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江苏省扬州市2014届高三上学期期中考试数学试题(纯word)有附加题


2013 — 2014 学 年 度 第 一 学 期 检 测 试 题

高 三 数 学
2013.11 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定

的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.复数 z ?

2?i 的实部为 ▲ . 1? i

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 ▲ . 3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (?2, k ) ,且 a∥b ,则实数 k ?

?

?

? ?



.

4.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2 x ? (a ?1) y ? 2 ? 0 (a ? R) ,若 l1 ? l2 ,则

a? ▲ . ? 5.已知 ? ? ( , ? ) ,且 tan ? ? ?2 ,则 cos 2? ? ▲ .
2

?x ? y ? 5 ? 0 ? 6.已知实数 x , y 满足 ? x ? 3 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ▲ . ?x ? y ? 0 ?
7.已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 ,若函数 f ? x ? 的零点所在的区间为 ? k , k ?1?? k ? Z ? ,则 x

k?



. ▲ .

8.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,则 m ? m m?2

9.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (a, b ? R) 是偶函数,且它的值域为 (??,8] ,则

ab ?

▲ .

10. f ( x) ?

1 ? sin(? x ? )(? ? 0) 的图象与直线 y ? m 相切,相邻切点之间的距离为 ? . 2 6

若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象的一个对称中心,且 x0 ? ?0,

? ?? , 则 x0 ? ? 2? ?

▲ .

11.椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线与 x 轴的交点为 P ,点 A 为其短轴的一个 a 2 b2
2 x12 ? x2 的最小值 x1 ? x2

端点,若 PA 的中点在椭圆 C 上,则椭圆的离心率为 ▲ . 12.函数 f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 1? x ? R ? ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 x1 ? x2 ,则 为 ▲ .

13. 已知向量 OA , OB 满足 | OA |? 1 , | OB |? 2 , | AB |? 7 ,AC ? ? (OA ? OB)(? ? R) , 若 | BC |? 7 ,则 ? 所有可能的值为 ▲ . 14.设圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 的切线 l 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴分别交于点 A, B ,当 AB 取 最小值时,切线 l 在 y 轴上的截距为 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本题满分 14 分) 已知集合 A ? ? x |

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

? ?

4 ? ? 1? , B ? ?x | ? x ? m ? 4?? x ? m ?1? ? 0? . x +1 ?

(1)若 m ? 2 ,求集合 A ? B ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 所 对 的 边 , 已 知 向 量 m ? ? cos B , si n B? ,

??

?? ? ? n ? ? sin C ? 2sin A,cos C ? ,且 m ? n .
(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 7 , b ? 13 ,求 BA ? BC 的值. 17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M : x ? y ? 8x ? 6 ? 0 ,过点 P(0, 2) 且斜率为 k
2 2

??? ? ??? ?

的直线与圆 M 相交于不同的两点 A, B ,线段 AB 的中点为 N 。 (1)求 k 的取值范围; (2)若 ON / / MP ,求 k 的值。

18. (本小题满分 15 分) 某小区有一块三角形空地,如图△ ABC,其中 AC=180 米,BC=90 米,∠C= 90 ? ,开 发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所,在△ ABC 内的 P 点处有一服务站(其大 小可忽略不计) ,开发商打算在 AC 边上选一点 D,然后过点 P 和点 D 画一分界线与边 AB 相交于点 E,在△ ADE 区域内绿化,在四边形 BCDE 区域内修建运动场所.现已知点 P 处 的服务站与 AC 距离为 10 米,与 BC 距离为 100 米.设 DC= d 米,试问 d 取何值时,运动 场所面积最大?
A

E D P

C

B

19. (本小题满分 16 分) 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )和圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,已知圆 C2 将椭 2 a b

圆 C1 的长轴三等分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为

2 ,椭圆 C1 的下顶点为 E ,过坐 4

标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A 、 B . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P 、 M . ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以 (m,0) 为圆心,

3 2 为半径的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都 5

与圆 G 相交?若存在,请求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由。

y

M A O B E

P

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

2 ? 6 ,其中 a 为实常数. x

(1)若 f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (2)已知 a ?

