊥AC; (2)若 CE=1,∠CBE=30°,求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

12.如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE= 面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2. 求证: (Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

,平面 ABCD⊥平

13.如图,已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D﹣BCM 的体积.

14.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD= 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

,O 为 AC

15.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为 PQ∥AB,C1Q⊥QR (1)求证:C1Q⊥平面 PQR; (2)若 C1Q= ,求四面体 C1PQR 的体积.

,点 P、Q、R 分别在棱 AA1、BB1、BC 上,Q 是 BB1 中点,且

16.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD(2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

17.如图甲,⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的两侧,且∠CBA=∠DAB= 个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.

.沿直径 AB 折起,使两

根据图乙解答下列各题: (Ⅰ)求证:CB⊥DE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣BOD 的体积; (Ⅲ)在劣弧 上是否存在一点 G,使得 FG∥平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

18.如图:

是直径为

的半圆,O 为圆心,C 是

上一点,且

.DF⊥CD,且 DF=2,

,E 为

FD 的中点,Q 为 BE 的中点,R 为 FC 上一点,且 FR=3RC. (Ⅰ)求证:面 BCE⊥面 CDF; (Ⅱ)求证:QR∥平面 BCD; (Ⅲ)求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

必修 2 空间立体几何大题
参考答案与试题解析

一.解答题(共 18 小题) 1. (2015?北京) 如图, 在三棱锥 V﹣ABC 中, 平面 VAB⊥平面 ABC, △ VAB 为等边三角形, AC⊥BC 且 AC=BC= O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.



考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线得出 OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明 VB∥平面 MOC; (2)证明:OC⊥平面 VAB,即可证明平面 MOC⊥平面 VAB (3)利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积. 解答: (1)证明:∵O,M 分别为 AB,VA 的中点, ∴OM∥VB, ∵VB?平面 MOC,OM?平面 MOC, ∴VB∥平面 MOC; (2)∵AC=BC,O 为 AB 的中点, ∴OC⊥AB, ∵平面 VAB⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥平面 VAB, ∵OC?平面 MOC, ∴平面 MOC⊥平面 VAB (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= ,∴AB=2,OC=1, ∴S△ VAB= , ∵OC⊥平面 VAB,
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∴VC﹣VAB=

?S△ VAB= .



∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=

点评: 本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用 线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键. 2. (2015?安徽)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC⊥BM,并求 的值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离计算. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用 VP﹣ABC= ?S△ ABC?PA,求三棱锥 P﹣ABC 的体积;
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(2)过 B 作 BN⊥AC,垂足为 N,过 N 作 MN∥PA,交 PA 于点 M,连接 BM,证 明 AC⊥平面 MBN,可得 AC⊥BM,利用 MN∥PA,求 解答: (1)解:由题设,AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得 S△ ABC= 因为 PA⊥平面 ABC,PA=1, 所以 VP﹣ABC= ?S△ ABC?PA= ; = . 的值.

(2)解:过 B 作 BN⊥AC,垂足为 N,过 N 作 MN∥PA,交 PC 于点 M,连接 BM, 由 PA⊥平面 ABC,知 PA⊥AC,所以 MN⊥AC, 因为 BN∩MN=N,所以 AC⊥平面 MBN. 因为 BM?平面 MBN,所以 AC⊥BM. 在直角△ BAN 中,AN=AB?cos∠BAC= , 从而 NC=AC﹣AN= . 由 MN∥PA 得 = = .

点评: 本题考查三棱锥 P﹣ABC 的体积的计算,考查线面垂直的判定与性质的运用,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题. 3. (2015?黑龙江)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上, A1E=D1F=4.过 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面的基本性质及推论. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形;
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(Ⅱ)求出 MH=

=6,AH=10,HB=6,即可求平面 a 把该长方体分成的

两部分体积的比值. 解答: 解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EFGH 如图所示; (Ⅱ)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为 EFGH 为正方形,所以 EH=EF=BC=10, 于是 MH= =6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱, 所以其体积的比值为 .

