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几何概型经典练习题


几何概型题目选讲
1.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积 小于 32 cm2 的概率为( ) 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5

4-0+12-8 2 解析:设 AC=x,由题意知 x(12-x)<32?0<x<4 或 8<x<12,所求事件的概率 P

= = . 12 3 2.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 12, l : 4x ? 3 y ? 25 在圆上任取一点 P,设点 P 到直线 l 的距离小于 2 的事件为 A 求 P(A) 的值。 解:P(A)=

1 6

?0≤x≤2 ? 3.设不等式组? 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概 ?0≤y≤2 ?

率是
? ?0≤x≤2, 解析:坐标系中到原点距离不大于 2 的点在以原点为圆心,2 为半径的圆内及圆上,? 表示的区域 D ?0≤y≤2 ?

π×4 4- 4 4-π 为边长为 2 的正方形及其内部,所以所求的概率为 = . 4 4 4.在区间[0,9]上随机取一实数 x,则该实数 x 满足不等式 1≤log2x≤2 的概率为__________. 2 解析:由 1≤log2x≤2,得 2≤x≤4,根据区间长度关系,得所求概率为 . 9 5. 在[-6,9]内任取一个实数 m, 设 f(x)=-x2+mx+m, 则函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点的概率等于__________. 解析: 函数 f(x)的图像与 x 轴有公共点应满足 Δ=m2+4m≥0, 解得 m≤-4 或 m≥0, 又 m∈[-6,9], 故-6≤m≤ 2+9 11 -4 或 0≤m≤9,因此所求概率 P= = . 15 15 6.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的 停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间为 2 小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析:(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y,则 0≤x<24,0≤y<24 且 y-x≥4 或 y-x≤-4. 0≤x<24, ? ? 作出区域 ?0≤y<24, ? ?y-x>4或y-x<-4. 1 2× ×20×20 2 25 = . 36 24×24

设“两船无需等待码头空出”为事件 A ,则 P(A) =

(2)当甲船的停泊时间为 4 小时, 乙船的停泊时间为 2 小时,两船不需等待码头空出, 则满足 x-y≥2 或 y-x≥4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区域

0≤x<24, ? ? ?0≤y<24, ? ?y-x>4或x-y>2.

1 1 ×20×20+ ×22×22 2 2 442 221 P(B)= = = . 576 288 24×24
2 2

7.知 k∈[-2,2] ,则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x +y +kx-2y-错误!未找到引用源。k=0 相切的概率等于 【来【解析】.∵圆的方程化为错误!未找到引用源。,∴5k+k +4>0,∴k<-4 或 k>-1.
2

∵过 A(1,1)可以作两条直线与圆错误!未找到引用源。相切,∴A(1,1)在圆外,得错误!未找到引用源。, ∴k<0,故 k∈(-1,0),其区间长度为 1,因为 k∈[-2,2] ,其区间长度为 4,所以 P=错误!未找到引用源。. 5 8.已知 k∈[-2,2],则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x2+y2+kx-2y- k=0 相切的概率等于 4 k 5k k2 x+ ?2+(y-1)2= + +1,∴5k+k2+4>0,∴k<-4 或 k>-1.∵过 A(1,1)可以作两条 解析:∵圆的方程化为? ? 2? 4 4 k k 5k k2 5k k2 x+ ?2+(y-1)2= + +1 相切,∴A(1,1)在圆外,得?1+ ?2+(1-1)2> + +1, 直线与圆? ? 2? ? 2? 4 4 4 4 1 ∴k<0,故 k∈(-1,0),其区间长度为 1,因为 k∈[-2,2],其区间长度为 4,∴P= . 4 9.已知集合 A={x|-3<x<1},B=?x?
? ? ? ? ? ?x+2<0 ? ?.(1)求 A∩B,A∪B; ?x-3 ? ?

