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湖南省衡阳八中2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 10 小题,满分 30 分) 1.cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=( ) A. B. C. D.

2.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式一定成立的是( A. < B . a >b
2 2

) >1

D. a(c +1)>b(c +1)
2 2

C.

3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8
2 2 2

) D. ﹣10 )

4.若△ ABC 的三内角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,若 a +c ﹣b =ac,则 B=( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A. 2
n﹣1

) D.

B. ( )

n﹣1

C. ( )

n﹣1

6.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状 为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

7.如图所示,D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,记



,则向量

=(



A.

B.

C.

D.

8. 设 x∈R, 记不超过 x 的最大整数为[x], 如[2.5]=2, [﹣2.5]=﹣3, 令{x}=x﹣[x], 则{ ,三个数构成的数列( )

}, [

],

A. 是等比数列但不是等差数列 B. 是等差数列但不是等比数列 C. 既是等差数列又是等比数列

D. 既不是等差数列也不是等比数列 9.灯塔 A 和灯塔 B 与海洋观察站 C 的距离都是 10 海里,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 20°,则灯塔 A 和灯塔 B 的距离为( ) A. 10 海里 B. 20 海里 C. 10 海里 D. 10 海里 10.已知 Sn 是等差数列{an}n∈N 的前 n 项和,且 S6>S7>S5,给出下列五个命题: ①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中最大项为 S11;⑤|a6|>|a7|, 其中正确命题的个数( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
*

二、填空题(每小题 3 分,共 5 小题,满分 15 分) 11.已知 =(2,λ) , =(3,4) ,若 ⊥ ,则 λ=
2 2



12.已知不等式 x +(m+1)x+m >0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围为



13.已知

,则

=



14.已知等差数列{an}中,a3 +a8 +2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为
+

2

2



15.已知平面内 n(n∈N )条直线,任意两条都相交,任意三条不共点,这 n 条直线将平面分割成 an 个区域,则 an= .

三、解答题(共 6 小题,满分 55 分) 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣ (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ ABC 的面积. 17.已知 f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) . (1)求 f(x)的解析式; (2)对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,求 t 的范围.
2



18.若 x,y 满足

,求:

(1)z=2x+y 的最小值; 2 2 (2)z=x +y 的范围.

(3)z=

的最大值.

19.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.

2

20.已知向量 且 f(x)的最小正周期为 π.

,设函数

(1)求 f(x)的单调递增区间; (2)先将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,然后将图象向下平 移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间上 上的取值范围.

21.我们把一系列向量 向量列{ }满足:

(i=1,2,3,…,n)按次序排成一列,称之为向量列,记作{ =(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1) (n≥2) .

},已知

=(1,1) ,

(1)证明:数列{| (2)设 θn 表示向量 + +…+

|}是等比数列; 与 间的夹角,若 bn= θn,对于任意正整数 n,不等式

>a(a+2)恒成立,求实数 a 的范围

(3)设 cn=| 理由.

|?log2|

|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明

湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 10 小题,满分 30 分) 1.cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=( ) A. B. C. D.

考点:两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析:观察所求的式子,发现满足两角和与差的余弦函数公式,故利用此公式化简,再利用特殊角 的三角函数值即可求出值. 解答: 解:cos45°cos15°﹣sin45°sin15° =cos(45°+15°) =cos60° = . 故选 A 点评:此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题 的关键. 2.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式一定成立的是( A. < B . a >b
2 2

) >1 D. a(c +1)>b(c +1)
2 2

C.