点评: 本题考查平面与平面平行的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

4. (2015?湖南)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点, (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F﹣AEC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明 AE⊥BB1,AE⊥BC,BC∩BB1=B,推出 AE⊥平面 B1BCC1,利用平面余 平米垂直的判定定理证明平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ) 取 AB 的中点 G, 说明直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°, 就是∠CA1G, 求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵几何体是直棱柱,∴BB1⊥底面 ABC,AE?底面 ABC,∴AE⊥BB1, ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E 分别是 BC 的中点, ∴AE⊥BC,BC∩BB1=B,∴AE⊥平面 B1BCC1, ∵AE?平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)解:取 AB 的中点 G,连结 A1G,CG,由(Ⅰ)可知 CG⊥平面 A1ABB1, 直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,就是∠CA1G,则 A1G=CG= ,
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∴AA1=

=

,CF=

. = = .

三棱锥 F﹣AEC 的体积: ×

点评: 本题考查几何体的体积的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能 力以及计算能力. 5. (2015?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1,设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据中位线定理得 DE∥AC,即证 DE∥平面 AA1C1C;
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(2) 先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC, 即证 AC⊥CC1; 再证明 AC⊥平面 BCC1B1, 即证 BC1⊥AC;最后证明 BC1⊥平面 B1AC,即可证出 BC1⊥AB1. 解答: 证明: (1)根据题意,得; E 为 B1C 的中点,D 为 AB1 的中点,所以 DE∥AC; 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC?平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C; (2)因为棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 因为 AC?平面 ABC, 所以 AC⊥CC1; 又因为 AC⊥BC, CC1?平面 BCC1B1, BC?平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1; 又因为 BC1?平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC; 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 所以 BC1⊥平面 B1AC; 又因为 AB1?平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 点评: 本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象 能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.

6. (2015?重庆) 如题图, 三棱锥 P﹣ABC 中, 平面 PAC⊥平面 ABC, ∠ABC= PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面 PFE. (Ⅱ)若四棱锥 P﹣DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

, 点 D、 E 在线段 AC 上, 且 AD=DE=EC=2,

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 开放型;空间位置关系与距离.

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分析: (Ⅰ) 由等腰三角形的性质可证 PE⊥AC, 可证 PE⊥AB. 又 EF∥BC, 可证 AB⊥EF, 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE,EF 都垂直,可证 AB⊥平面 PEF. (Ⅱ)设 BC=x,可求 AB,S△ ABC,由 EF∥BC 可得△ AFE≌△ABC,求得 S△ AFE= S△ ABC, 由 AD= AE, 可求 S△ AFD, 从而求得四边形 DFBC 的面积, 由 (Ⅰ) 知 PE 为四棱锥 P﹣DFBC 的高,求得 PE,由体积 VP﹣DFBC= SDFBC?PE=7,即可解

得线段 BC 的长. 解答: 解: (Ⅰ) 如图, 由 DE=EC, PD=PC 知, E 为等腰△ PDC 中 DC 边的中点, 故 PE⊥AC, 又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PE?平面 PAC,PE⊥AC, 所以 PE⊥平面 ABC,从而 PE⊥AB. 因为∠ABC= ,EF∥BC,

故 AB⊥EF, 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE,EF 都垂直, 所以 AB⊥平面 PEF. (Ⅱ)设 BC=x,则在直角△ ABC 中,AB= 从而 S△ ABC= AB?BC= x 由 EF∥BC 知
2

=





,得△ AFE≌△ABC,



=( ) = ,即 S△ AFE= S△ ABC, = S△ ABC= S△ ABC= x ﹣ ,

由 AD= AE,S△ AFD=

从而四边形 DFBC 的面积为:SDFBC=S△ ABC﹣SAFD= x x = x .

由(Ⅰ)知,PE⊥平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P﹣DFBC 的高. 在直角△ PEC 中,PE= 故体积 VP﹣DFBC=
4 2

= x
2

=2

, =7, .

SDFBC?PE=
2

故得 x ﹣36x +243=0,解得 x =9 或 x =27,由于 x>0,可得 x=3 或 x=3 所以:BC=3 或 BC=3 .

