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2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理数试题及答案


2015 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考



学(理科)

命题学校:广东广雅中学 命题:高二理数备组 审核:徐广华 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密

封线 内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 参考公式: V棱锥 ?

1 Sh 3

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

第一部分选择题(共 40 分)
一.选择题(本大题共 8 道小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中有且只有一 个是符合题目要求的) 1.集合 A 为函数 y ? A. (0, 2)

1 的值域,集合 B ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? B 等于( x2
C. (0,1) D. (0,1]

)

B. (1, 2)

2.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两渐近线方程为( 4m 2 m 2
1 x 2
B. y ? ?2 x

)

A. y ? ?

C. y ? ?

1 x 4

D. y ? ?4 x )

3.已知 a、 b 均为单位向量,且 | a + 2b |= A.

7 ,那么向量 a 与 b 的夹角为(
C.

? 6

B.

? 3

5? 6
)

D.

2? 3

4.下列函数既有零点,又是单调函数的是( A. y ? ex?1 B. y ? ln | x |

C. y ?

5.将函数 f ( x) ? cos 2 x 的图象向右平移 则( )

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象, 4
B. g ( x ) ? cos(2 x ? D. g ( x) ? ? sin 2 x

1 ?1 x

D. y ?

x ?1

A. g ( x ) ? cos(2 x ? C. g ( x) ? sin 2 x

?
4

)

?
4

)

第 1 页 共 11 页

6.三棱锥 P ? ABC 的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形,其中底边长为 4 ,腰长 ) 为 3 ,则该三棱锥左视图的面积为(

5 A. 2

主视图

B. 2 5

C. 5

D. 5

7. A 为 y 轴上异于原点 O 的定点,过动点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B ,动点 P

2 2

2 2

??? ? ??? ? ??? ? 满足 | PA ? PO |? 2 | PB | ,则点 P 的轨迹为(
A.圆 B.椭圆 C.双曲线

) D.抛物线

8. 对于平面直角坐标系内的任意两点 A , “距离” : A (( xx ,,yy ), ), B B (( x x ,,y y )) 定义它们之间的一种 11 11 22 22

俯视图

AB ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 . 给出下列三个命题:
①若点 C 在线段 AB 上,则 AC ? CB ? AB ; ②在 ?ABC 中, AC ? CB ? AB ;
? ③在 ?ABC 中,若 ?A ? 90 ,则 AB
2

? AC

2

? BC .

2

C.2 D.3 第二部分非选择题(110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 9.用系统抽样的方法从容量为 42 的总体中抽取容量为 10 的样本,则总体中每个个体被抽到的概率 为 10.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是 . (注:“ n ? 6 ”也可写成“ n :? 6 ”或“ n ? 6 ” ,均表示赋值语句) 11.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知

其中错误 的个数为( .. A.0 B.1



3(b2 ? c2 ) ? 3a2 ? 2bc ,则 sin A ?
12.设 a , b 满足 ?

?| x ? y |? 1 y ,则 的取值范围是 x ?1 ?4 ? x ? 2 y

.

13.已知等比数列 {an } 是正项数列,且 a2 ? 1 ,其前 3 项的和为 S3 , ? ? S3 恒成立,则 ? 的最大值 为 .
2 2

14.已知 A 为圆 O : x ? y ? 8 上的任意一点,若 A 到直线 l : y ? x ? m 的距离小于 2 的概率为 则m= .

1 , 4

第 2 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 3 cos

x x x x sin ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f ( A) ? 1, 2a ? 3b ,求 sin C 的值.

16.(本题满分 12 分) 荔湾西村在 11 月至 12 月的空气质量监测中获得一组样本数据,现根据国家的 PM2.5 空气污染指数 等级将监测结果分成如下五组:第一组“优秀[0,50)” 、第二组“良好[50,100)” 、第三组“轻度污染 [100,150)” 、第四组“中度污染[150,200)”和第五组“重度污染[200,250]” ,已知第一组至第五组数 据的频率之比为 2 : 8 : 9 : 5 :1 ,第一组数据的频数是 4. (I) 求出样本容量,并估计西村 11 月至 12 月空气质量为优良等级(优秀或良好)的概率; (II)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取 2 份数据,求抽出的两份数据都是优 秀等级的概率.