(2)在区间(-4,4)上任取一个实数 x, 求“x∈A∩B”的概率;

(3)设(a,b)为有序实数对,其中 a 是从集合 A

中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任取的一个整数,求“b-a∈A∪B”的概率. 解:(1)由已知 B={x|-2<x<3},A∩B={x|-2<x<1},A∪B={x|-3<x<3}. 3 (2)设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,这是一个几何概型,则 P1= . 8 (3)因为 a,b∈Z,且 a∈A,b∈B,所以,基本事件共 12 个:(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,- 1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).设事件 E 为“b-a∈A∪B”,则事件 E 中包含 9 个基本事件,事件 E 的概率 P(E)= 9 3 = . 12 4

10.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的 1 小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球标

号为 b. ①记事件 A 表示“a+b=2”,求事件 A 的概率; ②在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x2 +y2>(a-b)2 恒成立”的概率. n 1 解: (1)由题意可知: = , 解得 n=2. 1+1+n 2 (2)①不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为: (0,1), (0,21),

(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共 12 个,事件 A 包含的基本事件为: (0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共 4 个.∴P(A)= 4 1 = .②记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于 12 3

“ x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},

SB 2×2-π π 而事件 B 所构成的区域 B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},∴P(B)= = =1- . SΩ 2×2 4

11、“已知圆 C:x2+y2=12,设 M 为此圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点 N,连接 MN.”求弦 MN 的 长超过 2 6的概率. 解:如图,在图上过圆心 O 作 OM⊥直径 CD.则 MD=MC=2 6.当 N 点不在半圆弧 CM D 上时,MN>2 6. π×2 3 1 所以 P(A)= = . 2π×2 3 2 12.(1)已知 A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点 A′,则 AA′的长度小于半径的概率为________. (2)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AB=1,BC=2.在 BC 边上任取一点 M,则∠AMB≥90°的概率为________.

解析:(1)如图,满足 AA′的长度小于半径的点 A′位于劣弧 BA C 上,其中△ABO 和△ACO 2π 3 1 2π 为等边三角形,可知∠BOC= ,故所求事件的概率 P= = . 3 2π 3 1 (2)如图,在 Rt△ABC 中,作 AD⊥BC,D 为垂足,由题意可得 BD= ,且点 M 在 BD 2 1 BD 2 1 1 上时,满足∠AMB≥90°,故所求概率 P= = = .答案:(1) BC 2 4 3 1 (2) 4

V 13.在体积为 V 的三棱锥 S—ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 S—APC 的体积大于 的概率是________. 3 解析:如图,三棱锥 S—ABC 的高与三棱锥 S—APC 的高相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM、BN 分别为△APC 与△ABC 的高,所以 VS—APC S△APC PM PM AP = = ,又 = , VS—ABC S△ABC BN BN AB

AP 1 AD 1 BD 2 所以 > 时,满足条件.设 = ,则 P 在 BD 上,所求的概率 P= = . AB 3 AB 3 BA 3 14.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零点的概率为 解析:要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0,∴a-2b<0. 0≤a≤1, ? ? 作出?0≤b≤1, ? ?a-2b<0 1 1 1- × 1× 2 2 3 的可行域,易得该函数无零点的概率 P= = . 1× 1 4

15.设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解:(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能情况是 1,1,4;1,2,3;2,2,2 共 3 种情 1 况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,故构成三角形的概率为 P= . 3 (2) 设其中两条线段长度分别为 x , y ,则第三条线段长度为 6 - x - y ,故全部试验结果所构成的区域为 0<x<6, ? ? ?0<y<6, ? ?0<6-x-y<6, 0<x<6, ? ? 即?0<y<6, ? ?0<x+y<6

所表示的平面区域为△OAB.

若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形, x+y>6-x-y, ? ? 则还要满足?x+6-x-y>y, ? ?y+6-x-y>x, x+y>3, ? ? 即为?y<3, ? ?x<3

所表示的平面区域为△DEF,

S△DEF 1 由几何概型知,所求概率为 P= = . S△AOB 4


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