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2015-2016学年贵州省思南中学高二下学期期末考试数学(理)试题


贵州省思南中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 高二年级理科数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? 1, 2a , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? ? ? ,则 A ? B 为(

>
?

?

?1 ? ?2?



A. ? ?1, ,1?

? ?

1 ? 2 ?

B. ? ?1, ?

? ?

1? 2?

C. ?1, ?

? 1? ? 2?

D. ? ,1, b ? )

?1 ?2

? ?

2.设 i 是虚数单位,若复数 a ? A.-3 B.-1 C.1

10 ? a ? R ? 是纯虚数,则 a 的值为( 3?i

D.3 )

3.设函数 f ? x ? ? ? A.10 B.6

?1 ? log 2 ? 2 ? x ? , x ? 1 ,则 f ? ?6 ? ? f ? log 2 12 ? ? ( 2 x ?1 , x ? 1 ?
C.9 D.12

4.给出下列三个结论: (1)若命题 p 为假命题,命题 ?q 为假命题,则命题“ p ? q ”为假命题; (2)命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ” ; (3)命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2 ? 0 ” ,则以上结论正确的个数为(
x x



A.3

B.2

C.1

D.0 )

5.设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8, S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8


6.将 4 名实习教师分配到高一年级三个班实习,每班至少安排一名教师,则不同的分配方案有种( A.12 B.36 C.72 D.108 )

7.函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ? ? x0 ? ? 0, q : x ? x0 是 f ? x ? 的极值点,则( A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件
页 1第

D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 8.若 x ? e ?1 ,1 , a ? ln x, b ? ? A. c ? b ? a

?

?

?1? ? ?2?

ln x

, c ? e ln x ,则 a, b, c 的大小关系为(
C. a ? b ? c D. b ? a ? c )



B. b ? c ? a

9.程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是(

A. ?

1 2

B.

10.已知向量 a ? ? x ? z ,3? , b ? ? 2, y ? z ? ,且 a ? b ,若实数 x, y 满足不等式 x ? y ? 1 ,则实数 z 的取值 范围为( A. ? ?3,3? ) B. ? ? 2, 2 ?

?

1 3

C.-3

D.2

?

?

?

?

?

C. ? ?1,1?

D. ? ?2, 2? )

11.若抛物线 x ? 4 y 上有一条长为 6 的动弦 AB ,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为(
2

A.

3 4

B.

3 2

C.1

D.2 )

12.函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是奇函数,则( A. f ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? 是奇函数 C. f ? x ? ? f ? x ? 2 ?

D. f ? x ? 3? 是奇函数

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
页 2第

1? ? 13. ? x ? ? 的展开式的常数项为____________. x? ?
14.某几何体的三视图如图,则它的体积是____________.

6

15.设命题 p :

2x ?1 2 命题 q : x ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? 1? ? 0 , 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 a 的 ?0, x ?1

取值范围是_____________. 16.过双曲线

x2 y 2 ? ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F ? ?c, 0 ?? c ? 0 ? ,作倾斜角为 的直线 FE 交该双曲线 2 a b 6
??? ?

右支于点 P ,若 OE ?

??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? OF ? OP 且 OE ?EF ? 0 ,则双曲线的离心率为_____________. 2

?

?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12 分)
2 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an ? 0 , an ? 2an ? 4 S n ? 3 .

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an ?1

18.某地区 2007 至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预 测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:



3第

? ? ? ? ?b ? ? ? ? ? ?

? ? x ? x ?? y ? y ? ? x y ? nx y
n n i ?1 i i

??
n i ?1

xi ? x

?

2

?

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? ? y ? bx a

19.(12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 4, BC ? 3, AA1 ? 4, AC ? BC ,点 D 在线段 AB 上.

(1)若 D 是 AB 中点,证明 AC1 / / 平面 B1CD ; (2)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

20.(12 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?

x2 与直线 l : y ? kx ? a ? a ? 0 ? 交于 M , N 两点, (1)当 k ? 0 时,分 4

别求 C 在点 M 和N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P , 使得当 k 变动时, 总有 ?OPM ? ?OPN ? 说明理由. 21.(12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3ax ? 2 ? 3a ? 1? x ? 4 x .
4 2

(1)当 a ?

1 时,求 f ? x ? 的极值; 6

(2)若 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交 ? O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的延长 线于点 E , OE 交 AD 于点 F .



4第

(1)求证: DE 是 ? O 的切线; (2)若

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ? 2, (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 ? ? ? 0,

? ?

??

? ,半径 r ? 3 . 4?

? x ? 2 ? t cos ? ? ?? l ,直线 的参数方程为 ( t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A、B 两点,求弦 ? ? ? 4? ? y ? 2 ? t sin ?