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查了空 间想象能力和推理论证能力,考查了转化思想,属于中档题. 7. (2015?福建)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO=OB=1, (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证;AC⊥平面 PDO;

(Ⅱ)求三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 BC= ,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由题意可证 AC⊥DO,又 PO⊥AC,即可证明 AC⊥平面 PDO. (Ⅱ)当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大且最大值为 1,又 AB=2,即可求△ ABC 面积的最大值,又三棱锥 P﹣ABC 的高 PO=1,即可求得三棱锥 P﹣ABC 体积的最大 值.
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(Ⅲ)可求 PB=

=

=PC,即有 PB=PC=BC,由 OP=OB,C′P=C′B,可证 E = ,从而得解.

为 PB 中点,从而可求 OC′=OE+EC′=

解答: 解: (Ⅰ)在△ AOC 中,因为 OA=OC,D 为 AC 的中点, 所以 AC⊥DO, 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面, 所以 PO⊥AC, 因为 DO∩PO=O, 所以 AC⊥平面 PDO. (Ⅱ)因为点 C 在圆 O 上, 所以当 CO⊥AB 时,C 到 AB 的距离最大,且最大值为 1, 又 AB=2,所以△ ABC 面积的最大值为 又因为三棱锥 P﹣ABC 的高 PO=1, 故三棱锥 P﹣ABC 体积的最大值为: (Ⅲ)在△ POB 中,PO=OB=1,∠POB=90°, 所以 PB= = , . ,

同理 PC= ,所以 PB=PC=BC, 在三棱锥 P﹣ABC 中,将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BC′P,使之与平面 ABP 共面, 如图所示, 当 O,E,C′共线时,CE+OE 取得最小值, 又因为 OP=OB,C′P=C′B, 所以 OC′垂直平分 PB,即 E 为 PB 中点. 从而 OC′=OE+EC′= 亦即 CE+OE 的最小值为: = . .

点评: 本题主要考查了直线与直线、 直线与平面的位置关系、 锥体的体积的求法等基础知识, 考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查了数形结合思想、化归与 转化思想,属于中档题. 8. (2015?河北)如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.

(Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥 E﹣ACD 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.

考 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 (Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明:平面 AEC⊥平面 BED; 析:(Ⅱ)根据三棱锥的条件公式,进行计算即可. 解 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为菱形, 答:∴AC⊥BD, ∵BE⊥平面 ABCD, ∴AC⊥BE, 则 AC⊥平面 BED, ∵AC?平面 AEC, ∴平面 AEC⊥平面 BED;
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解: (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120°,得 AG=GC= ∵AE⊥EC,△ EBG 为直角三角形, ∴BE= x, = = ,

x,GB=GD= ,

∵三棱锥 E﹣ACD 的体积 V= 解得 x=2,即 AB=2, ∵∠ABC=120°,

∴AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×

2

2

2

=12,

即 AC= , 在三个直角三角形 EBA,EBG,EBC 中,斜边 AE=EC=ED, ∵AE⊥EC,∴△EAC 为等腰三角形, 2 2 2 则 AE +EC =AC =12, 2 即 2AE =12, 2 ∴AE =6, 则 AE= , ∴从而得 AE=EC=ED= , ∴△EAC 的面积 S= =3,

在等腰三角形 EAD 中,过 E 作 EF⊥AD 于 F, 则 AE= 则 EF= ,AF= = , , = ,

∴△EAD 的面积和△ ECD 的面积均为 S= 故该三棱锥的侧面积为 3+2 .

点 本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理 评:以及体积公式. 9. (2015?天津)如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 分别为 BC 和 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小. ,AA1= ,BB1=2 ,点 E 和 F

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 A1B,易证 EF∥A1B,由线面平行的判定定理可得; (Ⅱ)易证 AE⊥BC,BB1⊥AE,可证 AE⊥平面 BCB1,进而可得面面垂直; (Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A1M,A1N,NE,易证∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角,解三角形可得. 解答: (Ⅰ)证明:连接 A1B,在△ A1BC 中, ∵E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,∴EF∥A1B, 又∵A1B?平面 A1B1BA,EF?平面 A1B1BA, ∴EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)证明:∵AB=AC,E 为 BC 中点,∴AE⊥BC,
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∵AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面 ABC, ∴BB1⊥AE,又∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面 BCB1, 又∵AE?平面 AEA1,∴平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A1M,A1N,NE, ∵N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,∴NE 平行且等于 B1B, ∴NE 平行且等于 A1A,∴四边形 A1AEN 是平行四边形, ∴A1N 平行且等于 AE, 又∵AE⊥平面 BCB1,∴A1N⊥平面 BCB1, ∴∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角, 在△ ABC 中,可得 AE=2,∴A1N=AE=2, ∵BM∥AA1,BM=AA1,∴A1M∥AB 且 A1M=AB, 又由 AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1, 在 RT△ A1MB1 中,A1B1= =4,

