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高中数学辅导福建2013届5月高考三轮模拟试卷理科及答案


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福建省 2013 届 5 月高考三轮模拟试卷

数学理科试题
试题由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理 注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本

试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 x ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ? ?? 1 ? n

锥体体积公式:
V? 1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3 4 3 ?R 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.复数 z ?

1? i (是虚数单位)在复平面内对应的点是位于( i
B.第二象限 C.第三象限



A.第一象限

D.第四象限

2. a ? R , “ a ? 4 ” “直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2x ? y ? a ? 0 设 则 是 平行”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 . 已 知 集 合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 2 , N ? x a ? x ? 6

?

?

?

?

, 且 M ? N ? ? 2, b? , 则

a?b ?(
A. 4

) B. 5 C. 6 D. 7

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? x ? 2 y ? 0, ? 4.设 z=x+y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 当 Z 的最大值为 6 时, k 的值为( ?0 ? x ? k , ?
A.3 B.4 C.5 D.6 )

5.阅读如下图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 m ? 72, n ? 30 ,则输出 n 的 值为( A. 12 ) B. 6 C. 3 D. 0 开始 输入正整数m, n

6. ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边分别 a, b, c , 且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列,则角 B 等于 ( A . 30
0

n=r 求m除以n的余数r m=n

) B. D.

60

0

C. 90

0

1200
6

r = 0?




7.设 a ?

?

?

0

a ? cos x ? sin x ? dx ,则二项式 ? x 2 ? ? ? ? x? ?


输出n 结束

展开式中的 x 3 项的系数为(

A . ?20 B. 20 第 5 题图 C. ?160 D. 160 D1 8.如下图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 内(含 正方体表面)任取一点 M ,则 AA ? AM ? 1 的概率 p ? ( 1 A. ) A1
M D A B

C1 B1
C

3 4

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 8

9.已知平面上的线段及点 P ,在上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的 最小值称为点 P 到线段的距离, 记作 d ( P, l ) . 设是长为 2 的线段, 点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积为( A. )

第 8 题图

?

B. 2?

C. 2 ? ?

D. 4 ? ?

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10.如下图所示,有三根针和套在一根针上的 n 个金属片,按下列规则,把金属片从一 根针上全部移到另一根针上。 (1) 每次只能移动一个金属片; 2 1 (2) 在每次移动过程中, 每根针上较大的金属片不能 放在较小的金属片上面。 若将 n 个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次 数记为 f ( n) ,则 f (5) =( A. 33 B. 31 ) C.17 D. 15 第 10 题图 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其 它 10 个长方形的面积和的

3

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为 4

x2 y2 ? 2 ?1 12.在平面直角坐标系 Oxy 中,若双曲线 m m ? 4 的焦距为 8,则 m ?
13.如图,矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另外两个顶点 C n , Dn 在函数

f ?x ? ? x ?

1 ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标为 ? n, 0 ? (n ? 2, 且 n ? N * ) ,记矩形 x

An Bn C n Dn 的周长为 a n ,则 a 2 ? a3 ? ? ? a10 ?
14.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为

y Dn Cn

1 2 1 正视图 1 侧视图

2 第 14 题图 2 第 13 题图 俯视图 15.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元 5-6 世纪)提出了一条原理: “幂势既同,则积不容 异. ”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的 京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

O An

Bn

x

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任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等. 设:由曲线 x2 ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的 旋转体为 ?1 ;由同时满足 x ? 0 , x2 ? y 2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的 点 ( x, y ) 构成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?2 .根据祖暅原理等知识, 通过考察 ?2 可以得到 ?1 的体积为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相位置,应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为函数

???? ?

???? ? f ( x) 的伴随向量,同时称函数 f ( x) 为向量 OM 的伴随函数.
(Ⅰ)设函数 g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ?

? 2

???? ? ?? ? ? x ? ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模; ?2 ?

(Ⅱ) ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h( x) , 记 求使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围.

????

?
2

]

17. (本小题满分 13 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸 奖机会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不 放回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停 止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

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18. (本小题满分 13 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点, DC 垂直于半 圆 O 所在的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ? ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求二面 角 D ? AE ? B 的余弦值.
A D

1 . 4

C

E

19. (本小题满分 13 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 34 ,椭圆 C :

O ? O

B

x2 y 2 ? ?1. 25 9

(Ⅰ)若点 P 在圆 O 上,线段 OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点 P 的横坐标; (Ⅱ)现有如下真命题: “过圆 x ? y ? 5 ? 3 上任意一点 Q(m, n) 作椭圆
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的两条切线,则 52 32