17.(本题满分 14 分)

2 , DC ? 2, AD ? 1 , 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, 其中 AB ? 2
AD ? AB ,顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上, F 是 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BF ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 PDB ; (III) 若 PA ? PC ? 1 ,求三棱锥 P ? DBF 的体积.

P

F

D

C

A

B

第 3 页 共 11 页

18.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 x 的解集为 x 1 ? x ? 3 . (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)设 F ( x) ? f ( x) ? bx ,且当 x ? [?1, 2] 时,函数 F ( x) 的最小值为 1 ,求实数 b 的值.

?

?

19.(本题满分 14 分) 已知 n ? N , 设 Sn 是单调递减的等比数列 {an } 的前 n 项和,a1 ? 1 , 且 S2 ? a2 、S4 ? a4 、S3 ? a3 成等差数列. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2a1 , bn?1bn ? bn?1 ? bn ? 0 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (III)在满足(II)的条件下,若 cn ?
?

an cos(n? ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

20.(本题满分 14 分)

1 x2 y 2 3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 ( 3, ? ) ,且椭圆的离心率 e ? ,过椭圆的右焦点 F 作 2 a b 2
两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 A、B 及 C、D . (I)求椭圆的方程; (II)求证:

1 1 ? 为定值; | AB | | CD |
9 | CD | 的最小值. 16

(Ⅲ) 求 | AB | ?

第 4 页 共 11 页

2015 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学答案
一、选择题 1.A 2.A 二.填空题 9. 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C

5 21

10. 3

11.

2 2 3

12. [ ,1]

1 3

13. 3

14. ?4 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x x x x ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) ??3 分 2 2 2 2 6 ? ? ? ? 2? ? 2k? , ∴由 ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ( k ? Z ), 得 ? ? 2k? ? x ? ??5 分 2 6 2 3 3 ? 2? ? 2 k? ] ( k ? Z ) 即函数 f ( x) 的单调递增区间为 [? ? 2k? , ??6 分 3 3 ? 1 ? ? ? (Ⅱ)由 f ( A) ? 1 得 sin( A ? ) ? ,? 0 ? A ? ? , ∴ A ? ? ,即 A ? , 6 2 6 6 3
15.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3 cos ??8 分 根据正弦定理,由 2a ? 3b ,得 2sin A ? 3sin B ,故 sin B ?

3 , 3

??9 分

∵ a ? b ,∴ cos B ? ∵ A? B ?C ?? ,

6 , 3

??10 分

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 6 1 3 3 2? 3 ? ? ? ? 2 3 2 3 6

??12 分

4 2 ? ,解得 n ? 50 , n 2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1 2?8 ? 0.4 . 空气质量为优秀或良好等级的频率为 2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1 2 ? 4 天,设为 a、b、c、d (II)测试结果为优秀等级[0,50)的有 50 ? 2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1 1 ? 2 天,设为 x、 y 测试结果为重度污染等级[200,250]的有 50 ? 2 ? 8 ? 9 ? 5 ?1
16.解:(I)设样本容量为 n ,则 设抽取的两份数据为 m 、n ,则 (m, n) 共有如下 15 种情况:

??2 分 ??5 分 ??6 分 ??7 分

( a, b) 、 ( a, c) 、 (a, d ) 、 (b, c) 、 (b, d ) 、 (c, d ) 、 ( x, y ) 、 ( a, x ) 、 (a, y) 、 (b, x) 、 (b, y ) 、 (c, x) 、
(c, y ) 、 (d , x) 、 (d , y) ,
??9 分

两份数据都是优秀等级的有如下 6 种情况: ( a, b) 、 ( a, c ) 、 (a, d ) 、 (b, c ) 、 (b, d ) 、 (c, d )
第 5 页 共 11 页

