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指数函数与对数函数练习题(含详解)


指数函数
1.指数函数概念 一般地, 函数 2.指数函数函数性质: 函数名称 定义 函数 指数函数 且 叫做指数函数 叫做指数函数, 其中 是自变量, 函数的定义域为 .

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况



变化对图 在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方 象的影响 向看图象, 逐渐减小.

对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 . 2.对数函数性质: 函数名称 定义 函数 对数函数 且 叫做对数函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方 象的影响 向看图象, 逐渐减小.

指数函数习题
一、选择题 1.定义运算 a? b=?

a≤b ?a ?b a>b

,则函数 f(x)=1? 2x 的图象大致为(

)

2.函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)与 f(cx)的大小 关系是( ) x A.f(b )≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx) D.大小关系随 x 的不同而不同 3.函数 y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(0,2) 4.设函数 f(x)=ln[(x-1)(2-x)]的定义域是 A,函数 g(x)=lg( ax-2x-1)的定义 域是 B,若 A? B,则正数 a 的取值范围( A.a>3 B.a≥3 C.a> 5 5. 已知函数 f(x)=? D.a≥ 5 )

? 3-a x-3,x≤7, ?ax-6,x>7.
)

若数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*), 且{an}

是递增数列,则实数 a 的取值范围是( 9 9 A.[ ,3) B.( ,3) 4 4 C.(2,3) D.(1,3)

1 6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取值 2 范围是( ) 1 1 A.(0, ]∪[2,+∞) B.[ ,1)∪(1,4] 2 4 1 C.[ ,1)∪(1,2] 2 二、填空题 1 D.(0, )∪[4,+∞) 4

7.函数 y=a (a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是________. 2 8.若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________. 9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1.已知函数 y=2|x|的定 义域为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________. 三、解答题 10.求函数 y= 2?
? x2 ? 3 x ? 4

x

a

的定义域、值域和单调区间.

11.(2011·银川模拟)若函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在 x∈[-1,1]上的最大值为 14,求 a 的值.

2x

x

12.已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=λ·3ax-4x 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.

a≤b ?a 1.解析:由 a? b=? ?b a>b

?2 得 f(x)=1? 2 =? ?1
x

x

x≤0 x>0 .

答案:A 2. 解析:∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2. 又 f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. x x x x 若 x≥0,则 3 ≥2 ≥1,∴f(3 )≥f(2 ). 若 x<0,则 3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x). ∴f(3x)≥f(2x). 答案:A 3.解析:由于函数 y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函 数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1. 答案:C 4. 解析:由题意得:A=(1,2),ax-2x>1 且 a>2, 由 A? B 知 ax-2x>1 在(1,2)上恒成立, 即 ax-2x-1>0 在(1,2)上恒成立,令 u(x)=ax-2x-1,则 u′(x)=axlna-2xln2>0,所 以函数 u(x)在(1,2)上单调递增,则 u(x)>u(1)=a-3,即 a≥3. 答案:B

5. 解析:数列{an}满足 an=f(n)(n∈N ),则函数 f(n)为增函数,

*

注意 a

8-6

?a>1 >(3-a)×7-3,所以?3-a>0 ?a > 3-a
8-6

,解得 2<a<3. 7-3

答案:C 1 1 1 1 6. 解析:f(x)< ?x2-ax< ?x2- <ax,考查函数 y=ax 与 y=x2- 的图象, 2 2 2 2

1 当 a>1 时,必有 a-1≥ ,即 1<a≤2, 2 1 1 当 0<a<1 时,必有 a≥ ,即 ≤a<1, 2 2 1 综上, ≤a<1 或 1<a≤2. 2 答案:C

a 3 7. 解析:当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上单调递增,故 a2-a= ,得 a= .当 0<a<1 时,y 2 2 a 1 1 3 x 2 =a 在[1,2]上单调递减,故 a-a = ,得 a= .故 a= 或 . 2 2 2 2
1 3 答案: 或 2 2 8. 解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.

曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1 与直线 y =b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. 答案:[-1,1] 9. 解析:如图满足条件的区间[a,b],当 a=-1,b=0 或 a=0,b=1 时区间长 度最小,最小值为 1,当 a=-1,b=1 时区间长度最大,最大值为 2,故其差为 1. 答案:1 10. 解:要使函数有意义,则只需-x2-3x+4≥0,即 x2+3x-4≤0,解得-4≤x≤1. ∴函数的定义域为{x|-4≤x≤1}. 3 25 令 t=-x2-3x+4,则 t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ , 2 4

25 3 ∴当-4≤x≤1 时,tmax= ,此时 x=- ,tmin=0,此时 x=-4 或 x=1. 4 2 25 5 ∴0≤t≤ .∴0≤ -x2-3x+4≤ . 4 2 ∴函数 y= ( )?

1 2

? x2 ? 3 x ? 4

的值域为[

2 ,1]. 8

3 25 由 t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ (-4≤x≤1)可知, 2 4 3 当-4≤x≤- 时,t 是增函数, 2 3 当- ≤x≤1 时,t 是减函数. 2 根据复合函数的单调性知:

1 y= ( ) ? 2

? x2 ? 3 x ? 4

3 3 在[-4,- ]上是减函数,在[- ,1]上是增函数. 2 2

3 3 ∴函数的单调增区间是[- ,1],单调减区间是[-4,- ]. 2 2 x 2 2 11. 解:令 a =t,∴t>0,则 y=t +2t-1=(t+1) -2,其对称轴为 t=-1.该二次 函数在[-1,+∞)上是增函数. 1 ①若 a>1,∵x∈[-1,1],∴t=ax∈[ ,a],故当 t=a,即 x=1 时,ymax=a2+2a-1

a

=14,解得 a=3(a=-5 舍去). ②若 0<a<1,∵x∈[-1,1], 1 1 ∴t=ax∈[a, ],故当 t= ,即 x=-1 时,

a

a

ymax=( +1)2-2=14. a
1 1 ∴a= 或- (舍去). 3 5 1 综上可得 a=3 或 . 3 12. 解:法一:(1)由已知得 3 =18? 3 =2? a=log32. (2)此时 g(x)=λ·2x-4x, 设 0≤x1<x2≤1, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以 g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(λ-2x2-2x1)>0 恒成立,即λ<2x2+2x1 恒成立. 由于 2x2+2x1>20+20=2, 所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二:(1)同法一. (2)此时 g(x)=λ·2x-4x, 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, 所以有 g′(x)=λln2·2x-ln4·4x=ln2[-2·(2x)2+λ·2x]≤0 成立.
a+2 a

1

设 2 =u∈[1,2],上式成立等价于-2u +λu≤0 恒成立. 因为 u∈[1,2],只需λ≤2u 恒成立, 所以实数λ的取值范围是λ≤2.

x

2

对数函数同步练习
一、选择题 1、已知 3a ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
A、 a ? 2 B、 5a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)2 ) D、 3a ? a 2

2、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、
1 4

M 的值为( N

) D、4 或 1
1 ? n, 则 log a y 等 于 1? x

B、4

C、1

3 、 已 知 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 , 且 log a (1 ? x) ? m, log a ( A、 m ? n ) B、 m ? n C、 ? m ? n ?
1 2

D、 ? m ? n ?

1 2

4、如果方程 lg2 x ? (lg5 ? lg 7)lg x ? lg5 lg 7 ? 0 的两根是 ? , ? ,则 ? ? 的值 是( A、 lg 5 lg 7 ) B、 lg 35 C、35
? 1

D、 )
1 2 2

1 35

5、已知 log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x 2 等于( A、
1 3

B、

1 2 3

C、

D、

1 3 3

6、函数 y ? lg ? ? A、x 轴对称 对称

2 ? ? 1? 的图像关于( ? 1? x ?

) C、 原点对称 D、 直线 y ? x

B、y 轴对称

7、函数 y ? log(2 x?1) 3x ? 2 的定义域是(



? A、 ? ? ,1? ?1, ?? ? 3 2 ? ? ? C、 ? ? , ?? ? 2 ?3 ?
2

? B、 ? ? ,1? ?1, ?? ? 2 1 ? ? ? D、 ? ? , ?? ? 1 ?2 ?

