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河北省衡水中学2016届高三上学期第三次调研考试理数试题 Word版含解析


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题均只有一个正确选项) 1.设 a, b ? R ,则“ ? a ? b? a ? 0 ”是“ a ? b ”的( )
2

A. 充分不必要条件 【答案】A

B. 必要不充分条件

C.充要条件

D.非不充分不必要条件

考点:充分条件与必要条件. 【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性,属于 容易题.解题时一定要注意 p ? q 时, p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件,否则很容易 出现错误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假,在解题中可以根据原命题与其逆否命 题进行等价转化.

?x ? y ? 0 ? 2.若 x, y 满足 ? x ? 1 则下列不等式恒成立的是( ) ?x ? y ? 0 ?
A. y ? ?1 【答案】D 【解析】 试题分析:作出不等式所表示的平面区域,显然选项 A,B 错;由线性规划易得 x ? 2 y 的取值 范 围 为 R , 故 x ? 2 y ? 2 ? 0 不 成 立 ; 2x ? y 在 B 处 取 得 最 小 , 故 B. x ? 2 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

2x ? y ? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 .

考点:线性规划. 3.一个由实数组成的等比数列,它的前 6 项和是前 3 项和的 9 倍,则此数列的公比为( ) A. 2 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 记 题 中 的 等 比 数 列 的 公 比 为 有 B. 3 C.

1 2

D.

1 3

q

. 依 题 意

S6=9S3, S6 ? S3 ? 8S3 ?

S6 ? S3 ? 8 ,即 S3

q3 ? 8 ,得 q ? 2 ,故选 A.

考点:等比数列的性质.
2 4. 已 知 a ? b , 二 次 三 项 式 ax ? 2 x ? b ? 0 对 于 一 切 实 数

x 恒 成 立 . 又 ?x0 ? R , 使

ax02 ? 2x0 ? b ? 0 成立,则
A. 1 【答案】D 【解析】 B. 2

a 2 ? b2 的最小值为( ) a ?b
D. 2 2

C. 2

试题分析:因为二次三项式 ax +2x +b≥0 对于一切实数 x 恒成立,所以 ?

2

a?0 ;又 ?4 ? 4ab ? 0 ?

2 ab ? 0, 故 只 有 4 ? 4 ab ? 0, 即 ?xo ? R , 使 axo ? 2xo ? b ? 0 成 立 , 所 以 4 ? 4

2 a 2 ? b2 2ab ? 2 2 ,故选 D。 ? a ?b? ? a ?b? a ? 0 , a ? b, a b ? ,所以 1 a ?b a ?b a ?b
考点:1.二次函数恒成立问题;2.均值定理的应用 3.存在性命题.

5.在等比数列 ?an ? 中,若 a4 , a8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,则 a6 的值是( ) A. ? 2 【答案】C 【解析】 试题分析:因为 a4 , a8 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,所以 a4 ? a8 ? 3, a4 a8 ? 2 ,所以数列
2 的偶数项均为正值,因为 a6 ? a4a8 ? 2 ,故 a6 ? 2 .

B. ? 2

C.

2

D. ?2

考点:等比数列的性质.
2 6.已知点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

a ? 1 的最小正周 2

期和最小值分别为( ) A. 2? , ?

3 2

B. ? , ?

3 2

C. ? , ?

5 2

D. 2? , ?

5 2

【答案】B 【解析】
2 2 试题分析:因为点 ? a, b ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,所以 a ? b ? 1 ,可设 a ? cos? , b ? sin ? ,

a ? 1 化简为: 2 1 1 1 f ( x) ? cos ? cos 2 x ? sin ? sin x cos x ? cos ? ? 1 ? cos ? (2 cos 2 x ? 1) ? sin ? sin 2 x ? 1 2 2 2 1 1 1 ? cos ? cos 2 x ? sin ? sin 2 x ? 1 ? cos( 2 x ? ? ) ? 1 , 故 函 数 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为 2 2 2 2? T? ?? , 2 1 3 函数 f ( x) 的最小值 f ( x ) min ? ? ? 1 ? ? .故应选 B. 2 2
2 代入原函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

考点:1.二倍角公式;2.两角和的余弦公式;3.三角函数的周期与最值. 7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,若 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,则 an 等于( ) A.

