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安徽省黄山市屯溪一中2015-2016学年高一数学上学期期中试题


屯溪一中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高一数学试题
(考试时间:120 分钟 试卷分值:150 分)

注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题,其答案必须写在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无 效,不予记分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题

共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,选 择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置。) 1.设集合 S ? y y ? 3x , x ? R , T ? y y ? x 2 ? 1, x ? R ,则 S ? T = A. ? B. S C. T D. ??0,1??

?

?

?

?

2.下列哪组中的函数 f ( x) 与 g ( x) 是同一函数 A. f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4 C. f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x 3 3.若 a ? 40.9 , b ? 80.48 , c ? 0.5?1.5 则 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b B. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

x2 ?1 x

D. f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) , g ( x) ?

x ?1 x ? 2

4.函数 y ? lg(? x 2 ? 4 x) 的单调递增区间是 A.(- ? ,2] 5.函数 y ? a ?
x

B.(0,2]

C.[ 2 ,?? )

D.[2,4)

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

6.函数 f ( x )= A. (0,1)

1 (x ? R) 的值域是 1+x 2
B. (0,1] C. [0,1) D. [0,1]

-1-

7.若 f ( x) ? x 4 ,则不等式 f ( x) ? f (8x ? 16) 的解集是 A. [2,

1

16 ) 7

B. (0, 2]

C. [2, ??)

D. (0, ??)

8.已知函数 f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 A. 0 ? m ? 4 B. 0 ? m ? 1 C. m ? 4 D. 0 ? m ? 4

9. 已知函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上单调函数, 若对任意 x ? (0, ??) , 都有 f ( f ( x ) ? ) ? 2 , 则 f ( ) 的值是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

1 x

1 5

? 1 x 3 ?( ) ? , ( x ? 2) 10.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则实数 k 的 4 ? ?log 2 x, (0 ? x ? 2)
取值范围是 A. ( ,1)

3 4

B. [ ,1)

3 4

C. [ ,1]

3 4

D. (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。答案填在答题卷上。) 11.若函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间 (a, 3a ? 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围 是 .
x x

12.若关于 x 的方程 9 ? (1 ? a)3 +2=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是
x



13 . 若 函 数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在 [?1, 2] 上 的 最 大 值 为 4, 最 小 值 为 m , 且 函 数

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a ?



2 2 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? (1 ? x )( x ? ax ? b) 的 图 象 关 于 直 线 x ? ?2 对 称 , 则 函 数

g( x) ? x2 ? ax ? b 的零点之和为



15.设有限集合 A ? ?a1, a2 ,?, an ? ,则 a1 ? a2 ? ? ? an 叫做集合 A 的和,记作 S A .

-2-

* 若集合 P ? x x ? 2n ? 1, n ? N , n ? 4 ,集合 P 的含有 3 个元素的全体子集分别记为

?

?

P 1, P 2 ,?, P k ,则 P 1?P 2 ??? P k ?


三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 写在答题卷相应位置。) 16.(本题满分 12 分)
2 2 已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? x | x ? 2 ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰

?

?

?

?

含有一个整数,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? log3 x , x ? [1,9] ,求函数 y ? [ f ( x)] ? f ( x ) 的值域.
2 2

18.(本题满分 12 分)
2 已知二次函数 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,其中 a ? b ? c ? 0 ,且 f (0) ? f (1) ? 0 .

(Ⅰ)求

b 的取值范围; a

(Ⅱ)若 x1 , x2 是方程 f ( x) ? 0 的两个实根,求 x1 ? x2 的取值范围.

-3-

19.(本题满分 13 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车 流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时.研究表明,当 20≤ x ≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (Ⅰ)当 0≤ x ≤200 时,求函数 v( x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)

f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

20.(本题满分 13 分) 设 a, b ? R ,且 a ? 2 ,定义在区间 (?b, b) 内的函数 f ( x ) ? lg (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 b 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 f ? x ? 的单调性.

1 ? ax 是奇函数. 1? 2x

-4-

21.(本题满分 13 分) 已知两条直线 l1 : y ? a 和 l2 : y ?

18 (其中 a ? 0 ),若直线 l1 与函数 y ? log4 x 的图象 2a ? 1

从左到右相交于点 A, B , 直线 l2 与函数 y ? log4 x 的图象从左到右相交于点 C , D . 记线段

AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 m, n .令 f (a ) ? log 4
(Ⅰ)求 f ( a ) 的表达式;

n . m

(Ⅱ)当 a 变化时,求出 f ( a ) 的最小值,并指出取得最小值时对应的 a 的值.

屯溪一中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高一数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,选 择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置。) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 D 9 B 10 A

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。答案填在答题卷上。)

11.

1 2 ?a? 2 3

12. a ? ?1 ? 2 2

13.

1 4

14. ?8

15. 48

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 写在答题卷相应位置。) 16.(本题满分 12 分)
-5-

解 : A ? x x ? ?3或x ? 1 , 因 为 函 数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 的 对 称 轴 为 x ? a ? 0 ,

?

?

f (0) ? ?1 ? 0 ,根据对称性可知要使 A ? B 中恰含有一个整数,则这个整数为 2 ,所以有

? a? ? 4 ? 4 a ? 1 ? 0 ? ? ,所以 ? f (2) ? 0且 f (3) ? 0 ,即 ? ?9 ? 6a ? 1 ? 0 ?a ? ? ?
17. (本题满分 12 分) 解:首先求函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x 2 ) 的定义域,有 ? 所以 1 ? x ? 3 函数的定义域为 [1,3] .