考点:不等式的基本性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用不等式的基本性质即可判断出正误. 解答: 解:A.取 a=2,b=﹣1,满足 a>b,但是 B.取 a=1,b=﹣2,满足 a>b,但是 a >b 不成立; C.取 a=2,b=﹣1,满足 a>b,但是 >1 不成立; D.∵a>b,c +1>0,∴a(c +1)>b(c +1) ,正确. 故选:D. 点评:本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=( A. ﹣4 B. ﹣6 C. ﹣8 考点:等差数列;等比数列. 专题:等差数列与等比数列. ) D. ﹣10
2 2 2 2 2

不成立;

分析:利用已知条件列出关于 a1,d 的方程,求出 a1,代入通项公式即可求得 a2. 解答: 解:∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4 成等比数列, 2 ∴a3 =a1?a4, 2 即(a1+4) =a1×(a1+6) , 解得 a1=﹣8, ∴a2=a1+2=﹣6. 故选 B. 点评:本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义,比较简单. 4.若△ ABC 的三内角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,若 a +c ﹣b =ac,则 B=( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 2 2



考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析:由题意和余弦定理求出 cosB 的值,再由内角的范围和特殊角的余弦值求出角 B 的值. 2 2 2 解答: 解:由题意知,a +c ﹣b =ac, 则由余弦定理得,cosB= = ,

又 0<B<180°,则 B=60°, 故选:B. 点评:本题考查余弦定理的应用,注意内角的范围,属于基础题. 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A. 2
n﹣1

) D.

B. ( )

n﹣1

C. ( )

n﹣1

考点:数列的概念及简单表示法. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由 Sn=2an+1,可得 Sn=2(Sn+1﹣Sn) ,化为 解答: 解:∵Sn=2an+1, ∴Sn=2(Sn+1﹣Sn) , 化为 , ,利用等比数列的通项公式即可得出.

∴数列{Sn}是等比数列,首项是 1 ∴Sn= .

故选:B. 点评:本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式,属于基础题.

6.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状 为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 考点:三角形的形状判断. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦, 利用两角和公式化简求得 sinA 的值进而求 得 A,判断出三角形的形状. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin A, ∵sinA≠0, ∴sinA=1,A= ,
2

故三角形为直角三角形, 故选:A. 点评:本题主要考查了正弦定理的应用, 解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦, 属于基本知识的考查.

7.如图所示,D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,记



,则向量

=(



A.

B.

C.

D.

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:由 D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,可得 则可得 ,代入即可. . = . .在△ BCD 中,利用向量的三角形法

解答: 解:∵D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,∴ 在△ BCD 中,由向量的三角形法则可得

故选 B. 点评:熟练掌握向量共线定理和向量的三角形法则是解题的关键.

8. 设 x∈R, 记不超过 x 的最大整数为[x], 如[2.5]=2, [﹣2.5]=﹣3, 令{x}=x﹣[x], 则{ ,三个数构成的数列( A. B. C. D. )

}, [

],

是等比数列但不是等差数列 是等差数列但不是等比数列 既是等差数列又是等比数列 既不是等差数列也不是等比数列

考点:等比关系的确定;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据定义分别求出[ 到结论. 解答: 解:由题意得[ ∵ ∴ × ,1, = ]=1,{ =1 , 成等比数列,不成等差数列,
2

]=1,{

}=

,然后结合等比数列的定义进行判断即可得

}=

﹣[

]=

﹣1=



故选:A 点评:本题主要考查等比数列的判断,根据定义将条件进行化简是解决本题的关键. 9.灯塔 A 和灯塔 B 与海洋观察站 C 的距离都是 10 海里,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 20°,则灯塔 A 和灯塔 B 的距离为( ) A. 10 海里 B. 20 海里 C. 10 海里 D. 10 海里 考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析:根据题意确定 AC,BC,C 的值,利用余弦定理求得答案. 解答: 解:在△ ABC 中,由题意知 AC=BC=10,∠ACB=120°, ∴由余弦定理知 AB= 故灯塔 A 和灯塔 B 的距离为 10 故选:D. (海里) . = =10 (海里) .

点评:本题主要考查了余弦定理的应用.注重了对学生实际解决问题能力的考查.

