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2006年普通高等学校招生全国统一考试知识汇编第八章:圆锥曲线的方程


2006 年普通高等学校招生全国统一考试圆锥曲线的方程知识汇编
1. (2006 年福建卷) 已知双曲线

x2 y 2 o ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60 2 a b

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( C ) (A) (1, 2] (B) (1, 2) (C) [2, ??) (D) (2, ??) 2. (2006 年安徽卷)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 ( ) A. ?2
2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D. 4

B. 2

C. ? 4

解:椭圆 故选 D。

x y ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 , 6 2

3. (2006 年广东卷)已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到 右准线的距离之比等于 A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3 ? x2 y 2 ? 1(a ? 2) 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离 4. (2006 年陕西卷)已知双曲线 2 ? 3 a 2
3.依题意可知 a ? 3, c ?

a2 ? b2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?

心率为 (D) (A)

2 3 3

(B)

2 6 3

(C) 3

(D)2

5. (2006 年上海春卷)抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为( B ) (A) ( 0, 1 ) . (B) ( 1, 0 ) . (C) ( 0, 2 ) . 6. (2006 年上海春卷)若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程

(D) ( 2, 0 ) .

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线”的( A ) k ?3 k ?3 (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件. x2 7. (2006 年全国卷 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 x2 y2 4 8. (2006 年全国卷 II) 已知双曲线 2- 2=1的一条渐近线方程为 y= x, 则双曲线的离心率为 (A ) 3 a b 5 4 5 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 4 2
9. (2006 年四川卷)已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨 迹所包围的图形的面积等于(B) (A) 9? (B) 8? (C) 4?
2

(D) ?

10. (2006 年四川卷)直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的 准线作垂线,垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为(A) (A) 48 (B) 56 (C) 64 (D) 72

11. (2006 年四川卷)如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 25 16 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 F 是椭圆的一个焦点, 分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,
则 PF _______ 35 _________; ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

12 . ( 2006 年天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为 F1 (?3,0) 、 F2 (3,0) ,一条渐近线方程为

y ? 2 x ,那么它的两条准线间的距离是( C )
A. 6 3 B. 4 C. 2 D. 1 13. (2006 年湖北卷) 设过点 P?x, y ?的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、B 两点, 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹 方程是(D) A. 3 x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

14.解选 D.由 BP ? 2 PA 及 A, B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上知, A(

3 ???? x,3 y ) ,由点 Q 与点 P 关于 y 轴对称知,Q(? x, y) ,OQ = (? x, y) ,则 2 ???? ??? ? 3 3 OQ ? AB ? (? x,3 y ) ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 。 2 2
B(0,3 y) , AB ? ( ?
15. (2006 年全国卷 I)双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
2 2

??? ?

3 x, 0), 2

A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

15.一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下,因为 等号后为常数“+” ,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2 的系数为“+” ,所以这个双曲线 是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线, “x2”与“y2”的系

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 数的符号就不能相同。在接下来是一个“坑儿” :双曲线的标准形式是 a 或a

x2 ? y2 ? 1 1/ | m | a , b ? 0 ( ) ,题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变一下形儿,变成 。 1 1 :1 ? 4 m?? 4 。选 A。当然,我 由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4。即 | m | ,所以 ?
们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出来 这个题的形式我们见的真是太多了,总结起来八个字: “没有坡度,只有陷阱” 。也就是说, 题目本身并不很难,但是它总在视觉上(不是知识上,是视觉上)给人挖“坑儿” 。一般情况下, “坑儿”有三种:⑴ 不声明曲线是站着的还是躺着的;⑵ 该写在分母上的不往分母上写;⑶ 该 写成平方形式的不写成平方。

1 仔细品味这个题,选择支的选项并没有出现“ ?2 ”或“ 2 ”这样的支项,也就是说第⑶点 ?
并没有考察;第⑴点有所涉及,但似乎故意做了淡化,C、D 选项几乎是用眼睛扫一下就排除了;
2 2 2 2 主要考察的还是第⑵点。如果题目干项中将“ mx ? y ? 1 ”改成“ mx ? y ? t (t 为非零常数) ” ,

1 同时支项中出现“ ? 2” 、 “ 2 ”这样的干扰项,那就三点兼顾了。 ?
值得一提的是,在二次曲线中,还有一个“坑儿”需要引起注意:那就是“轴和半轴” 、 “距

x2 y 2 ? 2 ? a ? b ? 0? 2 b 和半距” 。例如:椭圆 a 中, a 是半长轴而非长轴, c 是半焦距而非焦距。 这些问题虽然很小,但同时也是眼高手低者们(包括我在内)比较爱犯的通病。我个人认为, 这个题其实是用来考察非智力因素的:就看细心不细心。 16. (2006 年全国卷 I)抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5
d?