3 3 4 4 ,即 ? a ? . 4 4 3 3

?1 ? x ? 9 ?1 ? x ? 9
2

,则 ?

?1 ? x ? 9 , ?1 ? x ? 3或 ? 3 ? x ? ?1

又 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) ? (2 ? log3 x)2 ? 2 ? log3 x2 ? (log3 x)2 ? 6log3 x ? 6 令 t ? log3 x ,由 x ? [1,3] 知: t ?[0,1] ∴ y ? t 2 ? 6t ? 6 ? (t ? 3)2 ? 3 ,该函数在 t ?[0,1] 上递增 ∴当 t ? 0 ,即 x ? 1 时 ymin ? 6 ; 当 t ? 1 ,即 x ? 3 时 ymax ? 13 故函数的值域为 [6,13] .

18.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f (0) ? c, f (1) ? 3a ? 2b ? c ,由 ? 消去 c 得: (b ? a)(b ? 2a) ? 0 ,
2 2 由题意 a ? 0 ,∴ a ? 0 ,上述不等式两边同除以 a 得:

?a ? b ? c ? 0 ?c(3a ? 2b ? c) ? 0 ,即 ? ? f (0) ? f (1) ? 0 ?a ? b ? c ? 0

b b b b ( ? 1)( ? 2) ? 0 ,∴ ?2 ? ? ?1 ,即 的取值范围是 (?2, ?1) . a a a a (注:此题分别对 a ? 0 和 a ? 0 分情况讨论也可)
2 x ( Ⅱ ) 由 题 意 : ∵ a ? b ? c ? 0 , ∴ c ? ? a ? b, 方 程 3a x ? 2 b ?

c ? 0即 为

-6-

3ax 2 ? 2bx ? a ? b ? 0
显然判别式 ? ? 4b2 ? 4a(a ? b) ? 4(b2 ? ab ? a2 ) ? 0 ∴ x1 , x2 即为方程 3ax 2 ? 2bx ? a ? b ? 0 的两根, 则 x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?

2b 2 a ? b 2 b 2 3b ) ?4 ? ( ) ? ?3 3a 3a 3 a a

∴ x1 ? x2 ?

2 b 3 2 3 b b 3 3 3 ( ? ) ? ,由(Ⅰ)的结论 ?2 ? ? ?1 知: ( ? ) 2 ? ? [ ,1) a a 2 4 4 3 a 2 4
3 2 , ). 3 3

从而 x1 ? x2 ? [

19.(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 ? ?a=-3, 解得? 200 ? ?b= 3 ,

? ?200a+b=0, 由已知得? ?20a+b=60, ?

60,0≤x≤20, ? ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)=?200-x ,20<x≤200. ? ? 3 (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得

?60 x, (0 ? x ? 20) ? f ( x) ? ? x(200 ? x) , (20 ? x ? 200) ? 3 ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值 60×20=1 200; 当 20<x≤200 时, f ( x) ?

1 1 x ? 200 ? x 2 10000 x(200 ? x) ? ( ) ? . 3 3 2 3

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 f(x)max= ≈3333,即当车 3 流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

-7-

20.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) ? lg

1 ? ax 是奇函数等价于: 1? 2x
1 ? ax 1 ? 2 x ? , 1 ? 2 x 1 ? ax

对任意的 x ? (?b, b) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,即

即 (a 2 ? 4) x2 ? 0 对任意 x ? (?b, b) 恒成立,∴ a 2 ? 4 ? 0 又 a ? 2 ,∴ a ? ?2

1 ? ax 1? 2x 1 1 ? 0 ,即 ? 0 得 ? ? x ? ,此式对任意 x ? (?b, b) 恒成立 1? 2x 1? 2x 2 2 1 1 1 1 1 则有 ( ?b, b) ? ( ? , ) ,∴ ? ? ?b ? b ? ,得 b 的取值范围是 (0, ] . 2 2 2 2 2 1 1 1 (Ⅲ)设 ?b ? x1 ? x2 ? b ,由 b ? (0, ] 得: x1 , x2 ? ( ? , ) 2 2 2
(Ⅱ)由

\ ∴ 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 0 , 1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 0 ,即 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? 0 所以 0 ?

(1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ?1 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ) ? lg ? lg ?0 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 (1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 )

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? lg ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 )

∴ f ( x ) 在 (?b, b) 内是单调减函数.

21.(本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 A( xA , yA ), B( xB , yB ), C( xC , yC ), D( xD , yD ) , 则 xA ? 4 , xB ? 4 , xC ? 4
a
18

?a

?

18 2 a ?1

, xD ? 4

18 2 a ?1



18 n 4a ? 4 2 a ?1 4a ? 4 2 a ?1 a ? 2 a ?1 ? ? 4 则 ? 18 1 1 ? m ? 18 4? a ? 4 2 a ?1 a 4 4 2 a ?1

18

∴ f ( a ) ? log 4

n 18 ?a? m 2a ? 1

-8-

(Ⅱ) f (a) ? a ?

1 1 18 1 9 1 ?a? ? ? ,令 x ? a ? ,则 x ? ( , ??) 2 2 2a ? 1 2 a? 1 2 2 9 1 1 在 x ? ( , ??) 的单调性知, 当 x ? ( ,3) 时单调减, 当 x ? (3, ??) x 2 2

考察函数 u ( x ) ? x ? 单调增

∴当 x ? 3 时, u ( x) 有最小值 6 , 此时 a ?

1 5 5 11 ? 3 ,即 a ? 时 f (a ) 有最小值为 f ( ) ? . 2 2 2 2

-9-


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