在 RT△ A1NB1 中,sin∠A1B1N=

= ,

∴∠A1B1N=30°,即直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小为 30° 点评: 本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题. 10. (2015?醴陵市)如图所示,已知 AB⊥平面 BCD,M、N 分别是 AC、AD 的中点,BC⊥CD. (1)求证:MN∥平面 BCD; (2)求证:平面 BCD⊥平面 ABC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由中位线定理和线面平行的判定定理,即可得证; (2)由线面垂直的性质和判定定理,可得 CD⊥平面 ABC,再由面面垂直的判定定 理,即可得证. 解答: 证明: (1)因为 M,N 分别是 AC,AD 的中点, 所以 MN∥CD. 又 MN?平面 BCD 且 CD?平面 BCD, 所以 MN∥平面 BCD; (2)因为 AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, 所以 AB⊥CD. 又 CD⊥BC,AB∩BC=B, 所以 CD⊥平面 ABC. 又 CD?平面 BCD, 所以平面 BCD⊥平面 ABC.
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点评: 本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定,考查空间直线和平面的位置关系,考查 逻辑推理能力,属于中档题. 11. (2015?葫芦岛一模)如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面的圆周上,BF⊥AE,F 是垂足. (1)求证:BF⊥AC; (2)若 CE=1,∠CBE=30°,求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)欲证 BF⊥AC,先证 BF⊥平面 AEC,根据线面垂直的判定定理可知只需证 CE⊥BF,BF⊥AE 且 CE∩AE=E,即可证得线面垂直;
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(2)VF﹣BCE=VC﹣BEF= ?S△ BEF?CE= ? ?EF?BF?CE,即可求出三棱锥 F﹣BCE 的 体积. 解答: (1)证明:∵AB⊥平面 BEC,CE?平面 BEC,∴AB⊥CE ∵BC 为圆的直径,∴BE⊥CE. ∵BE?平面 ABE,AB?平面 ABE,BE∩AB=B ∴CE⊥平面 ABE, ∵BF?平面 ABE, ∴CE⊥BF, 又 BF⊥AE 且 CE∩AE=E, ∴BF⊥平面 AEC, ∵AC?平面 AEC, ∴BF⊥AC…(6 分) (2)解:在 Rt△ BEC 中,∵CE=1,∠CBE=30°∴BE= ,BC=2 又∵ABCD 为正方形,∴AB=2,∴AE= , ∴BF?AE=AB?BE, ∴BF= ,∴EF=

∴VF﹣BCE=VC﹣BEF= ?S△ BEF?CE= ? ?EF?BF?CE = ? ? ? ?1= …(12 分)

点评: 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力,考查三棱 锥 F﹣BCE 的体积的计算,属于中档题. 12. (2015?商丘三模)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE= 平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证: (Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积. ,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

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分析: (Ⅰ)利用面面垂直的性质,证明 EC⊥平面 ABCD,利用线面垂直的性质证明 EC⊥CD; (Ⅱ)在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,证明四边形 ADMG 为平行四边形,可得 AG∥DM,即可证明 AG∥平面 BDE; (Ⅲ)利用分割法即可求出几何体 EG﹣ABCD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,CE⊥BC,CE?平面 BCEG, ∴EC⊥平面 ABCD,…(3 分) 又 CD?平面 BCDA,故 EC⊥CD…(4 分) (Ⅱ)证明:在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM, 则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 ,

∴MG∥AD,MG=AD,故四边形 ADMG 为平行四边形,∴AG∥DM…(6 分) ∵DM?平面 BDE,AG?平面 BDE,∴AG∥平面 BDE…(8 分) (Ⅲ)解: = …(12 分) …(10 分)