??10 分 设“两份数据都是优秀等级”为事件 A,则 P ( A) ? 答:抽出的两份数据都是优秀等级的概率为

6 2 ? . 15 5

2 ??12 分 5 17.(Ⅰ)证法一:取 PD 中点 E ,连结 EA、EF , ∵ E、F 分别是 PD、PC 的中点, 1 ∴ EF // DC ,又 DC // AB ,且 EF ? DC ? AB , 2 EF // AB EF ? AB ∴ ,且 ∴四边形 EFBA 是平行四边形, ??2 分 ∴ AE // BF ??3 分
又∵ AE ? 面PAD , BF ? 面PAD , ??4 分 ∴ EF ? 平面 PAD ??5 分

P

E D

F

C

A

B

证法二:取 DC 中点 M ,连结 FM 、BM ∵ F、M 分别是 PC、DC 的中点,∴ FM // PD , 又∵ PD ? 面PAD , FM ? 面PAD ,∴ FM ? 平面 PAD ??1 分

∵ DM // AB ,且 DM =AB ,∴四边形 ABMD 是平行四边形,∴ BM // AD 又∵ AD ? 面PAD , BM ? 面PAD ,∴ BM ? 平面 PAD ??2 分

P

FM ? BM ? M , FM、BM ? 面BMF ,∴ 面BMF ? 平面 PAD ??4 分
∵ BF ? 面BMF ,∴ BF ? 平面 PAD (Ⅱ) 证法一:顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上, 设为 H ,则 PH ? 面ABCD ∵ BD ? 面ABCD ,∴ PH ? BD ∵ Rt ?ABD 中, ??5 分

F

D

M

C

A
??6 分

B

AD 1 2 AB 2 , Rt ?DAC 中, , ? ? ? AD 2 DC 2 2

P

∴ Rt ?ABD ∽ Rt ?DAC ,∴ ?DAC ? ?ABD ,故 ?ABD ? ?CAB ? 90? 即 AC ? BD ??8 分 又∵ PH ? AC ? H , PH、AC ? 面PAC ,∴ BD ? 面PAC ??9 分

F

BD ? 面PBD ,∴ 面PBD ? 面PAC

??10 分

D

H


C

证法二:顶点 P 在底面 ABCD 的射影落在线段 AC 上,设为 H ,

A
第 6 页 共 11 页

B

PH ? 面ABCD ,∵ BD ? 面ABCD ,∴ PH ? BD

??6 分

在平面 ABCD 上,以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标

系,得 A(0, 0) , B( 得 AC ? BD

???? ??? ? 2 2 ,1) ? 0 , , 0) , D(0,1) , C ( 2,1) ,由 AC ? BD ? ( 2,1) ? (? 2 2
??8 分 ??9 分 ??10 分

又∵ PH ? AC ? H , PH、AC ? 面PAC ,∴ BD ? 面PAC

BD ? 面PBD ,∴ 面PBD ? 面PAC

(III) 解法一:∵ PA ? PC ? 1 ,∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上,且由

AC ? 1 ? 2 ? 3 知 PH ? 1 ? (

3 2 1 ) ? 2 2

??11 分

P

∵ F 分别是 PC 的中点,∵ F 到面 PDB 的距离是 C 到面 PDB 的距离的

1 ??12 分 2

F

1 1 1 1 1 1 2 VP ? DBF ? VC ? PDB ? VP ? DBC ? ? ? ( ? 2 ? 1) ? ? 2 2 2 3 2 2 24
解法二:割补法

??14 分

D H O B

C

∵ PA ? PC ? 1 , ∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上, A 且由 AC ? 1 ? 2 ? 3 知 PH ? 1 ? (

3 2 1 ) ? 2 2

??11 分

∵ F 分别是 PC 的中点,∵ F 到面 PDB 的距离是 C 到面 PDB 的距离的

1 ??12 分 2
??14 分

1 2 ?1 1 1 2 ?1 1 2 VP?DBF ? VP?BCD ? VF ? BCD ? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 3 2 4 24

解法三:∵ PA ? PC ? 1 ,∴顶点 P 在底面 ABCD 的射影 H 落在线段 AC 的中点上,且由

AC ? 1 ? 2 ? 3 知 PH ? 1 ? (
设 AC ? BD ? O ,则 ∴ VF ? PDB

3 2 1 ) ? 2 2

??11 分

AO 1 ? 由(Ⅱ)知 BD ? 面PAC ??12 分 OC 2 1 1 1 ? VD?POF ? VB?POF ? ? S POF ? DH ? ? S POF ? DB ? ? S POF ? DB 3 3 3

其中 S?POF ? S?PAC ? S?PAO ? S?FCO ?

