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人教版数学必修二:空间几何体的表面积与体积


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空间几何体的表面积与体积
【知识网络】 1、球的表面积和体积; 2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积; 3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积; 4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。 【典型例题】例 1: (1)直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱

AA1 和 CC1 上如图,AP=C1Q,则四棱锥 B—APQC 的体积为 ( )

V 2 V C. 4
A.

V 3 V D. 5
B.

答案:B;解析:取 P、Q 分别为 AA1、CC1 的中点,设矩形 AA1C1C 的面积为 S,点 B 到底面 AA1C1C 的距离为 h, VB ? APQC ? 1 ? S ? h ? 1 ( 1 Sh) ? 1 ( 1 AC ? h ? AA1 ) ? 1 ( AA1 ? S?ABC ) ? 1 V 。 则
3 2 3 2 3 2 3 3

(2)半径为 R 的半球,一个正方体的四个顶点在半球的底面上,四个顶点在半球的球 面上,则该正方体的表面积为 ( ) 2 2 2 2 A、2π R B、4R C、2R D、4π R 答案:B。解析: a 2 ? a 2 ? R2 ,? a 2 ? R2 ,? 6a 2 ? 4R2 。 (3)平行六面体的棱长都是 a,从一个顶点出发的三条棱两两都成 60°角,则该 平行六面体的体积为 A. a
3

1 2

2 3

B.

1 3 a 2

C.

2 3 a 2

D.

3 3 a 2

答案:C。解析: V ? a ? a sin 60? ?

2 2 3 a? a 。 3 2

(4)已知直平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各条棱 长均为 3, ?BAD ? 60? ,长为 2 的线段 MN 的一个端点

M 在 DD1 上运动,另一端点 N 在底面 ABCD 上运动,则

MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与共一顶点 D 的三个面
所围成的几何体的体积为为__ 答案: ____。

2 ? 。解析:P 点的轨迹是以 D 为球心、半径为 1 的六分之一球, 9

1 4 2 ∴V ? ? ? ? ? 。 6 3 9

(5)已知球的内接正方体的表面积为 S,那么球的体积为 答案:
2 ? S 。解析: 6a 2 ? S ,? S ? 24
3 3 4 1 S2 2 ?V ? ? ? ? ? ?S2 。 3 8 2 2 24



3 2

S S 1 S ,即 R ? , ,? 2 R ? 3 ? 6 6 2 2

例 2:过半径为 R 的球面上一点 P 引三条长度相等的弦 PA、PB、PC,它们间两两夹角相等。 (1)若∠APB=2α ,求弦长关于α 的函数表达式; (2)求三棱锥 P—ABC 体积的最大值。 答案:解: (1)由题知 P—ABC 为正三棱锥,作其高 PO′, 则 O′为正△ABC 的中心,球心 O 在 PO′上, 设 PO′=h,PA=a
? ?APB ? 2? ,? AB ? 2a sin ? ? BO ? ? PO ?,? BO ? ? 3 2 3 AB ? a sin ? 3 3 2 3 在Rt?PBO ?中,? BO ? 2 ? PO ? 2 ? PB 2 , 即( a sin ? ) 2 ? h 2 ? a 2 ? (1) 3 又 ? 过PO ?与PB的平面截球的截面为球的大圆 延长PO ?交球面于Q, 则PB ? BQ ? PB 2 ? PO ? ? PQ, 即a 2 ? h ? 2 R ? (2) 将(2)代入(1)得 : 2a 2 a4 sin 2 ? ? ? a2 3 4R 2

4 ? a 2 ? 4 R 2 (1 ? sin 2 ? ) 3 2 3 ?a ? R 3 ? 4 sin 2 ? , 即为PA ? PB ? PC的函数表达式. 3

3 3 3 2 1 ( 3b)2 ? b , (2) ?VP ? ABC ? S?ABC ? h ,设 BO? ? b, 则 S?ABC ? 4 4 3

在 Rt ?PBQ 中, BO?2 ? PO? ? O?Q ? h(2R ? h) ,
?VP ? ABC ? 3 3 2 h 3 3 2 3 3 b ? ? h(2R ? h) ? h ? Rh ? h , 4 3 4 2 4

令 f (h) ? ?