点评: 本题考查面面垂直、线面平行,考查几何体体积的计算,考查学生分析解决问题的能 力,正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键. 13. (2015?南昌模拟) 如图, 已知三棱锥 A﹣BPC 中, AP⊥PC, AC⊥BC, M 为 AB 的中点, D 为 PB 的中点, 且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D﹣BCM 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)可由三角形的中位线定理得到线线平行,进而得到线面平行. (2)先证明 MD⊥底面 BCD,进而可计算出体积. 解答: (1) 证明: ∵M 为 AB 的中点, D 为 PB 的中点, ∴MD 为△ PAB 的中位线, ∴MD∥AP. 而 AP?平面 PAC,MD?平面 PAC, ∴MD∥平面 PAC. (2)解:∵△PMB 为正三角形,PD=DB,∴MD⊥PB.
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∵MD∥AP,AP⊥PC,∴MD⊥PC. 又 PC∩PB=P,∴MD⊥平面 PBC.即 MD 为三棱锥 M﹣BCD 的高. 由 AB=20,∴MB=10,BD=5,∴MD=5 . 在 Rt△ PCB 中 (因为 AC⊥BC, 所以 PC⊥BC) , 由勾股定理得 PC= 于是 S△ BCD=S△ BCP× = ∴V 三棱锥 D﹣BCM=V 三棱锥 M﹣BCD= = . =10 . =2 .

点评: 利用三角形的中位线定理证明线线平行是证明线面平行常用的方法之一. 先证明线面 垂直是求体积的关键. 14. (2015?沈阳模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,AB=2, PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点. (Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知得 AC⊥PD,AC⊥BD,由此能证明平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)由已知得 PD∥OE,取 AD 中点 H,连结 BH,由此利用
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,能求出三棱锥 P﹣EAD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD, ∴ (还可以用 VP-ABD-VE-ABD) = = . .

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养. 15. (2015?上海模拟)已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为 Q 是 BB1 中点,且 PQ∥AB,C1Q⊥QR (1)求证:C1Q⊥平面 PQR; (2)若 C1Q= ,求四面体 C1PQR 的体积. ,点 P、Q、R 分别在棱 AA1、BB1、BC 上,

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 AB⊥平面 B1BCC1,从而 PQ⊥平面 B1BCC1,进而 C1Q⊥PQ,又 C1Q⊥QR,由此能证明 C1Q⊥平面 PQR.
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(2)由已知得 B1Q=1,BQ=1,△ B1C1Q∽△BQR,从而 BR= QR、QP 两两垂直,能求出四面体 C1PQR 的体积. 解答: (1)证明:∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 是正四棱柱, ∴AB⊥平面 B1BCC1, 又 PQ∥AB,∴PQ⊥平面 B1BCC1, ∴C1Q⊥PQ,又已知 C1Q⊥QR,且 QR∩QP=Q, ∴C1Q⊥平面 PQR. (2)解:∵B1C1= , ,

,QR=

,由 C1Q、

∴B1Q=1,∴BQ=1, ∵Q 是 BB1 中点,C1Q⊥QR, ∴∠B1C1Q=∠BQR,∠C1B1Q=∠QBR, ∴△B1C1Q∽△BQR,∴BR= ,∴QR= ,

∵C1Q、QR、QP 两两垂直, ∴四面体 C1PQR 的体积 V= .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识,考查数形结 合、 化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力. 16. (2015?凯里市校级模拟)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明 BC1∥平面 A1CD (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三菱锥 C﹣A1DE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 连结 AC1 交 A1C 于点 F, 连结 DF, 则 BC1∥DF, 由此能证明 BC1∥平面 A1CD.
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(2)由已知得 AA1⊥CD,CD⊥AB,从而 CD⊥平面 ABB1A1.由此能求出三菱锥 C ﹣A1DE 的体积. 解答: (1)证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F, 则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点, 连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 不包含于平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解:因为 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2, 得∠ACB=90°, ,
2 2


2

,A1E=3,

故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 所以三菱锥 C﹣A1DE 的体积为: = =1.

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三菱锥的体积的求法,是中档题,解题时要认 真审题,注意空间思维能力的培养.