1 1 1 3 1 1 2 3 1 3 ??13 分 ? 3? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 3 2 2 3 4 12
??14 分

1 3 2 2 VP? DBF ? ? ? 1 ? ( )2 ? 3 12 2 24
第 7 页 共 11 页

18.解: (I)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由 f ( x ) 是偶函数知 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称, 则?

b ? 0 ,即 b ? 0 ,故 f ( x) ? ax2 ? c . 2a

??1 分

∵不等式 f ( x) ? 4 x 的解集为 x 1 ? x ? 3 , ∴ a ? 0 且 x1 ? 1, x2 ? 3 是方程 f ( x) ? 4 x ? 0 即 ax 2 ? 4 x ? c ? 0 的两根.

?

?

4 ? 1 ? 3 ? ? ? a 由韦达定理,得 ? ,解得: a ? 1, c ? 3 . c ?1? 3 ? ? a ?
∴ f ( x) ? x2 ? 3 . (II)由(I)知, F ( x) ? x ? bx ? 3 ? ( x ? ) ? 3 ?
2 2

??5 分

??6 分

b 2

b2 b ,对称轴 x ? ? . 2 4

??7 分

下面分类讨论: ① 当?

b ? 2 ,即 b ? ?4 时, F ( x) 在 [?1, 2] 上为减函数, 2
??9 分

∴ F ( x)min ? F (2) ? 2b ? 7 ? 1 ,得 b ? ?3 (舍去). ② 当?

b b2 b ? (?1, 2) ,即 ?4 ? b ? 2 时, F ( x)min ? F (? ) ? ? ? 3 ? 1 , 2 2 4
??11 分

∴ b ? ?2 2 或 b ? 2 2 (舍去). ③ 当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, F ( x) 在 [?1, 2] 上为增函数, 2
??13 分 ??14 分 ??1 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分

∴ F ( x)min ? F (?1) ? 4 ? b ? 1,得 b ? 3 . 综上所述, b ? ?2 2 或 b ? 3 为所求. 19.解:(I)设数列 {an } 的公比为 q ,由 2(S4 ? a4 ) ? S2 ? a2 ? S3 ? a3 ,
2 得 (S4 ? S2 ) ? (S4 ? S3 ) ? 2a4 ? a2 ? a3 ,即 4a4 ? a2 ,所以 q ?

1 , 4

∵ {an } 是单调数列,∴ q ?

1 , 2

1 an ? ( ) n ?1 2
(II) b1 ? 2 ,∵ bn?1bn ? bn?1 ? bn ? 0 ,∴ 1 ?

1 1 1 1 ? ? 0 ,即 ? ? 1,??6 分 bn bn ?1 bn ?1 bn

第 8 页 共 11 页

即{

1 1 } 是以 为首项, 1 为公差的等差数列, 2 bn

??7 分



2 1 1 2n ? 1 , 即 bn ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? 1 bn 2 2

??9 分

(III) cn ?

an cos(n? ) 2n ? 1 2n ? 1 1 ? n cos(n? ) ? n (?1) n ? (2n ? 1) ? ( ? ) n 2 2 bn 2

??10 分

1 1 1 1 Tn ? 1? (? ) ? 3 ? (? ) 2 ? 5 ? (? )3 ? ? ? (2n ? 1) ? (? ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 1 ? Tn ? 1? (? ) ? 3 ? (? ) ? 5 ? (? ) ? ? ? (2n ? 3) ? (? ) n ? (2n ? 1) ? (? ) n ?1 ?11 分 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减,得 Tn ? 1? (? ) ? 2 ? (? ) ? 2 ? (? ) ? ? ? 2 ? (? ) ? (2n ? 1) ? (? ) ?12 分 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ? [1 ? (? ) n ] 1 2 ? (2n ? 1) ? (? 1 ) n ?1 ? ? 2? 2 1 2 2 1? 2 1 2 1 n 1 1 1 1 ? ? ? [1 ? (? ) ] ? (2n ? 1) ? (? ) n ?1 ? ? ? (n ? )(? ) n ??13 分 2 3 2 2 6 6 2 1 1 1 n 即 Tn ? ? ? (6n ? 1)(? ) ??14 分 9 9 2
20.解: (I)由 e ?

c 1 c2 1 ? ,得 2 ? ,即 a2 ? 4c2 ? 4(a2 ? b2 ) , a 2 a 4
??1 分

即 3a 2 ? 4b2 . (1) , 由椭圆过点 ( 3, ?