长 AB 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a . (1)若 f ? x ? ? m 的解集为 ? x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a, m 的值; (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? t ? f ? x ? 2 ? .

参考答案
一、选择题

题号 答案

1 A

2 D

3 A

4 C

5 A

6 B

7 C

8 B

9 A

10 A

11 D

12 D

二、填空题:



5第

13. 15

14.

8?

2? 3

15. ? 0, ? 2

? 1? ? ?

16. 3 ? 1

三、解答题
2 2 17. (1)由 an ? 2an ? 4 S n ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an ?1 ? 4 S n ?1 ? 3 ,

又 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1 (舍去) , a1 ? 3 . 所以 ?an ? 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1 (2)由 an ? 2n ? 1 可知,

bn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. an an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? n 3 ? 2n ? 3 ?
1 1 y ? ? 2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9 ? ? 4.3 , ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 4, 7 7
2 i

18.解: (1)由所给数据计算得

t?
7

? ?t ? t ?
i ?1

? 9 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9 ? 28 ,

? ?t
?? b

i

?t

?? y ? y ? ? ? ?3? ? ? ?1.4 ? ? ? ?2 ? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?0.7 ? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3?1.6 ? 14 ,
i

? ? t ? t ?? y ? y ?
7 i ?1 i i

? ?t ? t ?
7 i ?1 i

2

?

14 ? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 , ? ? y ? bt ? 0.5 , a 28

? ? 0.5t ? 2.3 , 所求回归方程为 y
页 6第

? ? 0.5 ? 0 ,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年 (2)由(1)知, b
增加 0.5 千元.

? ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 , 将 2015 年的年份代号 t ? 9 ,代入(1)中的回归方程,得 y
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 19.证明:如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则 B ? 3, 0, 0 ? ,

A ? 0, 4, 0 ? , A1 ? 0, 4, 4 ? , B1 ? 3, 0, 4 ? , C1 ? 0, 4, 4 ?

(1)解法一:

???? ? ?? AC1 ? ? 0, ?4, 4 ? ,设平面 B1CD 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,
由 B1C ?m ? ? ?3, 0, ?4 ?? ? x, y, z ? ? ?3x ? 4 z ? 0 ,且 CD?m ? ? 令 x ? 4 ,得 m ? ? 4, ?3, ?3? , 所以 AC1 ?m ? ? 0, ?4, 4 ?? ? 4, ?3, ?3? ? 0 , 又 AC1 ? 平面B1CD ,所以 AC1 / / 平面B1CD ; 解法二:证明:连结 BC1 ,交 BC1 于 E ,连结 DE . 因为 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, D 是 AB 中点, 所以侧面 BB1C1C 为矩形, DE 为 ?ABC1 的中位线, 所以 DE / / AC1 . 因为 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD ,
页 7第

???? ??

??? ? ??

3 ?3 ? , 2, 0 ?? ? x, y , z ? ? x ? 2 y ? 0 , 2 ?2 ?

??

???? ? ??

所以 AC1 / / 平面 B1CD . (2)解:由(1)知 AC ? BC , 设 D ? a, b, 0 ?? a ? 0, b ? 0 ? , 因为点 D 在线段 AB 上,且 所以 a ? 2, b ?

??? ? 1 ??? ? BD 1 ? ,即 BD ? BA . AB 3 3

? ? 4 ??? 4 ? , BD ? ? ?1, , 0 ? , 3 3 ? ? ??? ? ? ? 4 3 ? ?

所以 B1C ? ? ?3, 0, ?4 ? , CD ? ? 2, , 0 ? , 平面 BCD 的法向量为 n1 ? ? 0, 0,1? . 设平面 B1CD 的法向量为 n2 ? ? x, y,1? ,

????

??

?? ?

? 3x ? 4 ? 0 ???? ?? ? ??? ? ?? ? ? n2 ? 0 ,得 ? 由 B1C ?n2 ? 0, CD ? , 4 2 x ? y ? 0 ? 3 ?
所以 x ? ?

?? ? ? 4 4 ? , y ? 2, n2 ? ? ? , 2,1? . 3 ? 3 ?

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? ,

?? ?? ? n1 ?n2 3 所以 cos ? ? ?? ?? , ? ?? 61 n1 n2
所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

3 61 61

20.解: (1)由题设可得 M 2 a , a , N ?2 a , a ,或 M ?2 a , a , N 2 a , a . 又 y? ?

?

? ?

?

?

? ? ?

?

x2 x ,故 y ? 在 x ? 2 a 处的导数值为 a , C 在点 2 a , a 处的切线方程为 4 2

?

y ? a ? a x ? 2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 .
x2 y ? 在 x ? ?2 a 处的导数值为 ? a ,C 在点 ?2 a , a 处的切线方程为 y ? a ? ? a x ? 2 a ,即 4
ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 和 ax ? y ? a ? 0 .
页 8第

?