D. 3

| 4t ? 3t 2 ? 8 | | 3t 2 ? 4t ? 8 | ? 2 5 5 16 .抛物线上任意一点( t , ?t )到直线的距离 。因为 1 d ? 3t 2 ? 4t ? 8 42 ? 4 ? 3 ? 8 ? 0 , 所 以 3t 2 ? 4t ? 8 ? 0 恒 成 立 。 从 而 有 5 ,

?

?

1 4 ? 3 ? 8 ? 42 4 d min ? ? ? 5 4?3 3 。选 A。 17. (2006 年全国卷 I)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个三角 形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为
A. 8 5cm B. 6 10cm C. 3 55cm D. 20cm 17.我们普遍了解这样一个事实:在周长一定的 n 边形中,正 n 边形面积最大。或许这个东 西有点超纲,但是请原谅,我一时半会想不出用教材上的办法来解决此题。 当 n = 3 时,这个普遍了解的事实可以用椭圆的知识这样来感性地解释: 设三角形△ABC 的周长 l 为定值,角 A、B、C 分别对应三边 a、b、c。 先固定 B、C 两点,则 b + c 是定值,这意味这点 A 在 B、C 为焦点的椭圆上(去除俩长轴端 点) , 当 A 为椭圆的短轴端点时, A 到线段 BC 的距离最远, 此时△ABC 为等腰三角形, 满足 b = c。 ① 假若 a ? b ,我们再固定 A、C 两点,再次调整点 B 的位置。由 ① 我们知道, a ' ? c ' 时,△ ABC 面积最大。所以: 点 a ' 对应的点被 a、b 分别对应的两个点“夹逼”着。无论是用代数语言还是几何语言,我们都 能得到结论:再次调整后 | a '? b ' | ? | a ? b | 。② 只要类似于①、② 的调整我们可以一直进行,每进行一次,三角形的三边就“接近一次” , 直到三边长最接近。最接近的情况当然是正三角形。 (以上只是感性理解,并不代表证明。 ) 按照我们所普遍了解的事实,调整 3 个边尽可能的相等:7,7,6 此时三角形面积为: 6 10 。选 B。
2

2

2

2

2

a' ?

a '? c ' a ? c a ? b ? ? 2 2 2 ,即 a ' ? (a,b) 。或者换句话说,在数轴上,

18. (2006 年江西卷) 设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y =4x 的焦点, A 是抛物线上一点, 若 OA ? AF =-4,则点 A 的坐标是(B ) A. (2,?2 2 ) B. (1,?2) C.(1,2)D.(2,2 2 )
2 ??? ? ?? ? y0 y2 y2 ,y0)则 OA =( 0 ,y0) , AF =(1- 0 ,-y0) ,由 4 4 4

???? ??? ?

解:F(1,0)设 A(

??? ? ??? ? OA ? AF =-4?y0=?2,故选 B x 2 y2 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和 19. (2006 年江西卷)P 是双曲线 - = 9 16
(x-5) +y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D )
2 2

A. 6 B.7 C.8 D.9 解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆心, 当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时 |PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9 故选 B 20. (2006 年辽宁卷)曲线 (A)焦距相等
2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(C)焦点相同 (D)准线相同
2

(B) 离心率相等

【解析】由

x y ? ? 1(m ? 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由 10 ? m 6 ? m

x2 y2 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。 5?m 9?m
【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义,同时着重考查了审题能力即参数范 围对该题的影响。 21. (2006 年辽宁卷)直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 的公共点的个 (k ? R ,且k ? 0 ) 数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】将 y ? 2k 代入 9k 2 x2 ? y2 ? 18k 2 x 得: 9k 2 x2 ? 4k 2 ? 18k 2 x

