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数列复习资料(知识点+例题)


数学必修 5 复习知识提纲
-------数列 1.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 如设 {an } 是等差数列, 求证: 以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n

等差数列。 (2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如①等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? ; ②首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______ ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 (3)等差数列的前 n 和: S n ? , S n ? na1 ? 2 2 1 3 15 * 如①数列 {an } 中,an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) ,an ? ,前 n 项和 S n ? ? ,则 a1 2 2 2 =_, n = ; ②已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn . a?b (4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? ,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
2.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一 次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次 2 2 2

函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 ( 3 )当 m ? n ? p ? q 时 , 则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2ap .
如等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____ (4) 若是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 。 ;

A (5)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 n ? f ( n) , Bn a (2n ? 1)an A2 n ?1 则 n ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 S n
Tn

?

3n ? 1 , 4n ? 3

那么 a n ? ___________;
bn

(6)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增 等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。上述两种
方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如①等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值; ②若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 3.等比数列的有关概念:
(1)等比数列的判断方法:定义法



an ?1 ? q(q为常数), 其 中 q ? 0, an ? 0 或 an

an?1 an (n ? 2) 。 ? an an?1
如①一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____; ②数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证: { bn }是等 比数列。 (2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 如设等比数列 {an } 中,a1 ? an ? 66 ,a2 an?1 ? 128 , 前 n 项和 Sn =126, 求 n 和公比 q . (3) 等比数列的前 n 和: 当 q ? 1 时, 当 q ? 1 时, Sn ? Sn ? na1 ; 如等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 ; 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 4.等比数列的性质: ( 1 ) 当 m ? n ? p ? q时,则有 am ?an ? a p?aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则 有

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

am ? an ? ap 2 .
如①在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___; ② 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

l o3 ag ? 1

la ?g 3 o? 2

?

a3 l o ?1 g0。

(2) 若 {an } 是等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也是等比数列。 如在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的 值为___ ; (3) 若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若q ? 0, a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数 数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若

则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号 是 ; 5.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
n

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b?R ?,

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 S ,(n ? 1) ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 1 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
如已知数列 3

?

如①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 f (1),(n ? 1) ? ? ⑶已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ?
②数列 {an } 满足 如 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则 ; a3 ? a5 ? ______ ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 (n ? 2) ,则 an =________ ; 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n a a a a ⑸已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an ⑹ 已 知 递 推 关 系 求 an , 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) 。特别地, (1)形如

an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an 。
如已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b an ?1 如已知 a1 ? 1, an ? ,求 an ;②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 , 3an ?1 ? 1
(2)形如 an ? 求 an ; 注意: (1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗? ( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。 如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

6.数列求和的常用方法: (1) 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.; ③ 常 用 公 式 : 1? 2 ? 3 ? ? n ?

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2 n 2 2 2 2 如等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 =_____ ? a2 ? a3 ? ? ? an
如求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1)

1 , ?n ( n ? 1 ) 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6



(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合 并在一起,再运用公式法求和.

(3 )并项求和法 如 : ①S 100 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 99 ? 100 ②S n ? 1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ? ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ( n为 偶 数)
(4)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数 相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式 的推导方法). 如 已 知 f ( x) ?

1 1 1 x2 , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) = 2 2 3 4 1? x

______; (5)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相 乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 1:设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,① 求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.;

例2:求和: Sn ? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ( x ? 0) x 例3: 已知函数 f ( x) ? .数 列 {a n }满 足a1 ? 1, a n?1 ? f (a n )(n ? N ? ) 3x ? 1 1 (1)求 证 : 数 列 { }是 等 差 数 列 ; an
( 2)求a n的 通 项 公 式 ( 3)记S n ( x ) ? x x2 xn ? ??? ( x ? 0)求S n ( x ) a1 a 2 an

(6)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关 联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k
1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)
; ;

如①求和:

②在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=_____


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