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浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)


浙江省温州市十校联合体 2015 届高三上学期第一次月考数学试 卷(理科)
一.选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)若全集 U={﹣1,0,1,2},P={x∈Z|x <2},则?UP=() A.{2} B.{0,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,0,2} 2. (5 分)已知 a,b 是实数,则“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是

“ab>0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)下列式子中成立的是() A.log0.44<log0.46 0.3 0.3 C. 3.5 <3.4
2

B. 1.01 >1.01 D.log76<log67

3.4

3.5

4. (5 分)在等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=12,则此数列的前 13 项之和为() A.24 B.39 C.52 D.104 5. (5 分)函数 的大致图象为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣π) ,g(x)=cos(x+π)则下列结论中正确的是() A.函数 y=f(x)?g(x)的最小正周期为 2π B. 函数 y=f(x)?g(x)的最大值为 2 C. 将函数 y=f(x)的图象向左平移 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移 单位后得 y=g(x)的图象 单位后得 y=g(x)的图象

7. (5 分)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 相邻的对称轴,则 φ=() A. B.

和 x=

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条

C.

D.

8. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.3

2

2



9. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0

10. (5 分)已知函数

,若关于 x 的方程 f(x +2x)=a(a∈R)有六个

2

不同的实根,则 a 的取值范围是() A.(2,8] B.(2,9]

C.(8,9]

D.(8,9)

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. (4 分)若函数当 f(x)= ,则 f(x)的定义域是.

12. (4 分)已知等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2﹣4,则 an=. 13. (4 分)若 =3,则 sin2α=.

14. (4 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则| |=.

15. (4 分)数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 a1= ,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=am?an, 若 Sn<a 恒成立则实数 a 的最小值为.

16. (4 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是.

=3



?

=2, 则

?

17. (4 分)具有性质 f(﹣ )=﹣f(x)的函数,我们称其为满足“倒负”变换的函数,下列函 数: (1)f(x)=﹣ ; (2)f(x)=x﹣ ; (3)f(x)=x+ ;

(4)f(x)=



其中不满足“倒负”变换的函数是.

三.解答题:本大题共 4 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (10 分)已知函数 f(x)= sinxcosx+cos x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值.
2

19. (13 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞)且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f( )=1, 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . (1)求 f(1) ,f(2) ; (2)解不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. 20. (14 分)在锐角△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acsinC=(a +c 2 ﹣b )sinB, (1)若 ,求∠A 的大小.
2 2

(2)若三角形为非等腰三角形,求 的取值范围.
2

21. (15 分)已知函数 f(x)=x +bx+4(b∈R) (1)若函数 f(x)在闭区间[1,3]有且只有一个零点,求 b 的取值范围;

(2)对任意 x1,x2∈[﹣1,1],f(x1)﹣f(x2)≤4 恒成立,求 b 的取值范围.

浙江省温州市十校联合体 2015 届高三上学期第一次月考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)若全集 U={﹣1,0,1,2},P={x∈Z|x <2},则?UP=() A.{2} B.{0,2} C.{﹣1,2} D.{﹣1,0,2} 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先解出集合 P,然后根据补集的定义得出答案. 解答: 解:∵x <2 ∴﹣ <x< 2 ∴P={x∈Z|x <2}={x|﹣ <x< 又∵全集 U={﹣1,0,1,2},
2 2

,x∈Z|}={﹣1,0,1},

∴?UP={2} 故选:A. 点评: 此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算,一元二次不等式的解法及 集合间的交、并、补运算布 2015 届高考中的常考内容,要认真掌握,并确保得分. 2. (5 分)已知 a,b 是实数,则“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是“ab>0”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: |a﹣b|=|a|﹣|b|得不到 ab>0, 比如 a=b=0; ab>0 得不到|a﹣b|=|a|﹣|b|, 比如 a=1, b=2, 所以“|a﹣b|=|a|﹣|b|”是“ab>0”的既不充分也不必要条件. 解答: 解:若|a﹣b|=|a|﹣|b|,不一定得到 ab>0,比如 a=b=0; ∴|a﹣b|=|a|﹣|b|不是 ab>0 的充分条件; 若 ab>0,不一定得到|a﹣b|=|a|﹣|b|,比如 a=1,b=2; ∴|a﹣b|=|a|﹣|b|不是 ab>0 的必要条件; 综上得,|a﹣b|=|a|﹣|b|是 ab>0 的既不充分又不必要条件. 故选 D. 点评: 考查充分条件,必要条件,以及既不充分也不必要条件的概念,对于不成立的情况 只需举反例即可. 3. (5 分)下列式子中成立的是()