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选
择答案 D。 【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧,同时对二次方程的实根分布也进 行了简单的考查。 22. (2 0 0 6 年 上海卷)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长

x2 y 2 ? ?1 . 16 4 23. (2 0 0 6 年 上海卷)若曲线 y 2 =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分别应满 足的条件是 k =0,-1< b <1 . 2 1 x ? y 2 ? 1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m = 24. ( 2006 年浙江卷)若双曲线 3 m
的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 ( C) (A)

1 2

(B)

3 2
2

(C)

1 8

(D)

9 8

y2 25. ( 2006 年湖南卷)过双曲线 M: x ? 2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的 b
两条渐近线分别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C. A )

10 3

D.

5 2

26.(2006 年山东卷)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距 离为 1,则该椭圆的离心率为 (B)

2 4 ?5 x ? 11y ? ?22, ? 27. (2006 年山东卷) 某公司招收男职员 x 名, 女职员 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
(A) 2 (B) (C) (D) 则 z=10x+10y 的最大值是 (C)

2 2

1 2

(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 28.(2006 年山东卷)已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 y12+y22 的最小值是 32 .

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近 29.(2006 年山东卷)双曲线 C 与椭圆 8 4
线. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合). 当 PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 29.(1) x ?
2

??? ?

??? ?

??? ?

8 时,求 Q 点的坐标. 3

y2 ? 1;(2) Q(?2, 0) . 3 x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。 30. (2006 年福建卷) 已知椭圆 2 (I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程;
(II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围。
y

B

l

F A

G

O

x

30.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法, 考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解: (I)? a2 ? 2, b2 ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2. ? 圆过点 O、F,
y

1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上。 2 1 设 M ( ? , t ), 则圆半径 2 1 3 r ? (? ) ? (?2) ? . 2 2
由 OM ? r, 得 (? ) ? t ?
2 2

B

l

F A

G

O

x

1 2

3 , 2

解得 t ? ? 2.

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . 2 4 (II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2 ? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。
代入

记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1

1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). k 令 y ? 0, 得

xG ? x0 ? ky0 ? ? ? k ? 0,??

2k 2 k2 k2 1 1 ? ? ? ?? ? 2 . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2

1 ? xG ? 0, 2

1 ? 点 G 横坐标的取值范围为 (? , 0). 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲线 C a 2 b2 右支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行 四边形, PF ? ? OF 。 (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; y (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。 H M P | PM | ?c ,作 解:∵四边形 OFPM 是 ? ,∴ | OF | ?
31. (2006 年安徽卷)如图,F 为双曲线 C:

a2 双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2 ,又 c | PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 e? ? ? ? ? , a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c 2 e ? ?e ? 2 ? 0 。
2 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为

x

O

F

第 22 题图

x2 y2 ? ? 1 四边形 OFPM 是 4a 2 3a 2 菱形,所以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 9 x2 ? 48ax ? 60a 2 ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 (

48a 2 60a 2 ,解得 ) ?4 9 9

a2 ?

9 27 x2 y 2 2 ? ? 1 为所求。 ,则 b ? ,所以 4 4 9 27 4

32. ( 2006 年重庆卷)已知一列椭圆 Cn:x2+

y 2 =1. 0<b <1,n=1,2. ? .若椭圆 C 上有一点 P 使 P n n n bn2

到右准线 ln 的距离 d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中 Fn、Cn 分别是 Cn 的左、右焦点.

3 (n≥1); 2 2n ? 3 (Ⅱ)取 bn= ,并用 SA 表示 ? PnFnGn 的面积,试 n?2
(Ⅰ)试证:bn≤

证:S1<S1 且 Sn<Sn+3 (n≥3). 图(22)图 证: (1)由题设及椭圆的几何性质有

2dn ?| Pn Fn | ? | PnGn |? 2, 故dn ? 1.
设 tn ? 1 ? bn , 则右准线方程为
2

ln x ?

