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极坐标与参数方程知识点、题型总结


极坐标与参数方程知识点、题型总结
一、伸缩变换:点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

?:?
一、

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称伸缩变换 ?y? ? ? ? y, (? ? 0).
1、极坐标定义

:M 是平面上一点, ? 表示 OM 的长度, ? 是 ?MOx ,则有序实数实 数对 ( ? , ? ) , ? 叫极径, ? 叫极角;一般地, ? ? [0, 2? ) , ? ? 0 。,点 P 的直角坐标、 极坐标分别为(x,y)和(ρ ,θ ) 2、直角坐标 ? 极坐标
?? ? x ? y ? x ? ? cos? ? ? y 2、极坐标 ? 直角坐标 ? ?tan ? ? ( x ? 0) ? y ? ? sin ? x ?
2 2 2

3、求直线和圆的极坐标方程:方法一、先求出直角坐标方程,再把它化为极坐标方程 方法二、(1)若直线过点 M(ρ 0,θ 0),且极轴到此直线的角为α ,则它的方程为: ρ sin(θ -α )=ρ 0sin(θ 0-α )(2)若圆心为 M(ρ 0,θ 0),半径为 r 的圆方 程为ρ 2-2ρ 0ρ cos(θ -θ 0)+ρ 02-r2=0 二、参数方程:(一).参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确 ? y ? g (t ),

定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。 (二).常见曲线的参数方程如下:直线的标准参数方程 1、过定点(x0,y0),倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

(1)其中参数 t 的几何意义:点 P(x0,y0),点 M 对应的参数为 t,则 PM=|t| (2)直线上 P 1, P 2 对应的参数是 t1 , t2 。|P1P2|=|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2.
2

1

直线的一般参数方程:

x ? x0 ? at (t 为参数)若 a 2 ? b 2 ? 1 ,则上面(1)、(2)中 y ? y0 ? bt

的几何意义成立,否则,不成立。 (2)圆心在(x0,y0),半径等于 r 的圆:

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?
(3)椭圆

( ? 为参数)

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ): (或 a 2 b2 a 2 b2
(或

x ? a cos? ( ? 为参数) y ? b sin ?
(4)抛物线 y 2 ? 2 px :

x ? b cos? ) y ? a sin ?

x ? 2 pt 2 (t 为参数,p>0) y ? 2 pt

题型归类:(1) 极坐标与直角坐标的互相转化

(2) 参数方程与普通方程互化 (3)

?

利用参数方程求值域 参数的几何意义

一、极坐标方程与直角方程的互化,求极坐标方程:方法:代公式 1.已知某圆的极坐标方程为 ? 2 ? 4 2 ? cos( ? ?

?
4

)?6?0

(I)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (II) 若点 P ( x, y ) 在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值.6,2

2 极坐标方程 4 ? ? sin 2

?
2

? 5 表示的曲线是(

) 抛物线

3、直线的极坐标方程为 ? sin ? ?

?? 2 ? ,则极点到该直线的距离是 ? ?? 4? 2 ?
x2 ? y 2 ? 0或x ? 1

2 2

4、极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 转化成直角坐标方程为 二、参数方程与普通方程的互化

1、参数方程 ? 普通方程:方法;消参, 普通方程 ? 参数方程:代公式
t ?t ? ?x ? 2 ? 2 (t为参数) 5、方程 ? 表示的曲线是( t ?t ? ?y ? 2 ? 2



2

A. 双曲线

B.双曲线的上支

C.双曲线的下支

D.圆

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , ( ? 为参数). 6. 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;1 (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得 2 2

6 ( 2 ? 1) 到曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 4

? ?x ? ? x ? cos ? ? 7.曲线 C: ? 曲线 D: ? (? 为参数) ? y ? sin ? ?y ? ? ?

2 t? 2 2 。 (t为参数) 2 t 2

(1)指出曲线 C、D 分别是什么曲线?并说明曲线 C 与 D 公共点人的个数。 (2)若把曲线 C、D 上各点的纵坐标压缩为原来的

1 倍,分别得到曲线 C1、D1,请 2

写出曲线 C1、D1 的参数方程,说明其公共点的个数和曲线 C、D 公共点是否相同? 2、普通方程化为参数方程 8.直线 l 过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

,(1)写出 l 的参数方程;

(2)直线 l 与圆 ?

? x ? 2cos ? 相交于 A、B 两点,求 | PA |? | PB | 。 (? 为参数) ? y ? 2sin ?
x2 ? y 2 ? 1上一点,求(1) S ? x ? y 的范围; 3

9.点 P(x,y) 为椭圆

(2)若 x ? y ? a ? 0 垣成立,求 a 的范围。

3

题型三、利用参数方程求值域 10、在曲线 C1 : ?

? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上求一点,使它到直线 C 2 : ? y ? sin ?

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? 2 2 2 (t为参数) 距离最小,并求出该点坐标和最小距离。1 P(1,) ? 2 2 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 11、曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? ,(t为 4 ?y? t 5 ?

参数).(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;

x2 ? y2 ? 2 y ? 0

(Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值

5 ?1
题型四:直线参数方程中的参数的几何意义

12、已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6

,①写出直线 l 的参数方程;

②设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积. 2

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 13、求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 7 4 5 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

14 直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为 ?y ? 2 ? t
? x ? cos ? ( ? 为参数),将曲线 C1 上所有点的横坐标伸长为 ? y ? sin ?

15 曲线 C1 的参数方程为 ?

原来的 2 倍,纵坐标伸长为原来的 3 倍,得到曲线 C2 .以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 6 .(1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程;(2) P 为曲线 C2 上任
意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值.

4


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