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导数的几何意义及其应用


复习引入
1、平均变化率
一般地,函数 f ( x) 在区间上 [ x1 , x2 ] 的平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
②割线的斜率
y f(x2)

y=f(x)

B f(x2)-f(x1)=△y

>?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? ?x x2 ? x1

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

2.导数的概念

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
3.求函数 y ? f ( x) 在 x ? x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量:?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? (2)求平均变化率: ?x ?x
' f (3)取极限得导数: ( x0 ) ? lim

?y ?x ?0 ?x

提出问题
我们知道, 导数 f
'

? x0 ? 表示函数 f ? x ?

在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'

数 f ? x ? 在 x ? x0 附近的变化情况. 那

? x0 ?的几何意义是什么呢 ?

y

y ? f ( x)

相交

o

P

x
再来一次

曲线在点P处切线的定义

y

y=f(x)

Pn

割 线
T 切线

P

o

当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.

小组交流

割线的斜率与切线的斜率有什么呢?
y=f(x)
k PQ ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = ?x ?x

y Q(x1,y1)
△y

P(x0,y0)
△x

即:当△x→0时,割线 PQ的斜率的极限,就是曲线 在点P处的切线的斜率,
x

M

f x() x ? x ) ? f ?y f ( x0 ? ? ?? f (x ) ?y 0 = ? ? f ??x0 ? k切线 ?所以: f ( xk ) ? lim ? lim lim 0切线 lim ?x ? ? ? xx ? 0 0 ?x?x?0 ?x?0 ?x ?x
'

o

( x0 )

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .
'
0 0

k切线

f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y 0 f ( xlim ? ?x) ? f ( x ) ?y ? f ( ) lim ? k x0 = f ?(? x )? ? ?x?lim ?x ?lim x ?0 0 x ?x? ?x
切线 0 ?x ?0 ?x ?0

故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x ) ? f ( x )(x ? x0 )

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ' ? x0 ) 0 0

展示成果
如图,它表示跳水运动中 示跳水运动中高度随 高度随时间变化的函数 2 时间变化的函 数 h ?t ? f ( x) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 2 ? ? 4 . 9 t ? 6.5 t ? 10的 的图像,根据图像,请描 图象h .根 据图象 (t ) 述、比较曲线 在 , 请描 t0 , t1 , t2 附近的变化情况 述、比较曲线 h?t ?在t0 ,
t1 , t 2附近的变化情况 . 例1 如图3.1 ? 3, 它表
h

l0

l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图3.1 ? 3

利用曲线在动点的切线,刻画曲线在动点附近的变化情况
解 我们用曲线h?t ?在t0 , t1 , t 2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的变化情况.

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线 l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.

h

l0

l1

?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图3.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减. ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降 ,即函数h?t ?在t ? t2附近也
O
t0 t1 t2

t

l2

单调递减 .

从图3.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜

程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t 2附近下降得缓慢.

变式
根据图像,请描述、比 较曲线h?t ?在t 3、t 4附近的变化情况。

函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0,所以在两 点附近曲线上升,即函 数在两点附近单调递增 。

h

o

t 3t 4

t

但是t 3处切线的倾斜程度大于 t 4处切线的倾斜程度, 这说明曲线在 t 3附近比在t 4附近上升的快速

结论:根据导数的几何意义,

当某点处导数大于零时,说明在这 点的附近曲线是上升的,即函数在这点 附近是单调递增;
当某点处导数小于零时,说明在这 点的附近曲线是下降的,即函数在这点 附近是单调递减;

反馈
达标训练
y

1、已知函数y ? f ( x)的图象如图所示 ? 则f ?( x A )与f ?( xB )的大小关系是?B A. f ?( x A ) ? f ?( xB )

A B
x

B. f ?( x A ) ? f ?( xB ) C. f ?( x A ) ? f ?( xB )
D.不能确定

0 xB

xA

2、若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程 为2x+y+1=0,则 f ?( x0 ) ? -2 .

1 3 4 1.已知曲线 y ? 3 x ? 3
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4) 的切线方程; (3)求斜率为1的曲线的切线方程

应用一:求切线方程

应用二:求切点坐标或切线的倾斜角范围
x y ? ? 3 ln x 1.(2016郑州模拟)已知曲线 4
1 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为()
2

A.3

B .2

C .1

1 D. 2

4 y? x ? 为曲线在点P处 e ? 1 上, 2.已知点P在曲线
的切线的倾斜角,求

? 的取值范围

应用三:求参数的值
1.(2015全国卷1)已知函数 f ( x) ? ax ? x ? 1 的图 像在点 (1, f (1)) 处的切线过点(2,7),则a=?
3

2.(2016泉州模拟)函数 y ? e 则m=?

x

的切线方程为y=mx,

总结
1、导数的几何意义:
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .

k切线

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? f ( x ) ? lim ? lim ?x ?x
2、切线的斜率: ' 0 f ( x0 ? ?? x) x ?? f ( x0 ?y0 0) ?x ? k 切线=f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 3、求切线方程的步骤:
(1)求切线斜率k ? f ?( x0 ) (2)切线方程为:y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )

4、导数的几何意义的应用


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