A.log0.44<log0.46 0.3 0.3 C. 3.5 <3.4

B. 1.01 >1.01 D.log76<log67

3.4

3.5

考点: 幂函数的性质;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;函数思想. 分析: 分别构造函数,根据函数的性质,比较每组函数值的大小 解答: 解:对于 A:设函数 y=log0.4x,则此函数单调递减∴log0.44>log0.46∴A 选项不成立 x 3.4 3.5 对于 B:设函数 y=1.01 ,则此函数单调递增∴1.01 <1.01 ∴B 选项不成立 0.3 0.3 0.3 对于 C:设函数 y=x ,则此函数单调递增∴3.5 >3.4 ∴C 选项不成立 对于 D: 设函数 ( f x) =log7x, g (x) =log6x, 则这两个函数都单调递增∴log76<log77=1<log67∴D 选项成立 故选 D 点评: 本题以比较大小的形式考查指数函数和幂函数的性质,要求对指数函数和幂函数的 单调性熟练掌握.属简单题 4. (5 分)在等差数列{an}中,有 a6+a7+a8=12,则此数列的前 13 项之和为() A.24 B.39 C.52 D.104 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得,a6+a7+a8=3a7 可求 a7,然后代入等差数列的求和公式 =13a7 即可求解 解答: 解:由等差数列的性质可得,a6+a7+a8=3a7=12, ∴a7=4 ∴ =13a7=52

故选 C 点评: 本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式的简单应用,属于基础试题

5. (5 分)函数

的大致图象为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;指数函数的图像与性质. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 观察题设中的函数表达式,应该 以 1 为界来分段讨论去掉绝对值号,化简之后再分 段研究其图象. 解答: 解:由题设条件,当 x≥1 时,f(x)= 当 x<1 时,f(x)= ﹣(x﹣ )=

﹣( ﹣x)= ﹣( ﹣x)=x

故 f(x)=

,故其图象应该为

综上,应该选 D 点评: 本题考查绝对值函数图象的画法,一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做 出图象. 6. (5 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣π) ,g(x)=cos(x+π)则下列结论中正确的是() A.函数 y=f(x)?g(x)的最小正周期为 2π B. 函数 y=f(x)?g(x)的最大值为 2 C. 将函数 y=f(x)的图象向左平移 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移 单位后得 y=g(x)的图象 单位后得 y=g(x)的图象

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 将 f(x) ,g(x)化简,得 f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx,g(x)=cos(x+π)=﹣cosx, 再对 4 个选项逐一判断即可.

解答: 解:由题意得 f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx,g(x)=cos(x+π)=﹣cosx, A,y=f(x)?g(x)= sin2x,最小正周期是 π,故不正确. B,y=f(x)?g(x)= sin2x,最大值为 ,故不正确. C,f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx=﹣sin(x+ D,f(x)=sin(x﹣π)=﹣sinx=﹣sin(x﹣ )=﹣cosx=g(x) ,故正确. )=cosx,故不正确.

故选:C. 点评: 本题主要考察函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的化简与应用,属于基础 题.

7. (5 分)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 相邻的对称轴,则 φ=() A. B.

和 x=

是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及 φ 的范围,确定 φ 的值即可. 解答: 解:因为直线 x= 所以 T= 值与最小值,0<φ<π, 所以 φ= . 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴, +φ)与 sin( +φ)分别是最大

=2π.所以 ω=1,并且 sin(

故选 A. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,注意函数的最值的应用,考查计算能力. 8. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.3
2 2



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 2 2 2 分析: 将“c = (a﹣b) +6”展开, 另一方面, 由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC, 比较两式, 得到 ab 的值,计算其面积. 2 2 2 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab,

∴﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴S△ ABC= = .