3 3 3 2 3 3 2 4 h ? Rh ,? f ?(h) ? 3Rh ? h ,令 f ?(h) =0,∴当 h ? ,V 有最大值, 4 2 4 3

∴当正三棱锥的高 h ? R 时,体积最大 (VP ? ABC )max ?

4 3

8 3 3 R 。 27

例 3:一个棱长为 6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为 1cm 的小球,无论怎样摇动盒 子,求小球在盒子不能到达的空间的体积。 答 案:在 正方 体的 8 个顶 点处的 单位 立方体 空间 内,小 球不 能到达 的空 间为 :

1 4? 4 除此之外, 在以正方体的棱为一条棱的 12 个1?1? 4 的正 8[13 ? ( ?13 )] ? 8 ? ? , 8 3 3 1 四棱柱空间内,小球不能到达的空间共为 [1?1? 4 ? (? ?12 ) ? 4] ? 48 ? 12? 。其他空 4
间 小 球 均 能 到 达 。 故 小 球 不 能 到 达 的 空 间 体 积 为 :

4 40 (8 ? ? ) ? 48 ? 12? ? 56 ? ? (cm3 ) 。 3 3

例 4:如图在三棱柱 ABC- A' B' C' 中,已知底面 ABC 是底角等于 30 ? ,底边 AC= 4 3 的等腰三角形,且 B' C ? AC , B' C ? 2 2 ,面 B' AC 与面 ABC 成 45 ? , A' B 与 AB' 交于 点 E。 (1)求证: AC ? BA' ; (2)求异面直线 AC 与 BA' 的距离; (3)求三棱锥 B'? BEC 的体积。 答案:①证:取 AC 中点 D,连 ED,

1 ? E是AB'的中点, ED // B' C ? 2 ? B' C ? AC,? DE ? AC ? 2
又? ?ABC 是底角等于 30 ? 的等腰 ? ,? BD ? AC, BD ? DE ? D

? AC ? 面BDE,? AC ? BE,即AC ? BA'
②解:由①知 ?EDB是二面角B'? AC ? B的一个平面角,

? ?EDB=45 ? ,ED ? 2 , BD ? AD tan 30 ? ? 2 3 ?

3 ?2 3 2 ?2 2

?DBE中:EB 2 ? ED 2 ? BD 2 ? 2 ED ? BD cos 45 ? ? 2 ? 4 ? 2 2 ? ? ?

? EB ? 2 ,? ?BDE是等腰Rt?, ED ? BE, ED 是异面直线 AC 与 BA' 的距离,为 2
③连 A' D, ED ? EA' ? ED ?

2 ,? A' D ? BD, 又AC ? 面BED,

A' D ? 面BED,? A' D ? AC,? A' D ? 面ABC且A' D ? 2
VB '? ABC ? VB '? BEC 1 1 1 8 S ?ABC ? A' D ? ? ( BD ? AC ) ? A' D ? 3 3 3 2 3 1 1 4 ? VC ? BEB ' ? VC ? ABB '' ? VB '? ABC ' ? 3 2 2 3
( )

【课内练习】 1.球与它的内接正方体的表面积之比是 A.

? 3

B.

? 4

C.

? 2

D. ?

答案:C。解析: R ?

3 ? a,? 4? R 2 : 6a 2 ? 。 2 2

2.如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果 VP ? ABCD ? 则球 O 的表面积是

16 , 3




A、 4?

B、 8?
1 3

C、 12?

D、 16?
16 ,? R ? 2,? S ? 4? R 2 ? 8? 。 3

答案:D。解析: V ? ? 2R ? 2R ? R ?

