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15.1两角和差的正弦余弦公式1


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淮海技师学院教案
编号:SHJD—508—14 版本号:A/0 流水号:5

授课日期 班
课题: 教学目的、要求: 1. 知识目标: 理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的正弦、余弦 公式,运用两角和与差的正弦、余弦公式,解决相关数学问题。 2 能力目标 : 培养

学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维和发散思维能力;培 养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。自觉地利用联系变化的观点来分析 问题,提高学生分析问题解决问题的能力. 3.情感目标: 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的数学表达和思考的 能力,学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 . 通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生 的应用意识,提高学生的数学素质. 教学重点:两角和与差的正弦、余弦公式的理解与灵活运用 教学难点:两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程,特别是一般性的推广 授课方法: 讲授法、练习法 、小组交流讨论法 多媒体



13 财会

13 机电

15.1 两角和与差的正弦、余弦公式 1

教学参考及教具(含电教设备) :

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板书设计:

课题:3.1.1 两角和与差的 余弦 一、两角差的余弦公式
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

推导过程

练习

两角和的余弦公式
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

小结 例题 布置作业

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一、 引入新课





1 3 已知cos60? ? , cos30? ? , 下列各式是否成立? 2 2

学生分组计 算 验证 通过具体实

(1) cos(60? ? 30? ) ? cos60? ? cos30?
(2) cos(60? ? 30? ) ? cos60? ? cos30?

5 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α -β )=cosα -cos 例引入 β ”的误解,说明两角和(差)的三角函数不能按分配律展开。 调动学生的 并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。 思维,发挥 二、新课讲解 学生的主动

性,加深理 解.

?
?
注意 单位圆

(一)两角差的余弦公式 设a ? (cos? , sin? ), b ? (cos? , sin? ), 利用向量的 知识推导
10

a ? b ? cos?cos? ? sin?sin?
? a ? b ? a b cos?
? cos? ? cos?cos? ? sin?sin?
如果 ? ? ? ? [0, ? ] ,那么 ? ? ? ? ? 故 cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?

鼓励学生动 脑思考

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实际上,当 ? ? ? 为任意角时,由诱导公式总可以找到一个 角都可转化 ? ? [0,2? ) ,使 cos? ? cos(? ? ? ) 。 综上所述, cos(? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin? ,对于任意的角 ? , ? 都成立。 根据两角差的余弦公式,你可以猜猜 cos(? ? ? ) ? ? 提示:令 ? ? ? ? (二)两角和的余弦公式(学生回答) 鼓励学生思 考 尝试推导 有可能的话 这个推导过 注: 在后; 3.式子中α 、β 是任意的。 4 式子的逆用,变形用 正因为α 、β 的任意性,所以赋予 C(α +β )公式的强大生命力 (三) 、小组活动 公式应用
第一关:小试身手

cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
结论: 两角和与差的余弦公式 C (? ? ?)
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

1.公式中两边的符号正好相反(一正一负) ; 2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦

程由学生完 成

问题预测: 学生动笔自

由尝试、主 请用特殊角分别代替公式中α 、β ,你能求哪些非特殊角的 动探索。 值呢?(选择的特殊角可以是 30°60°45°等) 分组练习 (1) cos150 ? ______ ;(2) cos 750 ? ______ ; (3) cos1050 ? ______ ;
第二关:再接再厉

10

设计意图: 引导同学发 现余弦的诱 导公式可用 C(α ±β )公式 得到证明:

π 若β 固定,分别用 π , 代替α ,你将会发现什么结论呢? 2

(1) cos(? ? ? ) ? ___________(2) cos(? ? ? ) ? ___________ (3) cos( ? ? ) ? __________(4) cos( ? ? ) ? ___________ 2 2
第三关:各显神通
倘若让你对 C(α ±β )公式中的α 、 β 自由赋值, 你又将发现什么结论呢?

?

?

(? ? 1、cos

?
4

) ? __________ ; (? ? ?) ? ____________ 2、cos

让同 学感受到 C(α ±β )公式

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的强大功 能) 。 (必要 ? ? ? ?) cos ( ? ? ? ? cos(_____) cos(_____) _____sin(_ ____)sin(_ ____) 时,教师可 适当提示) 。
3 、 4、

? ? ? ?) ? ? cos(_____) cos ( ? (? ? ?) cos(_____) ____sin(__ ___)sin(__ ___)
留时间先让同学用特殊角自由赋值,逐渐摸索、尝试,不断总结、归 纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能,并掌握赋值法。

(四) 、师生共同活动

数学运用

3 ? 1.例题: 已知 cos ? ? ? ,且 ? 为第二象限角,求 cos( ? ? ) 的 4 3 值。

? 解:由 ? ? ( , ? ) ,得 2
cos? ? ? 1 ? sin
2

教师引导

7 ? 3? ? ? ? 1? ?? ? ? ? 3 ? 4?

2

10 详细讲解

由余弦的和角公式得
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

? (?

5 3 2? 4? 8?3 5 )(? ) ? ? ? ? ? 3 5 3? 5? 15

注意:注意角 ? 的象限,也就是符号问题. 2.变式练习 能力提高
4 5 , cos( ? ? ? ) ? ? , 求 cos ?的值。 5 13
2

已知 ? , ?都是锐角, cos ? ?

解:由 ? ? (0, ) ,得 sin? ? 1 ? cos 2

?

3 ?4? ? ? 1? ? ? ? 5 ?5?
根据时间 合理安排
2

2

又由 ? ? (0, ) ,则 ? ? ? ? (0, ? ) 得 2
sin(? ? ? ) ? 1 ? cos
2

?

12 ? 5? (? ? ? ) ? 1 ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

选讲

由余弦得差角公式得

? ? ? ?) cos? ? cos ( ? ? ? ? cos (? ? ?) cos? ? sin (? ? ?) sin ?

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? (?

5 4 12 3 16 )( ) ? ? ? ? 13 5 13 5 65

(五) 、达标检测: 1、cos80°cos20°+sin80°sin20°,初步学会逆用公式。 测试时间不 2、cos130°cos5°-sin130°sin5° 足的话,选作 3、cos215°-sin215°, 为二倍角公式埋下伏笔。 1、2 两题 10 4、cos80°cos35°+cos10°cos55°,逐步学会把不符合公式结 构变形使之符合。
3 ? ?? 5、( 2011 高 考 题 ) 设 ? ? ? 0, ? , 若 cos ? ? , 则 5 ? 2?

?? ? 2 cos ? ? ? ? ? _____ ,利用高考题的引用让学生串连三角 4? ?
函数的相关知识。 三、课时总结: 1、牢记公式的结构特点,学会逆用公式。不符合公式结构 特点的,常通过诱导公式变形使之符合。 2、强调公式中α 、β 的任意性,是本节内容的主线,它赋 予了公式的强大生命力。 注:逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。通过步步 加深的练习,加强学生对公式的理解和应用,引导学生积极参与 思维,培养学生观察,比较等思维能力,同时渗透了一种化归思 想。 四. 作业布置 教材第 8 页,感受理解第 1、5 题

作为思考题

学生总结

45

教学后记:


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