3 ,P 1, P 2 是函数 f ( x ) 图象上两点,若在点 P 1, P 2 处的两条切线相互平行, 4

求这两条切线间距离的最大值; ( 3 )设定义在区间 D 上的函数 y ? s( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? t ( x) ,当

x ? x0 时,若

s ( x) ? t ( x) .试 ? 0 在 D 上恒成立,则称点 P 为函数 y ? s( x) 的“好点” x ? x0
2

问函数 g ( x) ? x f ( x) 是否存在“好点” .若存在,请求出所有“好点”坐标,若不存 在,请说明理由.

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前, 请考生务必将自己的学校、 姓名、 考试号等信息填写在答题卷上规定的位置. 解 答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效. 21. (本题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

?1 a ? ? 的一个特征值是 ?1 ,求矩阵 A 的另一个特征值 ? ,及属于 ? 的 2 3 ? ?

一个特征向量。 22. (本题满分 10 分)

已知 ( 3 x ?

1 n ) 的展开式中第 2 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为1 : 7 . x

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项(用组合数表示) 。 23. (本题满分 10 分) 一个盒子中装有 5 张相同的卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1, 2,3, 4,5 ,现 从盒子中随机抽取卡片。 (1)若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为偶 数的概率; (2)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当抽到记有奇数的卡片 即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的概率分布列和数学期望。 24. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M (2, 2) , P 是动点,且 ?POM 的三边所在直线 的斜率满足 kOM ? kOP ? kPM . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 点 N 在直线 y ? 4 x ? 1 , 过N 作 (1) 中轨迹 C 的两切线, 切点分别为 A, B , 若 ?ABN 是直角三角形,求点 N 的坐标。

参 考 答 案
1、

1 2 3 5

2、 ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

3、 ?4 7、1

4、

1 3

5、 ?

6、 ?3

8、1

9、 ?4

10、

5? 12
14、

11、

3 3

12、2

13、0、2

3? 5 2

解析:设直线 l 与坐标轴的交点分别为 A(a, 0) , B(0, b) ,显然 a ? 1 , b ? 2 .

1 | ? 1| x y 1 1 1 2 b 则直线 l : ? ? 1 ,依题意: b , ? 1 ,即 2 ? 2 ? 2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? a b a b b b b?2 1 1 ? a 2 b2
2 2 2 所以 AB ? a ? b ?

b x ? b 2 ,设 f ( x) ? ? x2 , b?2 x?2

则 f '( x) ?

?2 2[ x( x ? 2)2 ? 1] ? 2x ? ( x ? 2)2 ( x ? 2)2

?

2( x3 ? 4 x 2 ? 4 x ? 1) 2( x ? 1)( x 2 ? 3x ? 1) ? ( x ? 2) ( x ? 2)2 ( x ? 2)2
3? 5 3? 5 , x3 ? , 2 2

设 f '( x) ? 0 ,则 x1 ? 1 , x2 ?

又 x ? 2 ,故当 x ? (2, x3 ) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? ( x3 , ??) 时, f ( x ) 单调递增; 所以当 b ?

b 3? 5 2 ? 5 ? 2 时, AB 有最小值. ,a ? b?2 2

15、 (1)由

4 ? 1 得 ?1 ? x ? 3 x ?1

即 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 m ? 2 时,由 ? x ? 6?? x ?1? ? 0 得 x ? 6 或 x ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以 A ? B ? x | x ? 3或x ? 6

?

? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

(2)由 ? x ? m ? 4?? x ? m ? 1? ? 0 得 x ? m ? 4 或 x ? m ? 1 即 B ? x | x ? m ? 4或x ? m ?1 因为 A ? B ? ? ,所以 ? 即 ?1 ? m ? 0 .

?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

? 3? m?4 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?1 ? m ? 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

16、 (1)因为 m ? n ,所以 cos B ?sin C ? 2sin A? ? sin B cos C ? 0 , 即: sin ? B ? C ? ? 2cos B sin A ? sin A?1 ? 2cos B ? ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 因为 A ? ? 0, ? ? ,所以 sin A ? 0 ,故 cos B ?

??

?

1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2

因为 B ? ? 0, ? ? ,所以 B ?