10.已知 Sn 是等差数列{an}n∈N 的前 n 项和,且 S6>S7>S5,给出下列五个命题: ①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中最大项为 S11;⑤|a6|>|a7|, 其中正确命题的个数( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:先由条件确定第六项和第七项的正负,进而确定公差的正负,再将 S11,S12 由第六项和第七 项的正负判定. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S6 最大,且 S6>S7>S5, ∴a1>0,d<0,①正确; ∵S6>S7>S5, ∴a6>0,a7<0,∴a1+6d<0,a1+5d>0,S6 最大, ∴④不正确; S11=11a1+55d=11(a1+5d)>0, S12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7)>0, ∴②⑤正确,③错误 故选:C. 点评:本题考查等差数列的前 n 项和的最值.在等差数列中 Sn 存在最大值的条件是:a1>0,d<0. 二、填空题(每小题 3 分,共 5 小题,满分 15 分) 11.已知 =(2,λ) , =(3,4) ,若 ⊥ ,则 λ= ﹣ .

*

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用 ⊥ 即 解答: 解:∵ ⊥ , ∴ =0, =0,代入坐标计算即可.

又∵ =(2,λ) , =(3,4) , ∴(2,λ)?(3,4)=0, 即:6+4λ=0, 解得:λ=﹣ , 故答案为:﹣ . 点评:本题考查平面向量数量积的运算,注意解题方法的积累,属于基础题.

12.已知不等式 x +(m+1)x+m >0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围为 (﹣∞,﹣ )∪(1, +∞) . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:不等式恒成立,需△ <0,解出即可. 2 2 解答: 解:∵x +(m+1)x+m >0 的解集为 R, 2 2 ∴△=(m+1) ﹣4m <0, 解得:m<﹣ ,或 m>1. 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) . 点评:本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法,考查转化思想、考查学生解决问题的能 力.

2

2

13.已知

,则

=



考点: 专题: 分析: 解答: ∵

诱导公式的作用;三角函数的化简求值. 三角函数的求值. 利用诱导公式化简所给的式子,运算求得的结果. 解: ,

故答案为



点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,要特别注意符号的选取,属于中档题. 14.已知等差数列{an}中,a3 +a8 +2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为 ﹣15 . 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得 a3+a8=﹣3,再由等差数列的求和公式和性质可得 S10=5(a3+a8) ,代值计算可得. 2 2 解答: 解:∵等差数列{an}中 a3 +a8 +2a3a8=9, 2 ∴(a3+a8) =9, 又∵an<0,∴a3+a8=﹣3, ∴S10= =5(a1+a10)=5(a3+a8)=﹣15
2 2

故答案为:﹣15 点评:本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题.

15.已知平面内 n(n∈N )条直线,任意两条都相交,任意三条不共点,这 n 条直线将平面分割成 an 个区域,则 an= .

+

考点:归纳推理. 专题:等差数列与等比数列;推理和证明. 分析:因为第 n(n≥2)条直线与前 n﹣1 条直线都相交且不共点, 则它被前 n﹣1 条直线分割成 n 段, 每一段将它所在的原区域一分为二,即在原区域数上增加了 n 个,故 an=an﹣1+n(n≥2) ,利用累加法 可得答案. 解答: 解:∵a1=2,a2=4,a3=7,a4=11, 注意到 an=an﹣1+n(n≥2) , 因为第 n(n≥2)条直线与前 n﹣1 条直线都相交且不共点, 则它被前 n﹣1 条直线分割成 n 段, 每一段将它所在的原区域一分为二, 即在原区域数上增加了 n 个, 故 an=an﹣1+n(n≥2) ; 则 a2=a1+2, a3=a2+3, a4=a3+4, … an=an﹣1+n 将这 n﹣1 个式子累加得:an=a1+2+3+…+n=1+ 故答案为: 点评:本题考查的知识点是合情推理﹣﹣归纳推理, 其中根据已知分析出 an 满足: an=an﹣1+n (n≥2) , 是解答的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 55 分) 16.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣ (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ ABC 的面积. 考点:正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由 B 和 C 为三角形的内角,得到 sin(B+C)大于 0,由 cos(B+C)的值,利用同 角三角函数间的基本关系求出 sin(B+C)的值,然后将 C 变形为(B+C)﹣B,利用两角和与差的 余弦函数公式化简 cos[(B+C)﹣B]后,根据 B 的度数,利用特殊角的三角函数值求出 sinB 和 cosB 的值,将各自的值代入求出 cos[(B+C)﹣B]的值,即为 cosC 的值; (Ⅱ)由 C 为三角形的内角及第一问求出的 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由三角形的内角和定理及诱导公式得到 sinA=sin(B+C) ,由 sin(B+C)的值得到 sinA 的 . = .