1 . ex

因此,由题意 dn 应满足

1 1 ? 1 ? d n ? ? 1. ex ex

?1 1 ? ?1 ? 1 即 ? ex ,解之得: ? en< 1, 2 ?0<e < n 1 ? 1 1, 即 ? en< 2 3 从而对任意 n ? 1, bn ? . 2 (Ⅱ)设点 P xn , f n) , 则出dn ? 1及椭圆方程易知 n的坐标为( 1 xn ? ? 1, en 1 2 2 2 2 yn ? bn (1 ? xn ) ? (1 ? cn )(1 ? ( ? 1)2 ) cn
得两极 内是减函数. 现在由题设取 bn ? 知

1 1 ? 13 1 ? 13 1 ? 13 ,从而易知 f(c)在( , )内是增函 数,而在( ,1) 2 6 6 6

2n ? 3 n ?1 1 2 , 则cn ? 1 ? bn ? ?1? , c, 是增数列 . 又易 n?2 n?2 n?2

3 1 ? 13 4 c2 ? < < ? cn . 4 6 5 故由前已证,知 S1<S2,且Sn<Sn ?1 (n ? 3).
33. (2006 年上海春卷)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物 100 25 64 ? ? 线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 7 ? ? D( 8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2) 试问: 当航天器在 x 轴上方时, 观测点 A 、 B 测 得 离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨 指 令?
器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

33. [解](1)设曲线方程为 y ? ax 2 ? 由题意可知, 0 ? a ? 64 ?

64 , 7

64 . 7

1 ? a?? . 7

??4 分

1 64 . ??6 分 ? 曲线方程为 y ? ? x 2 ? 7 7 (2)设变轨点为 C ( x, y ) ,根据题意可知
? x2 y2 ? (1) ? ?100 25 ? 1, 得 4 y 2 ? 7 y ? 36 ? 0 , ? 1 64 ?y ? ? x2 ? , (2) ? 7 7 ? 9 y ? 4 或 y ? ? (不合题意,舍去). 4 ? y ? 4. x ? 6 或 x ? ?6 ( 不 合 题 意 , 舍 去 ) . 得 ( 6, 4 ) , ??11 分

??9 分 C 点 的 坐 标 为 ?

| AC |? 2 5 , | BC |? 4 .
答 : 当 观 测 点 A 、 B 测 得 AC、BC 距 离 分 别 为 2 5、 4 时 , 应 向 航 天 器 发 出 变 轨 指 令. ??14 分 → → 34. (2006 年全国卷 II)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF =λ FB (λ>0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M. →→ (Ⅰ)证明 FM · AB 为定值; (Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值. 21.解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ>0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1), ?-x1=λx2 ① ? ?1-y1=λ(y2-1) ② 1 1 将①式两边平方并把 y1= x12,y2= x22 代入得 y1=λ2y2 ③ 4 4 1 解②、③式得 y1=λ,y2= ,且有 x1x2=-λx22=-4λy2=-4, λ 1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 1 y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2, 2 2 1 1 2 1 1 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x22. 2 4 2 4 → → x1+x2 1 1 1 所以 FM · AB =( ,-2)· (x2-x1,y2-y1)= (x22-x12)-2( x22- x12)=0 2 2 4 4

→→ 所以 FM · AB 为定值,其值为 0.

??7 分 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 x1+x2 1 2 1 2 1 |FM|= ( )2+(-2)2= x + x + x x +4 2 4 1 4 2 2 1 2 1 = y1+y2+ ×(-4)+4 2 1 1 = λ+ +2= λ+ . λ λ 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+ +2=( λ+ )2. λ λ 1 1 3 于是 S= |AB||FM|=( λ+ ) , 2 λ 1 由 λ+ ≥2 知 S≥4,且当 λ=1 时,S 取得最小值 4. λ 35. (2006 年四川卷)已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

???? ? ???? 2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的

?

轨迹是曲线 E , 直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点, 如果 AB ? 6 3 , 且曲线 E 上存在点 C , 使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S? 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析 几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。 解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2 2, 0 为焦点的双曲线的左支,

??? ?

??? ?

??? ?

?

? ?

?

且c ?

2, a ? 1 ,易知 b ? 1
2 2

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1? x ? 0? 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

?

?

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2
2 2 2 2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k ? ? ? 4? 2 ? 1? k 2 ? 1? k ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

5 x ? y ?1 ? 0 2 ??? ? ??? ? ??? ? 设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ?
故直线 AB 的方程为 ∴ ? mxc , myc ? ? ? 又 x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

2k 2k 2 2 ? ? 4 5 , y ? y ? k x ? x ? 2 ? ?2? 2 ?8 ? ? 1 2 1 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

? ? ∴点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2

80 64 ? ?1 m2 m2

?
?