故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也 是最方便的定理之一,2015 届高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函 数,向量,不等式等放在一起综合考查. 9. (5 分)已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则下列一定成立的是() A.若 a3>0,则 a2013<0 B. 若 a4>0,则 a2014<0 C. 若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对于选项 A,B,D 可通过 q=﹣1 的等比数列排除,对于选项 C,可分公比 q>0,q <0 来证明即可得答案. 解答: 解:对于选项 A,可列举公比 q=﹣1 的等比数列 1,﹣1,1,﹣1,…,显然满足 a3 >0,但 a2013=1>0,故错误; 对于选项 B,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 a2014=1, 故错误; 对于选项 D,可列举公比 q=﹣1 的等比数列﹣1,1,﹣1,1…,显然满足 a4>0,但 S2014=0, 故错误; 对于选项 C,因为 a3=a1?q >0,所以 a1>0. 2013 2013 当公比 q>0 时,任意 an>0,故有 S2013>0;当公比 q<0 时,q <0,故 1﹣q>0,1﹣q >0, 仍然有 S2013 = >0,故 C 正确,
2

故选:C. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命 题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题.

10. (5 分)已知函数

,若关于 x 的方程 f(x +2x)=a(a∈R)有六个

2

不同的实根,则 a 的取值范围是() A.(2,8] B.(2,9] 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用.

C.(8,9]

D.(8,9)

分析: 令 t=x +2x,则 t≥﹣1,f(t)=

2

.由题意可得,函数 f(t)的

图象与直线 y=a 有 3 个不同的交点, 且每个 t 值有 2 个 x 值与之对应, 数形结合可得 a 的取值 范围. 解答: 解:令 t=x +2x=(x+1) ﹣1,则 t≥﹣1,
2 2

函数 f(t)=



由题意可得,函数 f(t)的图象与直线 y=a 有 3 个不同的交点, 且每个 t 值有 2 个 x 值与之对应,如图所示: 由于当 t=﹣1 时,f(t)=8,此时,t=﹣1 对应的 x 值只有一个 x=﹣1,不满足条件,故 a 的取 值范围是 (8,9], 故选 C.

点评: 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了数形结合的数学思想及等价转 化的数学思想,属于中档题. 二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. (4 分)若函数当 f(x)= ,则 f(x)的定义域是[﹣1,0)∪(0,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以根据题中含有分式和二次根式列出 x 满足的条件,解关系式组得到本题答 案. 解答: 解:∵f(x)= ∴ , ,

∴﹣1≤x<0 或 x>0. 故答案为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 点评: 本题考查函数定义域的求法,主要注意题中的分式和偶次根式有意义的条件,本题 难度不大,属于基础题. 12. (4 分)已知等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2﹣4,则 an=5﹣4n. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵a3=a2﹣4,∴a3﹣a2=﹣4. ∴an=a1+(n﹣1)d=1﹣4(n﹣1)=5﹣4n. 故答案为:5﹣4n. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题. 13. (4 分)若 =3,则 sin2α= .

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知等式求出 tanα 的值,利用万能公式求出 sin2α 的值即可. 解答: 解:∵ ∴tanα=2, 则 sin2α= 故答案为: 点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,以及三角函数的万能公式,熟练掌握 万能公式是解本题的关键. = . =3,即 tanα+1=3tanα﹣3,

14. (4 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则| |=



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的共线定理即可得出. 解答: 解:∵ ,平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,

∴﹣2×2﹣m=0,解得 m=﹣4. ∴ =(﹣2,﹣4) , ∴ = = .

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的共线定理,属于基础题.

15. (4 分)数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 a1= ,且对任意正整数 m,n,都有 am+n=am?an, 若 Sn<a 恒成立则实数 a 的最小值为 .