?
3

. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

(2)由(1)可知,因为 B ? 所以 13 ? a ? c ? 2ac cos
2 2

?
3

, b ? 13 , ① ② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

?
3

? a 2 ? c 2 ? ac ,

又a ?c ? 7, 由①②解得 ac ? 12

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

所以 BC ? BA ? ac cos B ? 6

??? ? ??? ?

17、 (1)方法一:圆的方程可化为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 10 ,直线可设为 y ? kx ? 2 , 即 kx ? y ? 2 ? 0 ,圆心 M 到直线的距离为 d ?

| 4k ? 2 | k 2 ?1



依题意 d ? 10 ,即 (4k ? 2)2 ? 10(k 2 ? 1) , 解之得: ?3 ? k ? 方法二:由 ?

1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 可得: (k 2 ? 1) x2 ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2

依题意 ? ? [4(k ? 2)]2 ? 40(k 2 ? 1) ? 0 , 解之得: ?3 ? k ?

1 . 3

(2)方法一:因为 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ?

1 1 ,故直线 ON : y ? ? x , 2 2

1 ? y?? x 4 2 , ), 由? 2 可得 N (? 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? kx ? 2

2 2k ? 1 ? ? 1 , 又 N 是 AB 中点,所以 MN ? AB ,即 4 k ? ?4 2k ? 1 4 解之得: k ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 3 x ? x2 y1 ? y2 , ) 方法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N ( 1 2 2
由?

? x2 ? y 2 ? 8x ? 6 ? 0 2 2 可得: (k ? 1) x ? 4(k ? 2) x ? 10 ? 0 , ? y ? kx ? 2

所以 x1 ? x2 ? ?

4(k ? 2) , k 2 ?1 1 , 2

又 ON / / MP ,且 MP 斜率为 ?

y1 ? y2 2 ? ? 1 ,即 y1 ? y2 ? ? 1 ,也就是 k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 1 , 所以 x1 ? x2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 2 2 4(k ? 2) k (? 2 )?4 4 1 k ?1 所以 ? ? ,解之得: k ? ? . 4(k ? 2) 3 2 ? 2 k ?1
y ? kx ? 2 ? 4 ? 1 方法三:点 N 的坐标同时满足 ? y ? ? x ,解此方程组,消去 x, y 可得 k ? ? . 3 2 ? ? y 1 ?? x?4 k
18、解法一:以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,CA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 则 C (0, 0) , A(0,180) , B(90, 0) , P(10,100) , D(0, d ) . DE 直线方程: y ? 100 ?

d ? 100 ( x ? 10) ,①· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ?10

AB 所在直线方程为 2 x ? y ? 180 ,② · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
y A

E D P

C (O)

B

x

10d ? 1800 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 d ? 120 225 225 ∵直线 DE 经过点 B 时 d ? ,∴ 0 ? d ? , 2 2
解①、②组成的方程组得, xE ?

1 1 10d ? 1800 AD? | xE |? ? (180 ? d ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 d ? 120 15 (180 ? d ) 2 =5? ,设 120 ? d ? t ? ( ,120) , 2 120 ? d S? ADE ?

S? ADE ? 5 ?
?t ?

3600 (60 ? t )2 ? 120) , = 5 ? (t ? t t

3600 ? 120 (当且仅当 t ? 60 ,即 k ? 4 时取等号) ,此时 d ? 120 ? t ? 60 , t

∴当 d =60 时,绿化面积最小,从而运动区域面积最大.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15 分 解法二:如图,分别过点 P, E 作 AC 的垂线,垂足为 Q, F ,设 EF ? h ,则 若如图 1 所示,则 PQ ? 10, CQ ? 100, DQ ? 100 ? d , 由 ?AFE ? ?ACB 得

AF h h ,从而 CF ? 180 ? 2h ,DF ? 180 ? 2h ? d , ? ,即 AF ? 2 180 90 10 100 ? d 1800 ? 10d ? ,解得 h ? h 180 ? 2h ? d 120 ? d 10 100 ? d 1800 ? 10d ? ,解得 h ? ) h 180 ? 2h ? d 120 ? d

由 ?DPQ ? ?DEF 得

(若如图 2 所示,则 PQ ? 10, CQ ? 100, DQ ? d ? 100 , AF ? 2h , CF ? 180 ? 2h ,

DF ? 2h ? d ? 180 ,由 ?DPQ ? ?DEF 得
由 0 ? h ? 90 得 0 ? d ? 由 S? ADE ?