3 3 3 (2) ) 知, 2 ? 2 ? 1 . a 4b 2

??2 分

联立(1) 、 (2)式解得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

??3 分

故椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

??4 分

Y

(II)

1 1 7 ? 为定值 | AB | | CD | 12

??5 分
C Q F O P D A X

1, 0) ,分两种情况. 法一:证明 椭圆的右焦点为 F (`
1 ° 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , AB: x ? 1 , 则 CD: y ? 0 .此时 | AB |? 3 , | CD |? 4 ,
B
第 9 页 共 11 页

1 1 7 ? ? ; | AB | | CD | 12

??6 分

2°当直线 AB 的斜率存在时,设 AB : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,则 CD: y ? ? 又设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 联立方程组 ?

1 ( x ? 1) . k

? y ? k ( x ? 1), ?3 x ? 4 y ? 12,
2 2

消去 y 并化简得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,

所以 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

??7 分

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

? 1? k 2 ?

64k 4 ? 16(k 2 ? 3)(4k 2 ? 3) 12(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 3 (4k 2 ? 3)2
1 12(1 ? k 2 ) ,同理可得 | CD |? k 4 ? 3k 2

??8 分

由题知,直线 CD 的斜率为 ?

??9 分

所以

1 1 7k 2 ? 7 7 ? ? ? 为定值. 2 | AB | | CD | 12(k ? 1) 12

??10 分

1, 0) ,分 法二:证明 椭圆的右焦点为 F (`
两种情况. 1°当直线 AB 的斜率不存在时, AB: x ? 1 , 则 CD: y ? 0 .此时 | AB |? 3 , | CD |? 4 ,
C

Y

Q F O P

A X D

1 1 7 ? ? ; | AB | | CD | 12

??6 分

2 °当直线 AB 的斜率存在时,设 AB :

y ? k ( x ? 1)(k ? 0)

, 则

CD :

B

1 y ? ? ( x ? 1) . k
又设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 联立方程组

? y ? k ( x ? 1), 消去 y 并化简得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? 2 2 3 x ? 4 y ? 12, ?
第 10 页 共 11 页

所以 x1 ? x2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

??7 分

2 由 | AF |? ( x1 ? c)2 ? y1 ?

? x1 ? c ? ? (1 ?
2

1 1 x12 ) ? b2 ? a ? ex1 ? 2 ? x1 ,同理 | BF |? 2 ? x2 2 2 2 a
?? 8 分

1 12(k 2 ? 1) | AB | ? | AF | ? | BF | ? 4 ? ( x ? x ) 故 1 2 ? 2 4k 2 ? 3
由题知,直线 CD 的斜率为 ?

1 12(1 ? k 2 ) ,同理可得 | CD |? k 4 ? 3k 2

??9 分

所以

1 1 7k 2 ? 7 7 ? ? ? 为定值. 2 | AB | | CD | 12(k ? 1) 12

??10 分

(Ⅲ)解:由(II)知

1 1 7 ? ? , | AB | | CD | 12
??11 分

所以 | AB | ?

9 12 9 1 1 | CD |? (| AB | ? | CD |)( ? ) 16 7 16 | AB | | CD |

9 9 | CD | | CD | 12 25 16 | AB | 12 25 | AB | 21 , ? ( ? ? ) ? ( ? 2 16 ? )? 7 16 | AB | | CD | 7 16 | AB | | CD | 4

??12 分

9 | CD | | AB | ,即 | AB |? 3 | CD | ,即 | AB |? 3,| CD |? 4 时取等号 ??13 分 当且仅当 16 ? 4 | AB | | CD |
所以 | AB | ?

9 21 | CD | 的最小值为 . 16 4

??14 分

第 11 页 共 11 页


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