考点: 数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 由 am+n=am?an,令 m 等于 1,确定此数列是首项和公比都为 的等比数列,利用等比 数列的前 n 项和的公式表示出 Sn,Sn= (1﹣ 值. 解答: 解:令 m=1,得到 an+1=a1?an, ∵a1= , ∴q= , ∴此数列是首项为 ,公比也为 的等比数列,则 Sn= (1﹣ ∵Sn<a 恒成立,∴a≥ , 则 a 的最小值为 , 故答案为: . 点评: 此题考查了等比数列关系的确定,掌握不等式恒成立时所满足的条件,灵活运用等 比数列的前 n 项和的公式及会进行极限的运算,是一道综合题. )< , )< ,而 Sn<a 恒成立,即可得到 a 的最小

16. (4 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是 22.

=3



?

=2, 则

?

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由 ?

=3

,可得

=

+



=



,进而由 AB=8,AD=5,

=3



=2,构造方程,进而可得答案. =3 = , ﹣ ,

解答: 解:∵ ∴ = + ,

又∵AB=8,AD=5, ∴ 故 ? ? =( =22, + ) ?( ﹣ )=| |﹣
2

?



|

| =25﹣

2

?

﹣12=2,

故答案为:22. 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知 得到 = + , = ﹣ ,是解答的关键.

17. (4 分)具有性质 f(﹣ )=﹣f(x)的函数,我们称其为满足“倒负”变换的函数,下列函 数: (1)f(x)=﹣ ; (2)f(x)=x﹣ ; (3)f(x)=x+ ;

(4)f(x)=



其中不满足“倒负”变换的函数是(1) (2) (4) . 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用“倒负”变换的函数的性质,依次对四个备选函数进行判断,由此能求出结果. 解答: 解: (1)∵f(x)=﹣ ,∴f(﹣ )=﹣ =x≠﹣f(x) ,

故(1)是不满足“倒负”变换的函数; (2)∵f(x)=x﹣ ,∴f(﹣ )=﹣ +x≠﹣f(x) , 故(2)是不满足“倒负”变换的函数;

(3)∵f(x)=x+ ,∴f(﹣ )=﹣x﹣ =﹣f(x) , 故(3)是满足“倒负”变换的函数;

(4)∵f(x)=

,∴f(﹣ )x≠﹣f(x) ,

故(1)是不满足“倒负”变换的函数. 故答案为: (1) (2) (4) . 点评: 本题考查“倒负”变换的函数的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的 合理运用. 三.解答题:本大题共 4 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (10 分)已知函数 f(x)= sinxcosx+cos x+a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的 定义域和值域. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和与差的正弦函数可求得 f(x)=sin(2x+ 的最小正周期及单调递减区间; (2) 由﹣ ≤x≤ ?﹣ ≤2x+ ≤ ?﹣ ≤sin (2x+ ) ≤1, 从而可求 f (x) 在区间[﹣ , )+ +a,从而可求 f(x)

]上的值域为[a,a+ ],继而依题意可求 a 的值. 解答: 解: (1)∵f(x)= ∴其最小正周期 T=π; 由 2kπ+ kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) , ,kπ+ ](k∈Z) . (k∈Z)得: sin2x+ (1+cos2x)+a=sin(2x+ )+ +a,

≤x≤kπ+

∴f(x)的单调递减区间是[kπ+ (2)∵﹣ ∴﹣ ≤2x+ ≤x≤ ≤ , , )≤1,

∴﹣ ≤sin(2x+

∴a≤sin(2x+

)+ +a≤ +a,即 f(x)在区间[﹣ ,



]上的值域为[a,a+ ],

又 f(x)在区间[﹣ ∴a+a+ = ,

]上的最大值与最小值的和为 ,

解得 a=0. 点评: 本题考查两角和与差的正弦函数,考查正弦函数的单调性、周期性与闭区间上的最 值,属于中档题.