?

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?

1 3

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

36. (2006 年全国卷 I)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、

?

?

?

?

3 的椭圆, 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C, 动点 P 在 C 上, C 在点 P 处的切线与 x、 y 2 ???? ? ??? ? ??? ? 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB 。求:
离心率为 (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) OM 的最小值。

???? ?

c a? ?2 e 36.解: (I)根据题意,椭圆半焦距长为 3 ,半长轴长为 ,半短轴长 b ? 1 ,即椭
y x ? ?1 4 圆的方程为 。
2 2

设点 P 坐标为( cos ? , 2sin ? ) (其中

0 ?? ?

?
2) ,则

y x cos? ? sin ? ? 1 2 切线 C 的方程为: 2 1 点 A 坐标为: ( cos ? ,0) ,点 B 坐标为(0, sin ? )

2 1 点 M 坐标为: ( cos ? , sin ? )
?1? ? 2? ? ? ? ? ? ?1 所以点 M 的轨迹方程为: ? x ? ? y ? ( x ? 0 且 y ? 0)
? 1 ? ? 2 ? ? f ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ?? ? ? cos? ? ? sin ? ? (其中 2 )的最小值 (II)等价于求函数
4 ? 1 ? ? 2 ? 2 2 2 g ?? ? ? ? ?5?9 ? ?? ? ? ?1 ? tan ? ? ? 4 ?1 ? cot ? ? ? tan ? ? tan 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 4 tan 2 ? ? tan 2 ? 时等号成立,此时即 tan ? ? 2 。 当 ???? ? OM ? gmin ?? ? ? 3 min 因此,点 M 坐标为( 3 , 6 )时,所求最小值为 。
37. (2006 年江苏卷)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。
2 2

2

2

2

2

x2 y2 解: (I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为 2 + 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 a b

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为 P?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 、 F2 ' (0,6)
设所求双曲线的标准方程为
2

∴a ? 3 5 ,

x y2 ? 1; + 45 9

(II)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,
∴ a1 ? 2 5 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

y 2 x2 ? 1。 20 16

点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力 38. (2006 年湖北卷)设 A 、 B 分别为椭圆

长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相交于异 于 A 、 B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内. (此题不要求在答题卡上画图)

x2 y 2 ? ? 1?a, b ? 0? 的左、右顶点,椭圆长半轴的 a2 b2

38.点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

a2 解: (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从 c
-4

2

M

1

A -2

2

B

4

-1

N
-2

-3

而 b= 3 .故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 (4-x02). 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,

6 y0 6 y0 ). 从而 BM =(x0-2,y0) , BP =(2, ). x0 ? 2 x0 ? 2

∴ BM · BP =2x0-4+

6 y0 2 = (x02-4+3y02). x0 ? 2 x 0 ? 2
5 (2-x0). 2

2

2 ○

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 MN =( 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] 4 4 2 2
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
2

4 ○

2

2

又点 M 在椭圆上,则

5 ○

于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

x 2 y2 1 (a?b?0)的右焦点 F(c,0) 39. (2006 年江西卷)如图,椭圆 Q: 2 + 2 = ,过点 F 的一动 a b

直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点 (1) 求点 P 的轨迹 H 的方程

(2) 在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0???

? ) ,确定?的值,使原点距椭圆 2

的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时,三角 形 ABD 的面积最大? 39.解:如图, (1)设椭圆 Q:

x 2 y2 + =1 (a?b?0) a 2 b2

上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P(x,y) ,则
2 2 2 2 2 2 ? 1) ?b x1+a y1=a b ????( ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x 2+a y 2=a b ????(2)

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

y

?

y1-y2 b2 x y =- 2 = x1-x 2 a y x-c
O

B

?b2x2+a2y2-b2cx=0????(3) 2?当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程 故所求点 P 的轨迹方程为: b2x2+a2y2-b2cx

