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平面向量的线性运算以及坐标运算


一、同步知识梳理
1、向量:既有大小,又有方向的量.(注意零向量,单位向量) 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

2、向量加(减)法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .

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? ?

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? ?

? ?

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C
3、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘, 记作 ? a .

?

?

? a
?

? ? ① ?a ? ? a ;
? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向

? b

?
?

? ? 向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C
? ? ?

与 a 的方

⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

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?

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?? ?

二、同步例题分析
例 1、判断下列命题的真假。 (1)零向量是没有方向的; (2)零向量与任一向量共线; (3)零向量的方向是任意的; (4)单位向量都是相等的 向量; (5)向量 AB 与向量 BA 的长度相等; (6)不相等的向量一定不平行; (7)若两个单位向量共线,则必相等;

??? ?

??? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a (8)向量就是有向线段; (9)非零向量 a 的单位向量是 ? ; (10)若 a / / b ,则 a ? b ; (11)若 a ? b ,则 a ? b ; a

(12)若 a ? b ,则 a / / b ; (13)若 a ? b ,则 a ? b 。

?

?

?

?

?

?

?

?

例 2、给出下列几个命题: (1) 若 a / /b, b / / c ,则 a / / c ; (2) 若 AB ? DC ,则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点; (3) 在平行四边形 ABCD 中,一定有 AB ? DC ; (4) 若 m ? n, n ? k ,则 m ? k 。 其中不正确命题的个数为( A. 2 B. 3 ) C. 4 D. 5

?

? ?

?

?

?

??? ?

????

??? ?

????

??

? ?

?

??

?

例 3、 如图, 在 ? ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ?

??? ?

? ????

? ????

???? ? ? ? 1 ???? AC , M 为 BC 的中点, 则 MN =________。 (用 a, b 表示) 3

A N B M C

D

变式:1、化简下列各式: (1) BC + AB ;

??? ? ??? ?

(2) AB ? AC ? BD ? CD ;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

(3) NQ ? QP ? MN ? MP 。

???? ??? ? ???? ? ????

2、已知 P,A,B,C 是平面内四点,且 PA ? PB ? PC ? AC ,那么一定有(



A. PB ? 2 AP

B. CP ? 2PB

C. AP ? 2 PB

D. PB ? 2 AB

3、已知 ?、? ? R ,则在以下各命题中,正确的命题共有 ( (1) ? ? 0, a ? 0 时, ? a 与 a 的方向一定相反; (2) ? ? 0, a ? 0 时, ? a 与 a 的方向一定相同;



?

? ?

? ?

?

(3) ? ? 0, a ? 0 时, ? a 与 a 是共线向量; (4) ?? ? 0, a ? 0 时, ? a 与 ? a 的方向一定相同; (5) ?? ? 0, a ? 0 时, ? a 与 ? a 的方向一定相反。 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4、已知任意平面四边形 ABCD 中,EF 分别为 AD、BC 的中点。求证: EF ?

??? ?

? ???? 1 ??? ( AB ? DC ) 2

5、如图,在五边形 ABCDE 中,若 ACDE 是平行四边形,且 AB ? a , AC ? b , AE ? c ,试用 a, b, c 表示向量

??? ?

?

??? ?

?

??? ? ?

? ? ?

? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? BD, BC, BE, CD 及 CE 。

B C A

D
b 不共线, 例 8、设两个非零向量 a、
(1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证:A、B、D 三点共线。 (2)试确定实数 k 使得 ka ? b 与 a ? kb 共线。

E

? ?

??? ?

? ? ??? ?

?

? ??? ?

? ?

变式:如图,平行四边形 ABCD 中,E 是 DC 中点,AE 交 BD 于 M,试用向量的方法证明:M 是 BD 的一个三等 分点。

三、课后作业
1、若有以下命题: ① 两个相等向量的模相等; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; 其中正确的命题序号是 。 ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a ? b ; ④ a // b , c // b ,则 a // c ; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。

2、已知下列各式: ① AB ? BC ? CA ; ② AB ? MB ? BO ? OM 其中结果为零向量的个数为 A.1 B.2 ( C.3 ) D.4 ③ AB ? AC ? BD ? CD ④ OA ? OC ? BO ? CO

3、在 ? ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c, BD ? d ,则下列等式中不正确的是( ) A. a ? b ? c B. a ? b ? d C. b ? a ? d D. c ? a ? b

4、若 a 与 b 的方向相反,且 a ? b ,则 a+b 的方向与 a 的方向



此时 a ? b
??? ? ????

a?b.
??? ?

5、若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC 的取值范围是

??? ? 6、 (广东卷)如图 1 所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? (
A. ?BC ?

)

A

??? ? 1 ??? ? BA 2

B. ?BC ? BA

??? ? 1 ??? ? 2

C. BC ? BA

??? ? 1 ??? ? 2

D. BC ?

??? ? 1 ??? ? BA 2

D
B
图1
C

7、在四边形 ABCD 中,若 AB ? a, AD ? b, 且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状____

8、设 e1 , e2 为两个不共线的向量,若 a ? e1 ? ?e2 与 b ? ?2e1 ? 3e2 共线,则 ? =__________________

? ?

?

?

?

?

?

?

9、设 e1 , e2 是两不共线的向量,若 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3e1 ? 3e2 ,试证 A, B, D 三点共线.