这两条切线互相垂直” ; “过圆 x ? y ? 4 ? 7 上任意一点 Q(m, n) 作椭圆
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的两条切线,则 42 7 2

这两条切线互相垂直” . 据此,写出一般结论,并加以证明.
3 2 20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? bx , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 )

(1)若函数 f ( x) 存在极值点,求实数 b 的取值范围; (2)求函数 g ( x) 的单调区间; (3)当 b ? 0 且 a ? 0 时,令 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 , P ( x1 , F ( x1 ) ), Q ( x2 , F ( x2 ) ) ? g ( x) ? x, x ? 1

为曲线 y= F ( x) 上的两动点,O 为坐标原点,能否使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角 三角形,且斜边中点在 y 轴上?请说明理由。 京翰教育高考网——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

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21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分.如 、 、 果多做,则按所做的前两题记分. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?2? a 2 ? 有一个属于特征值 1 的特征向量 ? ?? ?. ? ? ? 1? ?1 b? ? ? (Ⅰ) 求矩阵 A; 1 ? 1? (Ⅱ) 若矩阵 B= ? ? 0 1 ? ,求直线 x ? y ? 1 ? 0 先在矩阵 A,再在矩阵 B 的对应变换作 ? ? 用下的像的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.
已知矩阵 A= ? ?
? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线的参数方程是 ? (为参数) . 4t ?y ? 5 ? (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. (3)(本小题满分 7 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 (I)试证明柯西不等式: a ? b
2

?

2

?? x

2

? y 2 ? ? ax ? by ?

?

2

? m, n, a, b ? R?
2

(II)已知 x2 ? y 2 ? 2 ,且 x ? y ,求

1

? x ? y?

2

?

1

? x ? y?

的最小值.

福建省福建师大附中 2013 届 5 月高考三轮模拟试卷 数学理科试题参考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3
13、216 14.

10 3

15. 32?

16.解: (Ⅰ)∵ g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ? ∴ OM ? (2,1) .

???? ?

? 2

?? ? ? x ? ? 2sin x ? cos x , ??? 2 分 ?2 ?
?????????? 4 分

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 ???? ? 2 2 故 OM ? 2 ? 1 ? 5 . ????????? 5 分
(Ⅱ)由已知可得 h( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ∵0 ? x ?

?
3

) ,??????7 分

?

2 故 h( x) ??1,2? .
∵当 x ? ?0,

, ∴

?
3

? x?

?
3

?

??
6



????????? 9 分

? ?? 时,函数 h( x) 单调递增,且 h( x) ? ? 3, 2 ? ; ? ? ? 6? ? ?? ? ? 当 x ? ? , ? 时,函数 h( x) 单调递减,且 h( x) ??1,2? . ? 6 2? ? ∴使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, ] 内恒有两个不相等实数解的实数 2 的取值范围为 t ? ? 3, 2 . ? 13 分 ?

?

17. (Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A , 则 P ( A) ?
2 A3 1 ? , A3 4 4

1 . 4 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20 .
故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为

??????4 分 ??????5 分

P( X ? 0) ?

1 , 4
1 A2 1 2 ? 3 ? , 2 A4 A4 6

P( X ? 5) ?
P( X ? 15) ?

A 1 ? , A 6
C1 ? A 2 1 2 2 ? , 3 A4 6
??????10 分

2 2 2 4

P( X ? 10) ?

A3 1 P( X ? 20) ? 3 ? . A4 4 4 所以,随机变量 X 的分布列为:

X P

0

5

10

15

20

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4
???11 分

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 . ??????13 分 4 6 6 6 4 18. (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ??????1 分, 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC ??????2 分, 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD ??????3 分 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD ??????4 分, 因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD ??????5 分 1 (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? ? 1 ??????6 分, 4 1 1 1 由(Ⅰ)知 VC ? ADE ? VE ? ACD ? ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? ,当且仅当 6 12 12 3 ??????8 分 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 如 图 所 示 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 D(0, 0,1) , E(0, 2 2,1) , ??? ? ??? ? , 0 A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , 则 AB ? (? 2 2 , 2 2 , BE)? (0,0,1) , ??? ? ??? ? ????????9 分 DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,) ?? ???? ? ?n1 ? DE ? 0 ? z 设面 DAE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,? ? ??? , ? D ?n1 ? DA ? 0 ?


?2 2 y ? 0 ? ? ?2 2 x ? z ? 0 ?

?

? n1 ? (1,0, 2 2)
????????10 分


A

C

o
O

E

?? ? 设 面 ABE 的 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, z) , ? ??? ? ?n 2 ? BE ? 0 ? , 即 ? ? ? ??? ?n 2 ? AB ? 0 ?
?z ? 0 ? ? ??2 x ? ? y? 2 2 ? ? n1 ?n2 1 2 ? ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n 2

?