D F X

(3) =0 距l

a2 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x= , 原点 c A a2 的距离为 ,由于 c2=a2-b2,a2=1+cos?+sin?,b2 c ? (0??? ) 2 2 ? ? a 1+cos ?+sin ? 则 = =2sin( + ) 2 4 c 1+cos ? ? 当?= 时,上式达到最大值。此时 a2=2,b2=1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1 2 x2 2 1上的点 A(x1,y1) 设椭圆 Q: +y = 、B(x2,y2) ,三角形 ABD 的面积 2 1 1 1 S= |y1|+ |y2|= |y1-y2| 2 2 2 x2 2 1中,得(2+k2)y2+2ky-1=0 设直线 m 的方程为 x=ky+1,代入 +y = 2 2k 1 由韦达定理得 y1+y2= - ,y1y2= - , 2 2+k 2+k 2 8(k 2+1) 4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4 y1y2= 2 (k 2+2) 8t 8 8 令 t=k2+1?1,得 4S2= = ? =2 ,当 t=1,k=0 时取等号。 2 (t+ 1) t+1+2 4 t
因此,当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时,三角形 ABD 的面积最大。

l



sin?

40. (2006 年天津卷) 如图, 以椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? a2 b2

的中心 O 为圆心,分别以 a 和 b 为半径作大圆和小圆。过 椭圆右焦点 F ?c,0??c ? b? 作垂直于 x 轴的直线交大圆于 第一象限内的点 A .连结 OA 交小圆于点 B .设直线 BF 是小圆的切线. (1)证明 c ? ab ,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐 标; ( 2 ) 设 直 线 BF 交 椭 圆 于 P 、 Q 两 点 , 证 明
2

??? ? ???? 1 OP ? OQ ? b 2 . 2 40. M (0, a) ;略.
41 . ( 2006 年 辽 宁 卷 )
2







A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点 , O 是坐标原点 , 向量 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;
2 5 时,求 p 的值。 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB) ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 整理得: x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB ??? ? ??? ? 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1 去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
即 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB) ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1) 以线段 AB 为直径的圆的方程为

??? ? ??? ?

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径
(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 2 ? y1 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 2 2 所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p
设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

| ( y ? p) 2 ? p 2 | ? 5p
当 y=p 时,d 有最小值

?p ? 2.

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 x ?x yy 1 1 x? 1 2 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y2 ? 2 p2 ) p 所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2
设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点,

2 5 ,则 5

所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为

2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3) 2 2 将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0 ?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 2 ? y1 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0) |

y12 y2 2 4 p2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ?? y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ? ?4 p2 1 | ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p
? ( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 4 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

?p ? 2.

【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识, 以及综合运用解析几何知识解决问题的能力. 42. (2006 年北京卷)已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W . (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

??? ? ??? ?

x2 ? y 2 ? 1( x ? 2) ; 19. (Ⅰ) (Ⅱ)20。 2 43. (2 0 0 6 年 上海卷)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点.
(1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. [解](1) (2) 44. ( 2006 年浙江卷)如图,椭圆 只有一个公共点 T,
?? ? ?? ?

x2 y 2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且 a 2 b2

且椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆方程;

3 . 2

(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T. 44.

x2 ? 2 y2 ? 1 。 2

45. ( 2006 年湖南卷)已知椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公 4 3

共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值, 使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在, 求出符合条件的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由. 45.(Ⅰ) m =0, p ? (Ⅱ) m ?

9 ; 8

4 6 6 ,或 m ? ? ,p? 。 3 3 3

解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 3 3 x=1,从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方 程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

??①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 ? 4k 2

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 4?6p 8k 2 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 3 ? 4k 3 AB ? ( x1 ?
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .

8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 由? 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 3 2 1 2k 8 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? ) 2 ? x . 3 3 3 3

??①

即 k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2) x ?

4 3

4k 2 ?0. 9

??②
4( k 2 ? 2) 3k 2

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

??③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4( k 2 ? 2) 3k 2

8k 2 3 ? 4k 2

.

. 解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 3 ? 4k 2 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 = 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

8k 2

当m ? ?

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 2 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) , 3 p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2 2 16 即 x1 ? x 2 ? (4 ? p) ? . 3 9 由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) , 所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?
2m . 3
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

??① ??②

??③ ??④

2 2 ? y ? y1 ?3x ? 4 y1 ? 12 ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ? ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 或m ? ? ,即 m ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3

当m ? ?

6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

x1+x2 x1x2 x1+x2 解出两条切线的交点 M 的坐标为( , )=( ,-1). 2 4 2

??4 分



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