17. (2015?东城区一模)如图甲,⊙O 的直径 AB=2,圆上两点 C,D 在直径 AB 的两侧,且∠CBA=∠DAB= 直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.

.沿

根据图乙解答下列各题: (Ⅰ)求证:CB⊥DE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣BOD 的体积; (Ⅲ)在劣弧 上是否存在一点 G,使得 FG∥平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用等边三角形的性质可得 DE⊥AO,再利用面面垂直的性质定理即可得到 DE⊥平面 ABC,进而得出结论. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 DE⊥平面 ABC,利用转换底面的方法,即可求三棱锥的体积;
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(Ⅲ) 存在, G 为劣弧

的中点. 连接 OG, OF, FG, 通过证明平面 OFG∥平面 ACD,

即可得到结论. 解答: (Ⅰ)证明:在△ AOD 中, ∵ ,OA=OD,

∴△ AOD 为正三角形, 又∵E 为 OA 的中点, ∴DE⊥AO…(1 分) ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB, ∴DE⊥平面 ABC. …(3 分) 又 CB?平面 ABC,∴CB⊥DE. …5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 DE⊥平面 ABC, ∴DE 为三棱锥 D﹣BOC 的高.∵D 为圆周上一点,且 AB 为直径,∴ 在△ ABD 中,由 AD⊥BD, ∵ ∴ = ,AB=2,得 AD=1, , = . 的中点. …(8 分) …(9 分) . , …(6 分)

(Ⅲ)解:存在满足题意的点 G,G 为劣弧

证明如下:连接 OG,OF,FG,易知 OG⊥BD,又 AD⊥BD∴OG∥AD, ∵OG?平面 ACD,∴OG∥平面 ACD. …(10 分) 在△ ABC 中,O,F 分别为 AB,BC 的中点, ∴OF∥AC,OF?平面 ACD,∴OF∥平面 ACD,…(11 分) ∵OG∩OF=O,∴平面 OFG∥平面 ACD. 又 FG?平面 OFG,∴FG∥平面 ACD. …(12 分) 点评: 本题考查线线、线面、面面关系,考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行 的判定及几何体高与体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力

及分析探究问题和解决问题的能力.

18. (2015?威海模拟)如图:

是直径为

的半圆,O 为圆心,C 是

上一点,且

.DF⊥CD,且 DF=2,

,E 为 FD 的中点,Q 为 BE 的中点,R 为 FC 上一点,且 FR=3RC. (Ⅰ)求证:面 BCE⊥面 CDF; (Ⅱ)求证:QR∥平面 BCD; (Ⅲ)求三棱锥 F﹣BCE 的体积.

考 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 点: 专 空间位置关系与距离. 题: 分 (Ⅰ)证明 BD⊥DF,DF⊥BC,利用直线与平面垂直的判定定理证明 BC⊥平面 CFD, 析: 然后证明面 BCE⊥面 CDF. (Ⅱ)连接 OQ,通过证明 RQ∥OM,然后证明 QR∥平面 BCD.
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(Ⅲ)利用 vF﹣BCE=vF﹣BCD﹣vE﹣BCD 求解几何体的体积即可. 解 (本小题满分 12 分) 2 2 2 答: 证明: (Ⅰ)∵DF=2, , ,∴BF =BD +DF , ∴BD⊥DF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 又 DF⊥CD,∴DF⊥平面 BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴DF⊥BC, 又 BC⊥CD,∴BC⊥平面 CFD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵BC?面 BCE ∴面 BCE⊥面 CDF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)连接 OQ,在面 CFD 内过 R 点做 RM⊥CD, ∵O, Q 为中点, ∴OQ∥DF, 且 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (5 分)

∵DF⊥CD∴RM∥FD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 又 FR=3RC,∴ ∵E 为 FD 的中点,∴ ,∴ ,

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7

分) ∴OQ∥RM,且 OQ=RM ∴OQRM 为平行四边形,∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(8 分) 又 RQ?平面 BCD,OM?平面 BCD,∴QR∥平面 BCD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

(Ⅲ)∵ ∴

,∴∠DBC=30°,∴在直角三角形 BCD 中有





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) (或求 VB-FCE

1/3*1/2*FE*CD*BC)

点 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的 评: 体积的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力.


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