B

x

y

?

? n2 ? (

2

1



0

,

? ? ? cos n1 , n2
? ?

?????12 分

可以判断 n1 , n 2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值 为?

2 。 6

????????13 分

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19. 解法一: (Ⅰ)设点 P( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? 34 , (1) 设 线 段 OP 的 垂 直 平 分 线 与 OP 相 交 于 点 M , 则 ????????1 分

x0 y0 , ) ,??2 分 2 2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F (4, 0) , ??????3 分 椭圆 C : 25 9 y0 y0 2 ? 0 Q MF ? OP ,? kOP ? kMF ? ?1 ,? ? ? ?1 , x0 x0 ? 4 2 2 2 ? y0 ? x0 ? 8x0 ? 0 , (2)??????????4 分 17 17 由(1)(2) , ,解得 x0 ? ,? 点 P 的横坐标为 . ?????5 分 4 4
M (
(Ⅱ)一般结论为:

x2 y 2 “过圆 x ? y ? a ? b 上任意一点 Q(m, n) 作椭圆 2 ? 2 ? 1 的两条切线,则这两条 a b
2 2 2 2

切线互相垂直. ???????????6 分 ” 证明如下:

x2 y 2 (ⅰ)当过点 Q 与椭圆 2 ? 2 ? 1 相切的一条切线的斜率 a b
不存在时,此时切线方程为 x ? ? a ,

Q 点 Q 在圆 x2 ? y2 ? a2 ? b2 上 ,? Q(?a, ?b) ,
? 直线 y ? ?b 恰好为过点 Q 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相切的另一 a 2 b2

条切线 ? 两切线互相垂直.????????????7 分

x2 y 2 ? ? 1 相切的切线的斜率存在时, a 2 b2 可设切线方程为 y ? n ? k ( x ? m) ,
(ⅱ)当过点 Q(m, n) 与椭圆

? x2 y 2 ? 1, 2 ? ? 2 2 2 2 2 由 ? a 2 b2 得 b x ? a ? k ( x ? m) ? n ? ? a b ? 0 , ? y ? n ? k ( x ? m), ? 整理得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2k ? n ? km? x ? a2 (n ? km)2 ? a2b2 ? 0 ,?????8 分

Q 直线与椭圆相切, ? ? ? 4a4k 2 (n ? km)2 ? 4(b2 ? a2k 2 )[a2 (n ? km)2 ? a2b2 ] ? 0 ,
2 2 2 2 2 整理得 m ? a k ? 2mnk ? n ? b ? 0 ,?????????9 分

?

?

?

?

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 n2 ? b2 , ?????????10 分 ? k1k2 ? 2 m ? a2 ? 点 Q(m, n) 在圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 上, m2 ? n2 ? a 2 ? b2 , ? m2 ? a 2 ? b2 ? n2 , ? ? k1k2 ? ?1,? 两切线互相垂直,
综上所述,命题成立.???????????????????13 分 解法二: (Ⅰ)设点 P( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? 34 , (1)???????????1 分 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F (4, 0) ,????????????2 分 25 9 Q 点 F 在线段 OP 的垂直平分线上, ? PF ? OF ,

? ( x0 ? 4)2 ? ( y0 ? 0)2 ? 42 , ? x02 ? 8x0 ? y02 ? 0 , (2)??4 分 17 17 由(1)(2) , ,解得 x0 ? , ? 点 P 的横坐标为 .?????5 分 4 4
(Ⅱ)同解法一.

20. 解: (Ⅰ)f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? b , f ( x) 存在极值点, f ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? b ? 0 若 则 有两个不相等实数根。所以 ? ? 4 ? 12b ? 0 , ?????2 分 1 解得 b ? ? ?????3 分 3 a a?x (Ⅱ) g ?( x) ? ? 1 ? ?????4 分 x x 当 a ? 0 时, ? a ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? 0, ?? ? ;?????5 分
当 a ? 0 时, ? a ? 0 ,函数 g ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?a ? ,单调递增区间为 ? ?a, ?? ? 。 ?????7 分