1 2 2 6 n ? n? 5 5 5

3 2 B. n ? 5n ? 9n ? 4

2 C. n ? 2n ? 2

2 D. 2n ? 5n ? 4

【答案】C 【解析】 试题分析:依题意得 (an ?2 ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 2 ,因此数列 {an ?1 ? an } 是以 1 为首项,2 为 公差的等差数列, an ?1 ? an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ,当 n ? 2 时,

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ??? (an ? an ?1 ) ? 1 ? 1 ? 3 ??? (2n ? 3) ? 1 ?
2 2
2 2

?1 ? 2n ? 3?? n ? 1?
2

? (n ?1) ? 1 ? n ? 2n ? 2 ,又 a1 ? 1 ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ,因此 an ? n ? 2n ? 2 ,故选 C.
考点:1.等差数列的定义;2.等差数列的前 n 项和公式. 8.如图所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成,它们的圆心分别是 O ,

O1 , O2 ,动点 P 从 A 点出发沿着圆弧按 A ? O ? B ? C ? A ? D ? B 的路线运动(其中
,记点 P 运动的路程为 x ,设 y ? O1 P , y 与 x 的函数关系为 A, O, O1 , O2 , B 五点共线)
2

y ? f ? x? ,则 y ? f ? x ? 的大致图象是( )

A.

B.

C. 【答案】A

D.

???? 2 ???? ? ????? ? y ? O1P ? O2 P ? O2O1

?

?

2

? 5 ? 4cos ? ? 5 ? 4cos x,x ? ??, 2? ? ,∴函数 y ? f ? x ? 的图

象是曲线,且为单调递增,当 x ?? 2?, 4? ? 时,∵ O1P ? OP ? OO1 ,设 OP 与 OO1

???? ??? ? ???? ?

??? ?

???? ?

的夹角为 ? , OP ? 2 与 OO1 ? 1 ,∴ ? ? 2? ?

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? 2 y ? O1P ? OP ? OO1

?

?

2

1 x ,∴ 2 1 ? 5 ? 4 cos ? ? 5 ? 4 cos x,x ? ? 2?, 4? ? ,∴函数 y ? f ? x ? 的 2

图象是曲线,且为单调递减.故选:A. 考点:1.函数的性质及应用;2.平面向量及应用. 9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S2n ? 4 ? a ... 1 ?3a ? A.27 【答案】C 【解析】 试题分析:利用等比数列的性质可得, a1a2a3 ? a23 ? 27 即 a2 ? 3 ,因为 B.81 C.243

? , ?1 2?3 a a a 2 7? 2 a 1 n

, 则 a6 = ( )

D.729

S2n ? 4 ? a1 ? a3 ??? a2n?1 ? ,所以 n ? 1 时有, S2 ? a1 ? a2 ? 4a1 从而可得 a1 ? 1,q ? 3,
所以, a6 ? 1? 35 ? 243 ,故选 C. 考点:等比数列的定义及性质. 10.已知函数 f ? x ? ? A.1 【答案】A B.2

t ? sin x ? t ? 1? 的最大值和最小值分别是 M , m ,则 M ? m 为( ) t ? cos x
C.-1 D.-2

考点:三角函数的性质及应用. 11. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? x ?1 , x ? 0 ,若方程 f ? x ? ? a 有四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 ,且 log x , x ? 0 ? ? 2
1 的取值范围是( ) x32 x4
D. ? ?1,1?

x1 ? x2 ? x3 ? x4,则 x3 ? x1 ? x2 ? ?
A. ? ?1, ?? ? 【答案】B B. ? ?1,1?

C. ? ??,1?

考点:1.函数与方程;2.不等式的性质. 【方法点点晴】本题主要考查了函数零点的概念、零点的求法以及数形结合思想;解决此类 问题的灌浆时作出两函数图象在同一坐标系中的交点,交点的横坐标即为函数的零点,再利 用数形结合确定零点的取值范围; 同是本题在作函数 y ? f ? x ? 时, 应该先作出 f ? x ? 的图象, 然后再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方即可.
2 2 2 12.已知正实数 a、b、c ,若 a ? b ? 4c ? 1 ,则 ab ? 2ac ? 3 2bc 的最大值为( )

A.1 【答案】C 【解析】

B.

2 2

C. 2

D. 2 2

考点:基本不等式. 【方法点睛】本题主要考查了基本不等式的用法,目的主要考查考生的综合分析能力;本题在

4c 2 的恰当拆项,和拆项后的恰当组合,同时在利用基本不等式解题 解答的关键是对 a 2、b2、
时要注意基本不等式成立的基本条件,即“一正、二定、三相等” ;切记要注意“等号”成立 的条件. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 2 13.已知正实数 a, b, c ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 ? a ? 1? ? 4b ? 9c 的最小值为 2

.