3.一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D、E、F,且知 SD: DA=SE: EB=CF: FS=2: 若仍用这个容器盛水, 1, 则最多可盛原来水的 ( ) A、

23 29

B、

19 27

C、

30 31

D、

23 27

答案: :D。解析:当平面 EFD 处于水平位置时,容器盛水最多

1 1 S ?h ? SD ? SE ? sin ?DSE ? h1 VF ? SDE 3 ?SDE 1 3 SD SE h1 2 2 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 SA SB h2 3 3 3 27 VC ? SAB S ?SAB ? h2 ? SA ? SB ? sin ?ASB ? h2 3 3 4 23 最多可盛原来水得 1- ? 27 27
4.两球的体积之比为 8:27,那么这两个球的表面积的比为

答案: 4:9 。解析: V1 : V2 ? 8 : 27, R1 : R2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9 。
5.有一棱长为 a 的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地大(仍保持为 球的形状) ,则气球表面积的最大值为__________. 答案为: 2? a 2 。解析: R ?
2 a,? S ? 4? R 2 ? 2? a 2 。 2

6. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S 球 _____ S正方体 (填”大于、小 于或等于”). 答案:小于。解析:V 球=V 正,∴ R ? 3 S 正= 6a 2 ? 3 216V 2 ,∴S 球<S 正。 7.已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的 母线长. 答案: 解:设圆台的母线长为 l ,则圆台的上底面面积为 S上 ? ? ? 2 ? 4?
2

3V , a ? 3 V ,∴S 球= 4? R 2 ? 3 36? V 2 , 4?

圆台的上底面

面积为 S下 ? ? ? 5 ? 25?
2

所以圆台的底面面积为 S ? S上 ? S下 ? 29? 又圆台的侧面积

S侧 ? ? (2 ? 5)l ? 7? l ,于是 7? l ? 25? ,即 l ?

29 为所求. 7

8.如图,甲、乙是边长为 4a 的两块正方形钢板,现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱, 将乙裁剪焊接成一个正四棱锥, 使它们的全面积都等于一个正方形的面积 (不计焊接缝的面 积) 。

(1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明; (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小,并证明你的结论。 答案: (1)将正方形甲按图中虚线剪开,以两个正方形为底面,四个长方形为侧面,焊 接成一个底面边长为 2a,高为 a 的正四棱柱。

将正方形乙按图中虚线剪开,以两个长方形焊接成边长为 2a 的正方形为底面,三个等 腰三角形为侧面,两个直角三角形合拼成为一侧面,焊接成一个底面边长为 2a,斜高为 3a 的正四棱锥。 (2)∵正四棱柱的底面边长为 2a,高为 a,∴其体积 V锥 ? (2a ) ? a ? 4a 。
2 3

又∵正四棱锥的底面边长为 2a,高为 h ? ∴其体积 V锥 ?

(3a ) 2 ? a 2 ? 2 2a ,

1 8 2 3 8 2 2 128 16 ( 2a ) 2 ? 2 2 a ? a 。∵ 4 2 ? ( ) ? 16 ? ? ? 0, 3 3 3 9 9

即4 ?

8 2 8 2 3 ,4a 3 ? a ,∴ V柱 ? V锥 3 3

故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。 (说明:裁剪方式不惟一,计算的体积也不一定相等) 9.如图,直三棱柱的底面为 Rt△ABC,∠ACB=90°,AB=4,∠ABC=15°,将两侧 面 C1CAA1 与 C1CBB1 铺平在一个平面内,得矩形 A′B′B1′A1′. 此时 A′C1⊥B′C1,求棱柱的侧面积. 答案:解:在 Rt△ABC 中,AC=4sin15°,BC=4cos15°
翻折后, 在?A?C1 B ?中, A?C1 ? B ?C1 , C1C ? A?B ? ? C1C 2 ? A?C ? CB ? ? 16 sin15 ? ? cos15 ? ? 4, C1C ? 2 ? AB ? 2 ? S 侧 ? S ABB 1 A1 ? S ACC1 A1 ? S CBB1C1 ? (4 ? 4 sin15 ? ? 4 cos15 ? ) ? C1C ? 8 ? 4 6

10.如下图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 2

的中点,过点 A1、B、M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N.
D1 A1 D A E B N B 1 C1 M C

(1)求证:EM∥平面 A1B1C1D1;

(2)求二面角 B—A1N—B1 的正切值; (3) 设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 V1、 2 1<V2) 求 V1∶ V(V , V2 的值. 答案: (1)证明:设 A1B1 的中点为 F,连结 EF、FC1. ∵E 为 A1B 的中点,∴EF