值,由 sinC,sinA 及 a 的值,利用正弦定理求出 c 的值,进而由 a,c 及 sinB 的值,利用三角形的 面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由 cos(B+C)=﹣ ,

得 sin(B+C)= 又 B=60°, ∴cosC=cos[(B+C)﹣B] =cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB =﹣ × + × = ;…(6 分)

=

=



(Ⅱ)∵cosC= ,C 为三角形的内角,sin(B+C)=



∴sinC=

=

=

,sinA=sin(B+C)=



在△ ABC 中,由正弦定理

=

得:

=



∴c=8,又 a=5,sinB=

, =10 .…(12 分)

则△ ABC 的面积为 S= acsinB= ×5×8×

点评:此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的 基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17.已知 f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) . (1)求 f(x)的解析式; (2)对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,求 t 的范围. 考点:函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题:计算题. 2 分析: (1)根据不等式的解集与方程解之间的关系可知 2x +bx+c=0 的两根为 0,5,从而可求 b、 c 的值,进而可求 f(x)的解析式; (2)要使对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,只需 f(x)max≤2﹣t 即可,从而可求 t 的范围. 2 解答: 解: (1)∵f(x)=2x +bx+c,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5) . 2 ∴2x +bx+c=0 的两根为 0,5 ∴ ∴b=﹣10,c=0 2 ∴f(x)=2x ﹣10x;
2

(2)要使对于任意 x∈[﹣1,1],不等式 f(x)+t≤2 恒成立,只需 f(x)max≤2﹣t 即可 ∵f(x)=2x ﹣10x=2
2

,x∈[﹣1,1],

∴f(x)max=f(﹣1)=12 ∴12≤2﹣t ∴t≤﹣10 点评:本题重点考查函数的解析式,考查恒成立问题,解题的关键是利用好不等式的解集与方程解 之间的关系,将恒成立问题转化为函数的最值加以解决.

18.若 x,y 满足

,求:

(1)z=2x+y 的最小值; 2 2 (2)z=x +y 的范围. (3)z= 的最大值.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据约束条件画出可行域,再分别利用几何意义求最值. 解答: 解:作出满足已知条件的可行域为△ ABC 内(及边界)区域,如图 其中 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3,4) . (1)目标函数 z=2x+y,表示直线 l:y=﹣2x+z,z 表示该直线纵截距,当 l 过点 A(1,2)时纵截 距有最小值,故 zmin=4. 2 2 (2)目标函数 z=x +y 表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点 O 到 AB 的距离 d= 且垂足是 D( , )在线段 AB 上,故 OD ≤z≤OC ,即 z∈[ ,25]; =1+ ,则 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点 A 时,斜率 =2,即 zmax=3.
2 2

(3)目标函数 z= 最大,即

点评:本题考查了线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法.

19.等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和.

2

考点:等比数列的通项公式;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)设出等比数列的公比 q,由 a3 =9a2a6,利用等比数列的通项公式化简后得到关于 q 的方程,由已知等比数列的各项都为正数,得到满足题意 q 的值,然后再根据等比数列的通项公式 化简 2a1+3a2=1,把求出的 q 的值代入即可求出等比数列的首项,根据首项和求出的公比 q 写出数列 的通项公式即可; (Ⅱ)把(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,利用对数的运算性质及 等差数列的前 n 项和的公式化简后,即可得到 bn 的通项公式,求出倒数即为 据数列的通项公式列举出数列的各项,抵消后即可得到数列{
2 2

的通项公式,然后根

}的前 n 项和.
2 2

解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a3 =9a4 ,所以 q = . 由条件可知各项均为正数,故 q= . 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 故数列{an}的通项式为 an= .