【答案】 【解析】

144 49

? 试题分析:因为 a,b,c ? R ,a ? b ? c ? 1 ,所以

1 1 ? 2 ? 1 1?? ? 2 2 ? ?? a ? 1? ? ? 2b ? ? 3c ? ? 4 ,得 ?1 ? ? ? ?? a ? 1? ? 4b ? 9c ? ? 2 3 ? ? 4 9? ?

2

? a ? 1?

144 23 18 8 ,b ? ,c ? .当且仅当 a ? 1 ? 4b ? 9c ,即 a ? 时, 49 49 49 49 144 2 ? a ? 1? ? 4b 2 ? 9c 2 有最小值 . 49
2

? 4b 2 ? 9c 2 ?

考点:柯西不等式. 14.若函数 f ? x ? ? cos 2x ? a sin x 在区间 ? 【答案】 ? ??, 2? . 【解析】

?? ? ? , ? 是减函数,则 a 的取值范围是 ?6 2?

.

试题分析: f ? ? x ? ? ?2sin 2x ? a cos x ? ?4sin x cos x ? a cos x ? cos x ? ?4sin x ? a ?.

?? ? ? ? x ? ? , ? 时 , f ? x ? 是 减 函 数 , 又 cos x ? 0 , ∴ 由 f ? ? x ? ? 0 得 ?6 2?
?4sin x ? a ? 0,? a ? 4sin x


?? ? ? ? , ? ?6 2?











? ? ? ? ?? ? a ? ? 4sin x ?min ? x ? ? , ? ? ,? a ? 2 . ? 6 2 ?? ?
考点:1.三角函数的单调性;2.导数的应用. 15. 如下图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,点 D 在 OA 的延长线上,且 OD ? 2 ,点 P 为 ?BCD 内(含边界)的动点,设 OP ? ? OC ? ? OD ?? , ? ? R ? , 则 ? ? ? 的最大值等 于 .

??? ?

??? ?

????

【答案】

3 2

考点:1.简单线性规划;2.平面向量的基本定理及其意义. 【思路点睛】因为本题四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,所以可考虑建立平面直角坐标系, 然后再利用向量的坐标表示来求解;选择以 O 为原点,OA,OC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立 平面直角坐标系,这时候可求出 OC ? (0,, 1) OD ? (2, 0) ,设 P ? x,y ? ,所以根据已知条件可 得:? x,y ? ? ? 2?,? ? , 所以可用 x, y 表示 α , β , 并得到 ? ? ? ?

??? ?

??? ?

1 1 x? y, 这样求 x ? y 2 2

的最大值即可.而 x,y 的取值范围便是△BCD 上及其内部,所以可想着用线性规划的知识求 解.所以设 z ? x ? y,y ? ?

1 1 x ? z ,所以 z 表示直线 y ? ? x ? z 在 y 轴上的截距,要求 2 2

只需求截距 z 的最大值即可, 而通过图形可看出当该直线过 B 点时截距最大, ? ? ? 的最大值, 所以将 B 点坐标带入直线方程,即可得到 z 的最大值,即 ? ? ? 的最大值. 16. 若在由正整数构成的无穷数列 ?an ? 中,对任意的正整数 n ,都有 an ? an?1 ,且对任意的 正整数 k ,该数列中恰有 2k ? 1 个 k ,则 a2014 ? .

【答案】45

考点:1.无穷数列;2.等差数列的前 n 项和. 【思路点睛】本题考查数列递推式,解答的关键是对题意的理解,由对任意的正整数 k,该数

, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, ? 假设 a2014 在第 n ? 1 组中,由等差数列 列中恰有 2k ? 1 个 k ,可知数列为:1
的求和公式求出前 n 组的和,解不等式 n2 ? 2014 ,得到 n 值后加 1 即可得答案. 三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分,解答题应写出文字说 明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17. 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E ,

AB ? 2 AC .
(1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 3, EC ? 6 时,求 AD 的长.

【答案】 (1)详见解析; (2) AD ?

3 . 2

(2)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,
2 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t ? 9t ? 18 ? 0 ,

解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . 2 2

10 分

考点:与圆有关的比例线段.