10、如图,在任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD,BC 的中点,求证: AB + DC = 2 EF







思考题:设点 O 在△ABC 内部,且有 4OA ? OB ? OC ? 0 ,求三角形 ABC 与三角形 OBC 的面积之比。

平面向量的基本定理及坐标表示
一、知识点梳理 1、如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。 称不共线的向量 e1、e2 叫做一组基底。

2、已知两个非零向量 a 和 b,做 OA ?a , OB ? b , ,则 ?AOB ? ? ? 0? ? ? ?180 ?? 叫做向量 a 与 b 的夹角。如果 a 与 b 的夹角是 90° ,则称 a 与 b 3、向量的正交分解: 4、平面向量的坐标运算 (1)平面向量的坐标: 设 i , j 是与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,对于平面上任一向量 a,有且只有一对实数 x, y ,使得 ,记作 。

??? ?

??? ?

a ? xi ? yj ,记作 a ? ? x, y ? 。
(2)平面向量的坐标运算 ① a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则有

a ?b ? ??? ? ② 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有 AB ?
, ③ 向量共线的坐标表示:

a?b ?

, ;

?a ?



设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则有 a 与 b 共线, ? ④ 中点公式 设P 1 2 的中点,则对任一点 O,有 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ,P 为 PP



??? ? 1 ???? ???? OP ? OP 1 ? OP 2 ,所以点 P 的坐标是 2

?

?



二、专题经典讲练
例 1、设 e1、 e2 是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( A. e 1 ? e2 , e 1 ? e2

?? ? ? ? ?



?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

B. 3e1 ? 2e2 ,4e 1 ? 6e2 D. e 1, e 1 ? e2

?? ?

? ? ? ?? ? ??? ?

C. e1 ? 2e2 , e1 ? 2e2

?? ?

?? ? ?? ? ?? ?

例 2、已知 x、y ? R ,向量 a ? (2x,1), b ? ( y ?1, ? x) ,若 a ? b ,求向量 c ? (4 x, ? y) 。

?

?

?

?

?

变式:1、已知 a ? b ? (?1,5), 3a ? 4b ? ( ?6,19) ,求 a, b 。

? ?

?

?

? ?

2、若 A(0,1), B(1, 2), C (3, 4) ,则 AB ? 2 BC =___________。

??? ?

??? ?

3、设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量 c 为( (A)(1,-1) (B)(-1, 1) (C) (-4,6) (D) (4,-6)



4、已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为( A.0 B.-8 C.2 D.10



A C 例 2、 已知点 A( 3,1), B(0,0),C( 3,0) , 设∠B
A.2 B.

的平分线 AE 与 BC 相交于 E, 且 BC = ? CE , 则 ? 等于 (







1 2

C.-3

D. -

1 3

变 式 : 1 、 O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC ? ABC 的 O P? O? A ? ( ??? 0 ,? 则 ,的轨迹一定通过 P ? ? ???? )?, ? ? ?? AB AC
(A)外心 (B)内心 (C)重心

(D)垂心

O 为坐标原点, 2、 平面直角坐标系中, 已知两点 A?3,1?, B?? 1,3?, 若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中有 ? , ? ? R
且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为( )

( A)3x ? 2 y ? 11 ? 0 (C )2 x ? y ? 0

( B)?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 5 ( D) x ? 2 y ? 5 ? 0
2 2

例 3、已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标为

.

变式:1、已知向量 a=(-2,2) ,b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是 A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6]





2、已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0



3、若平面向量 b 与向量 a ? (1, ? 2) 的夹角是 180 ? ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? A. (?3, 6) B. (3, ? 6) C. (6, ? 3) D. (?6, 3)

4、若向量 ? , ? 满足 | ? ? ? |?| ? ? ? | ,则 ? 与 ? 所成角的大小为________.

例 4、若向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b, v ? 2a ? b ,且 u / / v ,求 x 的值。

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

变式:1、已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ), 且 a ∥ b ,则 tan ? = (A)

3 4

(B) ?

3 4

(C)

4 3

(D) ?

4 3

2、向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (10, k ) ,当 k 为何值时,A、B、C 三点共线。

??? ?

??? ?

??? ?

3、 △ ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大 小为( (A) )

? ?

?

? ? ?

? 6

(B)

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

例 5、已知三点 A(2,3), B(5, 4), C (7,10) ,点 P 满足 AP ? AB ? ? AC(? ? R)

??? ?

??? ?

??? ?

(1) ? 为何值时,点 P 在正比例函数 y ? x 的图像上? (2)设点 P 在第三象限,求 ? 的取值范围。

课后作业 1、下列各组向量中,可以作为基底的是( A. e1 ? (0,0) , e2 ? (1,?2) C. e1 ? (3,5) , e2 ? (6,10) ) B. e1 ? (?1,2) , e2 ? (5,7) D. e1 ? (2,?3) , e2 ? ( ,? )

?

?

?

?

?

?

?

?

2、已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为 ( A. ? ,-

??? ?

1 2

3 4



?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

3、已知 a ? (5,?2) , b ? (?4,?3) , c ? ( x, y) ,若 a ? 2b ? 3c ? 0 ,则 c 等于( A. (1, )

?

?

?

?

?

?

?

?



8 3

B. (

13 8 , ) 3 3

C. (

13 4 , ) 3 3

D. ( ?

13 4 ,? ) 3 3

4、若将向量 a = ( 2,1) 围绕原点按逆时针方向旋转



→ → ? 得到向量 b ,则向量 b 的坐标为 4

6、在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC =

7、已知 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B (0,0),C(1,7),则D点坐标为

8、若平面向量 a, b 满足 | a ? b |? 1 , a ? b 平行于 x 轴, b ? (2,?1) ,则 a ?



9、已知点 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) .若平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC 的点 P 组 ( 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) 成,则 D 的面积为__________.

??? ?

??? ?

??? ?


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