?? x3 ? x, x ? 1 , 假设使得 ? POQ 是以 O 为直角顶点 a ln x, x ? 1 ? ??? ???? ? 的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上。则 OP ? OQ ? 0 且 x1 ? x2 ? 0 。?????8 分 ??? ???? ? 3 2 不妨设 x1 ? t ? 0 。故 P(t , F (t )) ,则 Q(?t , t ? t ) 。 OP ? OQ ? ?t 2 ? F (t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 , (*) 该方程有解
(Ⅲ) 当 b ? 0 且 a ? 0 时,F ( x) ? ? ??????????????????9 分
2 3 2 3 2 当 0 ? t ? 1 时 , 则 F (t ) ? ?t ? t , 代 入 方 程 ( * )得 ?t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 即
3 2

t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解; ??????????10 分 ??? ? ??? ? ??? ???? ? 当 t ? 1 时, OP ? (1,0), OQ ? (?1, 2) 则 OP ? OQ ? 0 ; ????11 分 2 3 2 当 t ? 1 时 , 则 F (t ) ? a ln t , 代 入 方 程 ( * ) ?t ? a ln t (t ? t ) ? 0 即 得 1 ? (t ? 1) ln t , ?????????????12 分 a
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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 1 设 h( x) ? ( x ? 1) ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立。? h( x) 在 x ?1, ??? 上单调递增,从而 h( x) ? h(1) ? 0 ,则值域为 ?0, ?? ? 。

? 当 a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1) ln t 有解,即方程 (*) 有解。????13 分 a 综上所述,对任意给定的正实数 a ,曲线上总存在 P, Q 两点,使得 ? POQ 是以 O 为直
角顶点的直角三角形,且斜边中点在 y 轴上。????????????14 分 21. 【解析】(Ⅰ)由已知得 ? (1) ?

?2 a ? 2 ? 2 , ? a 2?? 2 ? ?2? ????2 分 ? ? ? ? 1 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? 1? ? ? 1? ?2 ? b ? ?1, ?1 b?? ? ? ? ?a ? 2 , 2 2? 解得 ? 故 A= ? ? 1 3 ? . ????????????????????3 分 ? ? ?b ? 3,
(Ⅱ) BA= ? ?

1 ? 1? ? 2 2 ? ?1 ?1? 因为矩阵 BA 所对应的线性变换将直线变成 ?? ?=? ?, ? 0 1 ? ? 1 3 ? ?1 3 ?

直 线 ( 或 点 ) 所 以 可 取 直 线 x ? y ? 1 ? 0 上 的 两 点 ( 0 , 1 ) ( -1 , , , 2) , ????????????????4 分

?1 ?1?? 0 ? ? 1 ? ?1 ?1?? 0 ? ? ?1? (0,1)(-1,2)在矩阵 A 所对 , ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? ,由得: ?1 3 ?? 1 ? ? ?3 ? ?1 3 ?? 1 ? ? ?1?
应的线性变换下的像是点(1,-3)(-1,-1) ???????????6 分 , 从 而 直 线 x ? y ? 1 ? 0 在 矩 阵 BA 所 对 应 的 线 性 变 换 下 的 像 的 方 程 为

x ? y ? 2 ? 0 .????7 分
(2)解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? , 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ???????3 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) ,????4 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1), 半径 r ? 1,则 MC ? 5 ,????????????????????6 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 .即 MN 的最大值为 5 ? 1 ????????7 分 (3) (Ⅰ)证明:左边= a x ? a y ? b x ? b y ,
2 2 2 2 2 2 2 2

右边= a x ? 2abxy ? b y ,
2 2 2 2 2

左边 ? 右边 ? a y ? b x ? 2abxy ? (ay ? bx) ? 0 ,
2 2 2 2

??????2 分

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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 命题得证 . ?????????3 分 ? 左边 ? 右边 , u?v u ?v ,y? (Ⅱ)令 u ? x ? y, v ? x ? y ,则 x ? , 2 2 ? x2 ? y 2 ? 2 , ?(u ? v)2 ? (u ? v)2 ? 8 , ?u 2 ? v2 ? 4 , ?????????4 分 1 1 2 2 由柯西不等式得: ( 2 ? 2 )(u ? v ) ? 4 , ?????????5 分 u v 当且仅当 u ? v ? 2 ,即 x ? ? 2 , y ? 0 ,或 x ? ,0 y ? ? 2 时???6 分 1 1 ? 的最小值是 1 . ????????7 分 2 ( x ? y) ( x ? y)2
解法 2:? x2 ? y 2 ? 2 ,? ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? 4 ,
2 2

1 1 ? 2 2 ? ? ? x ? y? ? ? x ? y? ? ? ? 4, 2 2 ? ? ( x ? y) ( x ? y) ?
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??????4 分

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当且仅当 x ? ? 2 , y ? 0 ,或 x ? 0, y ? ? 2 时

1 1 ? 的最小值是 1. 2 ( x ? y) ( x ? y)2

??????7 分

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