18. 设函数 f ? x ? ? 2x ? m ? 4x. (1)当 m ? 2 时,解不等式: f ? x ? ? 1 ; (2)若不等式 f ? x ? ? 2 的解集为 ?x | x ? ?2? ,求 m 的值. 【答案】 (1) {x | x ? ? } ; (2) {x | x ? ?2}

1 2

故 f ? ?2? ? 2 ,

m ? ?2 时,有 2 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? 6 . 2 m 当 ? ?2 时,则有 6 ? ? ?2? ? m ? 2 ,解得 m ? ?14 . 2
当 综上可得,当 m ? 6 或 m ? ?14 时,f(x)≤2 的解集为 {x | x ? ?2} . 考点:1.带绝对值的函数;2.绝对值不等式的解法. 19. 如图,正三角形 ABC 的边长为 2, D, E, F 分别在三边 AB, BC 和 CA 上,且 D 为 AB 的 中点, ?EDF ? 90?, ?BDE ? ? ? 0? ? ? ? 90?? . (1)当 tan ?DEF ?

3 时,求 ? 的大小; 2

(2)求 ?DEF 的面积 S 的最小值及使得 S 取最小值时 ? 的值.

【答案】 (1) ?=60? ; (2)当 ?=45? 时, S 取最小值

6?3 3 . 2

(2) S ?

1 3 3 DE · DF = ? 0 0 2 8sin(60 ? ? )sin(30 ? ? ) 2( 3 cos ? ? sin ? )(cos ? ? 3 sin ? )

?

3 2[ 3(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 4sin ? cos ? ]

?

3 . 2( 3 ? 2sin 2? )

当 ? ? 45? 时, S 取最小值

3 6?3 3 . ? 2 2( 3 ? 2)

考点:1.正弦定理;2.两角和的正弦公式;3.倍角公式. 【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的

正弦、余弦公式和三角形的面积公式,解题时一定要注意对公式的正确使用,否则很容易失 分.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,期中关键是三角变换,而三角变 换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ,其中的核心是“变角” ,即注意角之间的结构 差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 20. 已知 ? 为锐角,且 tan ? ? 的首项 a1 ? 1, an?1 ? f ? an ? . (1)求函数 f ? x ? 的表达式; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Sn . 【答案】 (1) f ? x ? ? 2x ? 1 ; (2) 2
n ?1

?? ? 2 ? 1 ,函数 f ? x ? ? 2x ? tan 2? ? sin ? 2? ? ? ,数列 ?an ? 4? ?

?2?n

n ??an ?1? 是首项为 a1 ? 1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列, ? an ? 2 ? 1 ,?nan ? n2n ? n ,

错位相减法得 Sn ?

2 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n ? 2n?1 ? 2 ? n .

考点:1 三角函数的化简;2.数列的通项公式和前 n 项和. 21. 已知函数 f ? x ? ? e ,g ? x ? ? mx ? n .
x

(1)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? .若函数 h ? x ? 在 x ? 0 处的切线过点 ?1,0 ? ,求 m ? n 的值; (2)设函数 r ? x ? ? 关系. 【答案】 (1) m ? n ? 2 ; (2)详见解析 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) ① 利 用 导 数 几 何 意 义 求 切 线 斜 率 : 函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (ex ? mx ? n)? ? e x ? m , 又 h(0) ? 1 ? n , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入, 得 m ? n ? 2 .(2)由题意, r ( x )= 单调性,最后确定 r ( x) ? r (0)=1 . 试题解析: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m ,又 h(0) ?1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的 切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 .

1 nx ,且 n ? 4m ? m ? 0? ,当 x ? 0 时,比较 r ? x ? 与 1 的大小 ? f ? x? g ? x?

1 4x ? ,要确定其最小值,需多次求导,反复确定求 x e x?4

n x 1 nx 1 1 4x (2)由题意, r ( x) ? , ? ? x? m ? x? n e f ( x) g ( x) e x ? 4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4
令 F ( x) ? e (3x ? 4) ? x ? 4 ,则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 ,
x x

令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? e (3x ? 2) ,
x

因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . 所以 r ( x) ? 1

考点:1.导数几何意义;2.利用导数求函数单调性. 22. 已知函数 f ? x ? ? e sin x
x

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 x ? ?0,

? ?? 时, f ? x ? ? kx ,求实数 k 的取值范围. ? 2? ?

【答案】 (1) f ( x ) 的单调递增区间为 (2k? ?

?

4 3? 7? (2k? ? , 2 k? ? ) (k ? Z ) ; (2) (??,1] 4 4

, 2 k? ?

3? ) ,单调递减区间为 4

试题解析: (Ⅰ)由于 f ( x) ? e sin x ,
x

考点:1、利用导数求函数的单调区间;2、恒成立的问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、不 等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数求函数 f ? x ? 的极值的步骤:①确定函 数 f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③求方程 f ? ? x ? ? 0 的所有实数根;④列表格.



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