225 , 2

1 1 10d ? 1800 AD ? h ? ? (180 ? d ) ? (下同解法一) 2 2 d ? 120

19、 (1)依题意, 2b ?

1 ? 2a ,则 a ? 3b , 3

∴c ?

a2 ? b2 ? 2 2b ,又

a2 b2 2 ?c ? ? ,∴ b ? 1 ,则 a ? 3 , c c 4

∴椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 9

(2)①由题意知直线 PE , ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k ,则 PE :

y ? kx ? 1 ,

18k ? x? 2 , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, ? 9k ? 1 ? 2 由?x 得? 或? 2 2 ? ? y ? 1, ? y ? 9k ? 1 , ? y ? ?1, ?9 ? 9k 2 ? 1 ?
∴ P( 用?

18k 9k 2 ? 1 , ), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

1 ?18k 9 ? k 2 , ), 去代 k ,得 M ( 2 k k ? 9 k2 ? 9

方法 1: k PM

9k 2 ? 1 9 ? k 2 ? 2 2 k 2 ?1 , ? 9k ? 1 k ? 9 ? 18k 18k 10 k ? 9k 2 ? 1 k 2 ? 9
9 ? k 2 k 2 ?1 18k k 2 ?1 4 ? ( x ? ) y ? x? , ,即 2 2 k ? 9 10k k ?9 10k 5
4 5

∴ PM : y ?

∴直线 PM 经过定点 T (0, ) . 方法 2: 作直线 l 关于 y 轴的对称直线 l ' , 此时得到的点 P ' 、M ' 关于 y 轴对称, 则 PM 与 P ' M ' 相交于 y 轴,可知定点在 y 轴上, 当 k ? 1 时, P ( , ) , M ( ? , ) ,此时直线 PM 经过 y 轴上的点 T (0, ) ,

9 4 5 5

9 4 5 5

4 5

∵ kPT

9k 2 ? 1 4 9 ? k2 4 ? ? 2 2 2 k2 ?1 5 5 ? k ?1, 9 k ? 1 k ? 9 ? ? , kMT ? 18k 18k 10k 10k ? 2 2 9k ? 1 k ?9

∴ kPT ? kMT ,∴ P 、 M 、 T 三点共线,即直线 PM 经过点 T , 综上所述,直线 PM 经过定点 T (0, ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

4 5

2k ? x? , ? y ? kx ? 1, ? ? x ? 0, 2k k 2 ? 1 ? 1? k2 A ( , ), ②由 ? 2 得 或 ∴ ? ? 2 2 1? k2 k2 ?1 ? x ? y ? 1, ? y ? k ? 1 , ? y ? ?1, ? k2 ?1 ?

则直线 AB : y ?

k2 ?1 x, 2k

设t ?

4 k2 ?1 ,则 t ? R ,直线 PM : y ? tx ? ,直线 AB : y ? 5tx , 5 10k

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 假设存在圆心为 (m,0) ,半径为

3 2 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交, 5

3 ? | 5tm | ? 2, ? 2 5 1 ? 25 t ? ? 则? 4 ? | mt ? 5 | 3 ? 2, ? 5 ? 1? t2 ?
由( ii )得, (m ?
2

(i)
由 (i ) 得 25t (m ?
2 2

18 18 18 2 )? 对 t ? R 恒成立, 则m ? , 25 25 25

(ii)

18 2 8 2 )t ? mt ? ? 0 对 t ? R 恒成立, 25 5 25 18 18 8 2 18 2 2 2 2 )(? ) ? 0 ,得 当m ? 时,不合题意;当 m ? 时, ? ? ( m) ? 4( m ? 25 25 5 25 25
m2 ? 2 2 2 ,即 ? , ?m? 25 5 5

∴存在圆心为 (m, 0) ,半径为

3 2 的圆 G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交, 5

所有 m 的取值集合为 (?
2

2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 , ) .· 5 5
2

解法二:圆 G : ( x ? m) ? y ?