19. (13 分)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞)且满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,f( )=1, 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . (1)求 f(1) ,f(2) ; (2)解不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 x=y=1 易得 f(1)=0;再令 x=2,y= ,可得 f(2)值; (2)先求出 f(4)=﹣2,由 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2,得到 f[x(x﹣3)]≥f(4) ,再由函数 f (x)在定义域(0,+∞)上为减函数,能求出原不等式的解集. 解答: 解(1)∵f(xy)=f(x)+f(y) ∴令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=0 再令 x=2,y= , ∴f(1)=f(2)+f( )=0, ∴f(2)=﹣1 (2)∵对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . ∴函数在(0,+∞)减函数, 令 x=y=2, ∴令 x=y=2 得 f(4)=f(2)+f(2)=﹣2, ∵f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. ∴f(x)+f(x﹣3)≥f(4) , ∴f[x(x﹣3)]≥f(4) ,





解得﹣1≤x<0 ∴原不等式的解集为[﹣1,0)

点评: 本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法及函数单调性的应用,突出转化思想 的考查,属于中档题. 20. (14 分)在锐角△ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 acsinC=(a +c 2 ﹣b )sinB, (1)若 ,求∠A 的大小.
2 2

(2)若三角形为非等腰三角形,求 的取值范围.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)将已知等式变形,整理得 得 C=2B 或 C+2B=π,最后结合三角形内角和定理和 ,可得 sinC=2sinBcosB=sin2B,由此可 ,即可算出∠A 的大小.

(2)根据三角形为非等腰三角形,结合(1)中化简的结果可得 C=2B,从而将 化简整理得 .利用△ ABC 是锐角三角形,得到 B∈( 即可得出 的取值范围. 解答: 解: (1)∵acsinC=(a +c ﹣b )sinB ∴ 由此可得,sinC=2sinBcosB=sin2B…(3 分) 因此,C=2B 或 C+2B=π…(4 分) (i)若 C=2B,结合 (ii)若 C+2B=π,结合 ,可得 ,则 ,所以 (舍去)…(5 分) ,可得 …(6 分) …(2 分)
2 2 2

) ,结合余弦函数的图象与性质,

(2)∵三角形为非等腰三角形, ∴可得 C+2B=π 不能成立,故 C=2B 由此可得∠A=π﹣B﹣C=π﹣3B…(8 分) 又∵三角形为锐角三角形, ∴ 因此,可得 而 ∵cosB∈( , ,A≠C, 且∠B≠ …(12 分) )∪( , ) , …(10 分)

∴可得

=



)∪(



…(14 分)

点评: 本题给出三角形中的边角关系, 要求我们判断角 A 的大小并求 的取值范围. 着重考 查了利用正余弦定理解三角形、 三角形内角和定理与余弦函数的图象与性质等知识, 属于中档 题. 21. (15 分)已知函数 f(x)=x +bx+4(b∈R) (1)若函数 f(x)在闭区间[1,3]有且只有一个零点,求 b 的取值范围; (2)对任意 x1,x2∈[﹣1,1],f(x1)﹣f(x2)≤4 恒成立,求 b 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过讨论△ 的符号,从而求出 b 的范围; (2)通过讨论 b 的范围,求出函数的 极值,综合得出 b 的范围. 解答: 解: (1)①△ =0 时,得:b=±4, b=﹣4 时,显然函数 f(x)在区间[1,3]只有 1 个零点 2, ② ,
2

. ∴ ,



(2)原式等价于 f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4, ①﹣ <﹣1,即 b>2 时,f(x)在 x∈[﹣1,1]递增, ∴f(x)min=f(﹣1)=5﹣b,f(x)max=f(1)=5+b, ∴M=2b>4,与题设矛盾; ②﹣1≤﹣ ≤0,即 0≤b≤2 时,f(x)在 x∈[﹣1,﹣ ]递减,在 x∈[﹣ ,1]递增, ∴f(x)min=f(﹣ )=﹣ ∴ ③当 f(x)在 ∴f(x)min=f(﹣ )=﹣ ∴M= +5,f(x)max=f(1)=5+b,

结合上述条件解得 0≤b≤2, ,即﹣2≤b<0 时, 上单调递减,在 上单调递增,

+5,f(x)max=f(﹣1)=5﹣b,

﹣b≤4,结合上述条件解得﹣2≤b<0;

④当

,即 b<2 时,f(x)在 x∈[﹣1,1]上单调递减,

∴f(x)min=f(1)=5+b,f(x)max=f(﹣1)=5﹣b, ∴M=﹣2b>4,与题设矛盾, 综上所述,实数 b 的取值范围是[﹣2,2]. 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,考查分类讨论思想,是一道中 档题.


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