tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数的几何意义及其应用


复习引入
1、平均变化率
一般地,函数 f ( x) 在区间上 [ x1 , x2 ] 的平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
②割线的斜率
y f(x2)

y=f(x)

B f(x2)-f(x1)=△y

>?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? ?x x2 ? x1

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

2.导数的概念

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
3.求函数 y ? f ( x) 在 x ? x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量:?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? (2)求平均变化率: ?x ?x
' f (3)取极限得导数: ( x0 ) ? lim

?y ?x ?0 ?x

提出问题
我们知道, 导数 f
'

? x0 ? 表示函数 f ? x ?

在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'

数 f ? x ? 在 x ? x0 附近的变化情况. 那

? x0 ?的几何意义是什么呢 ?

y

y ? f ( x)

相交

o

P

x
再来一次

曲线在点P处切线的定义

y

y=f(x)

Pn

割 线
T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

小组交流

割线的斜率与切线的斜率有什么呢?
y=f(x)
k PQ ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = ?x ?x

y Q(x1,y1)
△y

P(x0,y0)
△x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,
x

M

f x() x ? x ) ? f ?y f ( x0 ? ? ?? f (x ) ?y 0 = ? ? f ??x0 ? k切线 ?所以: f ( xk ) ? lim ? lim lim 0切线 lim ?x ? ? ? xx ? 0 0 ?x?x?0 ?x?0 ?x ?x
'

o

( x0 )

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .
'
0 0

k切线

f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y 0 f ( xlim ? ?x) ? f ( x ) ?y ? f ( ) lim ? k x0 = f ?(? x )? ? ?x?lim ?x ?lim x ?0 0 x ?x? ?x
切线 0 ?x ?0 ?x ?0

故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x ) ? f ( x )(x ? x0 )

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ' ? x0 ) 0 0

展示成果
如图,它表示跳水运动中 示跳水运动中高度随 高度随时间变化的函数 2 时间变化的函 数 h ?t ? f ( x) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 2 ? ? 4 . 9 t ? 6.5 t ? 10的 的图像,根据图像,请描 图象h .根 据图象 (t ) 述、比较曲线 在 , 请描 t0 , t1 , t2 附近的变化情况 述、比较曲线 h?t ?在t0 ,
t1 , t 2附近的变化情况 . 例1 如图3.1 ? 3, 它表
h

l0

l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图3.1 ? 3

利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近的变化情况
解 我们用曲线h?t ?在t0 , t1 , t 2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的变化情况.

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线 l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.

h

l0

l1

?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图3.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减. ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降 ,即函数h?t ?在t ? t2附近也
O
t0 t1 t2

t

l2

单调递减 .

从图3.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜

程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t 2附近下降得缓慢.

变式
根据图像,请描述、比 较曲线h?t ?在t 3、t 4附近的变化情况。

函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0,所以在两 点附近曲线上升,即函 数在两点附近单调递增 。

h

o

t 3t 4

t

但是t 3处切线的倾斜程度大于 t 4处切线的倾斜程度, 这说明曲线在 t 3附近比在t 4附近上升的快速

结论:根据导数的几何意义,

当某点处导数大于零时,说明在这 点的附近曲线是上升的,即函数在这点 附近是单调递增;
当某点处导数小于零时,说明在这 点的附近曲线是下降的,即函数在这点 附近是单调递减;

反馈
达标训练
y

1、已知函数y ? f ( x)的图象如图所示 ? 则f ?( x A )与f ?( xB )的大小关系是?B A. f ?( x A ) ? f ?( xB )

A B
x

B. f ?( x A ) ? f ?( xB ) C. f ?( x A ) ? f ?( xB )
D.不能确定

0 xB

xA

2、若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程 为2x+y+1=0,则 f ?( x0 ) ? -2 .

1 3 4 1.已知曲线 y ? 3 x ? 3
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4) 的切线方程; (3)求斜率为1的曲线的切线方程

应用一:求切线方程

应用二:求切点坐标或切线的倾斜角范围
x y ? ? 3 ln x 1.(2016郑州模拟)已知曲线 4
1 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为()
2

A.3

B .2

C .1

1 D. 2

4 y? x ? 为曲线在点P处 e ? 1 上, 2.已知点P在曲线
的切线的倾斜角,求

? 的取值范围

应用三:求参数的值
1.(2015全国卷1)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 的图 像在点 (1, f (1)) 处的切线过点(2,7),则a=?
3

2.(2016泉州模拟)函数 y ? e 则m=?

x

的切线方程为y=mx,

总结
1、导数的几何意义:
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .

k切线

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? f ( x ) ? lim ? lim ?x ?x
2、切线的斜率: ' 0 f ( x0 ? ?? x) x ?? f ( x0 ?y0 0) ?x ? k 切线=f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 3、求切线方程的步骤:
(1)求切线斜率k ? f ?( x0 ) (2)切线方程为:y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

4、导数的几何意义的应用


推荐相关:

导数的几何意义应用举例

导数的几何意义及应用(Z... 11页 免费 导数几何意义的应用 2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...


第二节 导数的几何意义和物理应用

第二节 导数的几何意义和物理应用 与导数概念密切相关的两个问题是几何上求曲线的切线问题和物理学上已知运动规律求 速度问题。下面我们以这两个问题对导数概念进一...


...:导数的几何意义和应用导数求曲线的切线

备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例):导数的几何意义和应用导数求曲线的切线_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数的几何意义和应用导数求曲线的切线 ...


设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1...

单选题5分 理科数学 导数的几何意义、不等式的综合应用 设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交...


15.已知点,函数,过点作的切线,(1)求切线的方程;(2)把函...

简答题12分 理科数学 导数的几何意义、定积分的简单应用 15.已知点,函数,过点作的切线, (1)求切线的方程; (2)把函数的图象向下平移1个单位得到曲线,求与...


导数在实际中的应用的简单举例

导数在实际中的应用的简单举例_计算机硬件及网络_IT/计算机_专业资料。答:关于...4.研究曲线的切线问题 导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值,从而利用导 数可...


...f(x)的单调性;(II)确定a的所有可能取_答案_百度高考

正确答案及相关解析 正确答案 知识点 导数的几何意义不等式的性质不等式的应用不等式恒成立问题 最新上传套卷 2016年高考模拟 理数 2015年高考真题 理数(江苏卷...


高三数学导数的几何意义

导数是微积分的 核心概念之一,有极其丰富的实际背景和广泛的应用导数的几何意义是学生在学习了瞬时 变化率就是导数之后的内容,通过这部分内容的学习,可以帮助学生...


3.1.3 导数的几何意义 学案(人教A版选修1-1) (1)

3.1.3 导数的几何意义 学案(人教A版选修1-1) (1)_数学_高中教育_教育专区...解题时要注意解析几何知识的应用,如直线 的倾斜角与斜率的关系,平行,垂直等. ...


...专题12 导数的几何意义 Word版含解析

备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题12 导数的几何意义 Word版含...考查综合运用数学思想方法分 析与解决问题的能力. 【名师点晴】导数及其应用...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com