18 4 4 2 18 2 ,由上知 PM 过定点 (0, ) ,故 m ? ( ) ? ;又 25 5 5 25
2

直线 AB 过原点,故 G : m ? 0 ?
2

18 2 2 , ). ,从而得 m ? (? 25 5 5
2

20、解: (1)方法一: f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立,即为 (a ? 3) x ? 6 x ? 2 ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, ① a ? 3 时,结论成立; ② a ? 3 时, 函数 h( x) ? (a ? 3) x ? 6 x ? 2 图象的对称轴为 x ? ?
2

6 ? 0, 2(a ? 3)

所以函数 h( x) ? (a ? 3) x ? 6 x ? 2 在 (1, ??) 单调递增,
2

依题意 h(1) ? 0 ,即 a ? ?5 , 所以 a ? 3 ; ③ a ? 3 不合要求, 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 方法二: f ( x) ? 3x 在 (1, ??) 上恒成立等价于 a ? ?

2 6 ? ? 3, x2 x

2 6 ? 1 3 ? 15 令 h ? x ? ? ? 2 ? ? 3 ? ?2 ? ? ? ? x x 2 ? x 2?
因为 x ? 1 ,所以 0 ? 所以 a ? 3 . (2) f '( x) ?

2

1 ? 1 ,故 ?5 ? h ? x ? ? 3 x

3 2 ? 4 x2

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,过点 P 1, P 2 的两切线互相平行, 则

3 2 3 2 ,或 x1 ? ? x2 , ? ? ? 2 ,所以 x1 ? x2 (舍去) 4 x12 4 x2

过点 P 1 的切线 l1 : y ? y1 ? f '( x1 )( x ? x1 ) ,即 f '( x1 ) x ? y ? f ( x1 ) ? x1 f '( x1 ) ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 过点 P 2 的切线 l 2 : f '( x2 ) x ? y ? f ( x2 ) ? x2 f '( x2 ) ? 0 两平行线间的距离是 d ?

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 f '( x1 ) ? x2 f '( x2 ) | 1 ? [ f '( x1 )]2

3 2 3 2 8 2 | ( x1 ? ) ? x1 ( ? 2 ) | 4 x1 4 x1 | x1 | 8 , ? ? ? 3 2 2 25 3 4 25 2 4 1? ( ? 2 ) ? ? x1 ? 2 ? 3 4 x1 16 x12 x14 16 x1
因为

25 2 4 25 2 4 8 ?4 2 x1 ? 2 ? 2 x1 ? 2 ? 5 ,所以 d ? 16 x1 16 x1 5?3

即两平行切线间的最大距离是 4 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (3) g ( x) ? x f ( x) ? ax ? 6 x ? 2 x ,设 g ( x) 存在“好点” P( x0 , y0 ) ,
2 3 2

由 g '( x) ? 3ax ? 12 x ? 2 ,得 h( x) ? g '( x0 )( x ? x0 ) ? g ( x0 ) ,
2

依题意

g ( x ) ? h( x ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立, x ? x0

因为

g ( x) ? [ g '( x0 )( x ? x0 ) ? g ( x0 )] [ g ( x) ? g ( x0 )] ? g '( x0 )( x ? x0 ) , ? x ? x0 x ? x0

?

3 2 2 [(ax3 ? 6 x 2 ? 2 x) ? (ax0 ? 6 x0 ? 2 x0 )] ? (3ax0 ? 12 x0 ? 2)( x ? x0 ) x ? x0

2 2 ? [a( x2 ? x0 x ? x0 ) ? 6( x ? x0 ) ? 2] ? (3ax0 ?12x0 ? 2)
2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 ? ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) , · 2 所以 ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立,

2 ①若 a ? 0 , ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 不可能对任意 x ? x0 恒成立,

即 a ? 0 时,不存在“好点” ;
2 ②若 a ? 0 ,因为当 x ? x0 时, ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 , 2 要使 ax2 ? (ax0 ? 6) x ? (2ax0 ? 6x0 ) ? 0 对任意 x ? x0 恒成立, 2 必须 ? ? (ax0 ? 6)2 ? 4a(2ax0 ? 6x0 ) ? 0

(ax0 ? 2)2 ? 0 ,所以 x0 ? ?