(Ⅱ)bn= 故 则 =﹣ + +…+

+

+…+ =﹣2( ﹣

=﹣(1+2+…+n)=﹣ ) )]=﹣



=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ .



所以数列{

}的前 n 项和为﹣

点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题. 20.已知向量 且 f(x)的最小正周期为 π. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)先将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,然后将图象向下平 移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间上 上的取值范围. ,设函数

考点:平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:(1)由数量积的运算和三角函数的公式可得 f(x)= 可得 f(x)= sin(2x+ )+ ,把 2x+ sin(x+ sin(2ωx+ )+ ,由周期可得 ω=1,

整体放在正弦函数的单调递增区间,解不等式可得; (2) ) ,由 x 的取值范围结合三角函数的运算可得答案. =sinωxcosωx+cos ωx )+ ,
2

由图象变换的知识可得 g(x)= 解答: 解: (1)由题意可得 = sin2ωx+ ∵函数的周期 T=π= 故 f(x)= 由﹣ 解得 sin(2x+ ≤2x+ ≤x≤ ≤ =

sin(2ωx+

,∴ω=1, )+ , ,k∈Z ,k∈Z …(6 分) sin(2x+ )+ 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变, sin(x+ )的图象,

故 f(x)的单调递增区间是 (2)由题意可得 f(x)= 得函数 y= sin(x+

)+ 的图象,再向下 g(x)= )…(9 分) ,∴

故 y=g(x)= ∵ ∴

sin(x+ ,∴

…(11 分) .…(12 分)

,即 g(x)的取值范围为

点评:本题考查平面向量数量积的运算,以及正弦函数的单调性和函数图象的变换,属中档题. 21.我们把一系列向量 向量列{ }满足: (i=1,2,3,…,n)按次序排成一列,称之为向量列,记作{ =(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1) (n≥2) . },已知

=(1,1) ,

(1)证明:数列{|

|}是等比数列;

(2)设 θn 表示向量 + +…+



间的夹角,若 bn=

θn,对于任意正整数 n,不等式

>a(a+2)恒成立,求实数 a 的范围

(3)设 cn=| 理由.

|?log2|

|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明

考点:数列的应用;平面向量数量积的运算. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过向量模的定义计算可知| (2)通过向量数量积的定义可知 cosθn= |= ,进而 bn= = | |;

,则问题转化为解不等式 1>a(a+2) ,计

算即得结论; (3)通过假设数列{cn}中的第 n 项最小,找出数列的单调性计算即得结论. 解答: (1)证明:∵ ∴| = = = | |, |}是等比数列; |= =(xn,yn)= (xn﹣1﹣yn﹣1,xn﹣1+yn﹣1) (n≥2) ,

∴数列{|

(2)解:∵cosθn=

=

=

?

=



∴θn=

,∴bn= +

θn=

, +…+ >a(a+2)恒成立,即 + +…+ >a(a+2)恒成立,

∴不等式

记 Tn=

+

+…+



显然数列{Tn}单调递增, ∴要使 Tn>a(a+2)成立,只需 1>a(a+2) , 解得﹣1﹣ <a<﹣1+ , ∴使不等式对于任意正整数恒成立的 a 的取值范围是: (﹣1﹣ (3)结论:数列{cn}中存在最小项,最小项是 c5=﹣ ? 理由如下: ∵ =(1,1) ,即| |= , .

,﹣1+

) ;

∴|

|=

?

=



∴cn=|

|?log2|

|=

?



假设数列{cn}中的第 n 项最小, ∵c1= ,c2=0,

∴0≤c2<c1, 当 n≥3 时,有 cn<0, ∵cn<cn+1, ∴ ∴ ? ≤ ?
2

,即





≥ ,整理得:n ﹣6n+7≥0,

解得:n≥3+ 或 n≤3﹣ (舍) , ∴n≥5,即有 c5<c6<c7<…, 由 cn>cn+1,得 3≤n≤5, 又 0≤c2<c1, ∴c5<c4<…<c1, 故数列{cn}中存在最小项,最小项是 c5=﹣ ? .

点评:本题是一道关于数列与向量、不等式的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.


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