?

?

?

?

?

(2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P ? 0, b ? 为符合题意的点, M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k2 .将 y ? kx ? a 代 入 C 的方程得 x 2 ? 4kx ? 4a ? 0 . 故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . 从而 k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

?

2kx1 x2 ? ? a ? b ?? x1 ? x2 ? k ? a ? b ? , ? x1 x2 a

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 ? 0 , 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故 ?OPM ? ?OPN ,所以点 p ? 0, ? a ? 符合题意. 21. (1) f ? ? x ? ? 4 ? x ? 1? 3ax 2 ? 3ax ? 1 , 当a ?

?

?

1 2 时, f ? ? x ? ? 2 ? x ? 2 ?? x ? 1? , f ? x ? 在 ? ??, ?2 ? 内单调减, 在 ? ?2, ?? ? 内单调增, 在 x ? ?2 时, 6

f ? x ? 有极小值.
所以 f ? ?2 ? ? ?12 是 f ? x ? 的极小值. (2)由(1)知, f ? ? x ? ? 4 ? x ? 1? 3ax 2 ? 3ax ? 1 , ∵ f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数, ∴ f ? ? x ? ? 0 ,对任意的 x ? ? ?1,1? 恒成立, 即 3ax 2 ? 3ax ? 1 ? 0 ,对任意的 x ? ? ?1,1? 恒成立, ①当 a ? 0 时,显然成立, ②当 a ? 0 时,设 g ? x ? ? 3ax ? 3ax ? 1 ,
2

?

?

即?

? ? ?1 ? 0 1 ? g ? ?1? ? 0 ,即 ? ,解得: a ? , 6 ? ?6 a ? 1 ? 0 ? g ?1? ? 0
1 , 6 1 ,对任意的 x ? ? ?1,1? 恒成立, a
9第

又 a ? 0 ,∴ 0 ? a ?

③当 a ? 0 时,即 3 x 2 ? 3 x ?



1 , x ? ? ?1,1? , a 1 3 而当 x ? ? 时, ? 3 x 2 ? 3 x ? ? ? , min 2 4 3 1 4 ∴ ? ? ,解得: ? ? a ? 0 , 4 a 3
即 3x 2 ? 3x

?

?

min

?

综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ?

? 4 1? , . ? 3 6? ?

22. (1)证明 :连结 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ∴ OD / / AE ,又 AE ? DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ∴ OE ? OD ,又 OD 为半径 ∴ DE 是的 ? O 切线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)解:过 D 作 DH ? AB 于 H , 则有 ?DOH ? ?CAB ,

cos ?DOH ? cos ?CAB ?

AC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? . AB 5

设 OD ? 5 x ,则 AB ? 10 x, OH ? 2 x , ∴ AH ? 7 x , 由 ?AED ? ?AHD 可得 AE ? AH ? 7 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 又由 ?AEF ? ?DOF ,可得 AF : DF ? AE : OD ? ∴

7 , 5

AF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? . DF 5

23. (1)由 C ? 2,

? ?

??

? 得, C 直角坐标 ?1,1? ,所以圆 C 的直角坐标方程为 4?

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

? x ? ? cos ? 得,圆 C 的极坐标方程为 ? 3 ,由 ? ? y ? ? sin ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0 .
页 10 第

(2)将 ?

? x ? 2 ? t cos ? 2 2 带入 C 的直角坐标方程 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 得 ? y ? 2 ? t sin ?

t 2 ? 2 ? cos ? ? sin ? ? t ? 1 ? 0 ,则 ? ? 0 ,
设 A, B 对应参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?2 ? cos ? ? sin ? ? , t1t2 ? ?1 ,

AB ? t1 ? t2 ?
因为 ? ? ? 0,

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 8 ? 4sin 2? ,

? ?? ? ,所以 sin 2? ? ? 0,1? ,所以 8 ? 4sin 2? ? ?8,12 ? , ? 4?

所以 AB 的取值范围为 ? 2 2, 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

?

?

24.解: (1)∵ x ? a ? m ,∴ a ? m ? x ? a ? m , ∵ ?1 ? x ? 5 , ∴?

? a ? m ? ?1 ?a ? 2 ,∴ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ? a?m?5 ?m ? 3

(2)∵ a ? 2 ,∴ x ? 2 ? t ? x , 当 x ? 2 时, x ? 2 ? t ? x ,∵ 0 ? t ? 2 ,∴舍去, 当 0 ? x ? 2 时, 2 ? x ? t ? x ,∴ 0 ? x ? 当 x ? 0 时, 2 ? x ? t ? ? x ,∴成立, ∴解集为 ? ??,

t?2 ,成立, 2

? ?

t ? 2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ?. 2 ?



11 第


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