2 , a 2 16 ? 4a , ).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 a a2

综上可得,当 a ? 0 时,不存在“好点” ; 当 a ? 0 时,存在惟一“好点”为 ( ? 21.解:矩阵 A ? ?

?1 a ? ? 的特征多项式是 f (? ) ? (? ?1)(? ? 3) ? 2a , ?2 3?

由 f (?1) ? 0 得 a ? 4 , 令 f (? ) ? 0 ,则 ? ? ?1 或 ? ? 5 ,

解方程组 ?

? (5 ? 1) x ? 4 y ? 0 ? x ?1 可得一组不为零的解是 ? ? ?2 x ? (5 ? 3) y ? 0 ? y ?1 ?1? ?1?

所以矩阵 A 的另一个特征值是 5 ,属于 5 的一个特征向量是 e ? ? ? .
2 n ?5 r 1 r r ) ? Cn (?1)r x 6 x

22.解: (1) Tr ?1 ? Cn ( 3 x )
r

n?r

(?

? 第 2 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数之比为 1:7.

C ?C

1 n 2 n

?

1 ,解得 n ? 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 7
30?5r 6

r (2)由(1)得 Tr ?1 ? C15 (?1)r x

,令

30 ? 5r ? 0 ,则 r ? 6 , 6

6 6 所以常数项为第 7 项, T6?1 ? C15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (?1)6 ? C15

23.解: (1)依题意:每次取到偶数的概率为

2 , 5

设 A 表示事件“有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到卡片的数字为偶 数” 则 P ( A) ? C3 ( ) (1 ? ) ?
2 2

2 5

2 5

36 ;· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 125

(2)依题意: X ? 1, 2,3 , 则 P ( X ? 1) ?

3 3? 2 3 ? , , P( X ? 2) ? 5 5 ? 4 10 2?3 1 P ( X ? 3) ? ? ,所以 X 的分布列为: 5 ? 4 ? 3 10
X
P

1

2

3

3 5

3 10

1 10

所以, E ( X ) ? 1?

3 3 1 3 ? 2? ? 2? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 4 10 10 2

24.解: (1)设 P( x, y) ,由 kOM ? kOP ? kPM 得:

1?

y y?2 2 ? ,即 x ? 2 y , x x?2

所以 P 点的轨迹 C 的方程是: x2 ? 2 y ( x ? 0 ,且 x ? 2) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)因为 y ?

1 1 2 1 2 ) , N (a, b) x ,所以 y ' ? x ,设 A( x1 , x12 ) , B( x2 , x2 2 2 2 则 k AN ? x1 , kBN ? x2 , 1 2 x1 ? b ? x1 , 由于 AN 是曲线的切线,所以 2 x1 ? a
2 2 即 x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ,同理 x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 ,

两式相减可得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2a( x1 ? x2 ) ? 0 , 又 x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 2a , ①若 AN ? BN ,则 k AN kBN ? ?1,所以 x1 x2 ? ?1 ,

2 ? x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 1 1 1 ? 2 由 ? x2 ? 2ax2 ? 2b ? 0 ,得 2b ? ?1 , b ? ? ,此时 N ( , ? ) ; · · · · · · · · · 6分 2 8 2 ? x x ? ?1 ? 1 2

②若 AN ? AB ,则 k AN k AB

1 2 1 2 x2 ? x1 2 ? x ? ?1 ? ?1 ,即 2 1 x2 ? x1
1 , a

化简得: ( x1 ? x2 ) x1 ? 2 ? 0 ,即 2ax1 ? 2 ? 0 , x1 ? ?
2 又 x1 ? 2ax1 ? 2b ? 0 ,即

1 ? 2 ? 2b ? 0 a2

1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2b ? 0 ?a ? ? 由? a 可得 ? 2 ? b ? 4a ? 1 ? ?b ? ? 3
所以 N (? , ?3) , ③若 BN ? AB ,同理可得 N (? , ?3) ; 综上可得,所求点 N 有两个: N ( , ? ) ,和 N (? , ?3) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

1 2

1 2

1 8

1 2

1 2


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