8、函数 y ? log 1 ( x2 ? 6x ? 17) 的值域是( A、 R B、 ?8, ?? ?

) C、 ? ??, ?3? ) D、 0 ? m ? n ? 1 D、 ?3, ?? ?

9、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1
3

B、 n ? m ? 1

C、0 ? n ? m ? 1 )

10、 log a 2 ? 1 ,则 a 的取值范围是(
2? A、 ? ? 0, ? ?1, ?? ? ? 3? ? 2? ?2 ? ? 0, ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ? ? B、 ? ? , ?? ? 2 ?3 ?

? C、 ? ? ,1? 2 ?3 ?

D、

11、下列函数中,在 ? 0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1)
2



B、 y ? log 2 x 2 ? 1 D、 y ? log 1 ( x2 ? 4x ? 5)
2

C、 y ? log 2 1
x

12、 已知 g( x) ? loga x+1 (a ? 0且a ? 1) 在 ? ?1, 则 f ( x) ? a x?1 是 0? 上有 g ( x) ? 0 , ( ) B、在 ? ??,0? 上是减少的 D、在 ? ??,0? 上是减少的

A、在 ? ??,0? 上是增加的 C、在 ? ??, ?1? 上是增加的 二、填空题 13、若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? 14、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 15、 lg 25 ? lg 2 lg50 ? (lg 2)2 ?

。 。 。

16、函数 f ( x) ? lg

?

x2 ? 1 ? x 是

?

(奇、偶)函数。

三、解答题: (本题共 3 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤.) 17、已知函数 f ( x) ?
2

10 x ? 10? x ,判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。 10 x ? 10? x

x2 18、已知函数 f ( x ? 3) ? lg 2 , x ?6

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性。
2 8x ? n 19、已知函数 f ( x) ? log3 mx ? 的定义域为 R ,值域为 ?0, 2? ,求 m, n 2

x ?1

的值。

对数与对数函数同步练习参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 C 6 C 7 A 8 C 9 C 10 A 11 D 12 C

二、填空题 13 、 12 15、2 16 、
1 x ?1 ? x
2

14 、 ? x 1 ? x ? 3 且x ? 2?

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 1 ?

解得 1 ? x ? 3且x ? 2





? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x)

为奇函数。 三、解答题 17
f ( ? x) ?





1



f ( x) ?

10 x ? 10? x 102 x ? 1 ? , x?R 10 x ? 10? x 102 x ? 1



10? x ? 10 x 102 x ? 1 ? ? ? ? f ( x), x ? R 10? x ? 10 x 102 x ? 1

∴ f ( x) 是奇函数

(2) f ( x) ?

102 x ? 1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??, ??) ,且 x1 ? x2 , 102 x ? 1

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) ? ? ? 0 , ( 102 x1 ? 102 x2 ) 102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 (102 x1 ? 1)(102 x2 ? 1)

∴ f ( x) 为增函数。
x 2 ? 3? ? 3 ? x?3 x2 18 、 ( 1 ) ∵ f ( x ? 3) ? lg 2 , ∴ f ( x) ? lg ,又由 ? lg 2 x ?3 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

x2 ? 0 得 x2 ? 3 ? 3 , 2 x ?6

∴ f ( x) 的定义域为 ?3, ??? 。

(2)∵ f ( x) 的定义域不关于原点对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数。 19 、 由
mx 2 ? 8 x ? n f ( x) ? log 3 x2 ? 1

, 得

3y ?

mx 2 ? 8 x ? n x2 ? 1

, 即

?3

y

? m ? x2 ? 8x ? 3y ? n ? 0

∵ x ? R,?? ? 64 ? 4(3y ? m)(3y ? n) ≥ 0 ,即 32 y ? (m ? n) 3y ? mn ?16 ≤ 0 由 0 ≤ y ≤ 2 ,得 1≤ 3y ≤ 9 ,由根与系数的关系得 ?
m ? n ? 5。

?m ? n ? 1 ? 9 ,解得 ?mn ? 16 ? 1 9


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