1 B1B. 2
P D1 H A1 D E A B F M B 1 C N C1

1 又 C1M B1B,∴EF MC1.∴四边形 EMC1F 为平行四边形. 2 ∴EM∥FC1.∵EM ? 平面 A1B1C1D1,FC1 ? 平面 A1B1C1D1,
∴EM∥平面 A1B1C1D1. (2)解:作 B1H⊥A1N 于 H,连结 BH.∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,∴BH⊥A1N. ∴∠BHB1 为二面角 B—A1N—B1 的平面角. ∵EM∥平面 A1B1C1D1,EM ? 平面 A1BMN,平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N, ∴EM∥A1N.又∵EM∥FC1,∴A1N∥FC1. 又∵A1F∥NC1,∴四边形 A1FC1N 是平行四边形.∴NC1=A1F. 设 AA1=a,则 A1B1=2a,D1N=a.在 Rt△A1D1N 中, A1N= A1 D1 ? D1 N 2 = 5 a,∴sin∠A1ND1=
2

A1 D1 2 = . A1 N 5
=

在 Rt△A1B1H 中,B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a·

2 5

4 5

a.

在 Rt△BB1H 中,tan∠BHB1=

BB1 a 5 = = . 4 B1 H 4 a 5

(3)解:延长 A1N 与 B1C1 交于 P,则 P∈平面 A1BMN,且 P∈平面 BB1C1C. 又∵平面 A1BMN∩平面 BB1C1C=BM, ∴P∈BM,即直线 A1N、B1C1、BM 交于一点 P. 又∵平面 MNC1∥平面 BA1B1, ∴几何体 MNC1—BA1B1 为棱台. ∵S ?A1BB1 =

1 1 1 1 2 ·2a·a=a2,S ?MNC1 = ·a· a= a, 2 2 2 4

棱台 MNC1—BA1B1 的高为 B1C1=2a, V1=

1 1 1 7 3 7 17 3 V1 7 ·2a· 2+ a 2 ? a 2 + a2)= (a a ,∴V2=2a·2a·a- a3= a .∴ = . 4 V 2 17 3 4 6 6 6

【作业本】 A组 1.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( ) A、

2 3

B、

7 6
1 1 1 1 3 2 2 2

C、

4 5

D、

5 6

答案:A。解析: V ? 1 ? 8 ? ? ? ? ?

2 。 3

2.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 1、 2 、 3 ,则此三棱锥的外接球面积 为 ( ) A、6π B、12π C、18π D、24π 答案:A。解析: 2R ? 6,? R ?
6 ,? S ? 4? R 2 ? 6? 。 2

3.一个水平放置的圆柱形贮油桶,桶内有油部分占底面一头的圆周长的 立时,油的高度与桶的高之比是 A、

1 ,则油桶直 4
( )

1 4

B、

1 1 ? 4 2?

C、

1 8

D、

1 1 ( ? 8 2?



1 1 h 1 1 答案:B。解析: V ? ( ? R2 ? R2 ) ? l ? ? R 2 ? h,? ? ? 。 4 2 l 4 2?

4.三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 P-ABC 内接于球 O,求球 O 的表面积与体 积 。 答案: 表面积 3? , 体积

3 3 4 3 解析: R ? 3,? R ? ?。 2 ,? S ? 4? R 2 ? 3? ,V ? ? R3 ? ? 2 3 2 2


5.球的半径为 8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成 45°角,则 这个平面截球的截面面积为

答案: 32? 。解析: R ? 4 2, 所以截面面积 S ? ? R2 ? 32? 。 6.已知正四面体 ABCD 的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四 面体 EFGH 的表面积为T,则 答案:

T 等于 S



1 1 。解析:四面体 EFGH 的任何一个面是对应面的面积的 。 9 9

7.经过正三棱柱底面一边 AB 作与底面成 30°角的平面,已知截面三角形 ABD 的面 积为 32cm2,求截面截得的三棱锥 D—ABC 的体积. 答案: 底面=S△ABD· S cos30°, 设底面边长为 x, 则有 3 x 2 ? 32 ? 3 , x ? 8 .取 AB 中点 E,
4 2

在 Rt△DEC 中,∠DEC=30°,

3 3 1 64 ?8? ? 4.所以VD ? ABC ? S 底 ? CD ? 3 (cm3 ) 2 3 3 3 8. 如图,四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,其中 P AB=3,PA=4,若在线段 PD 上存在点 E 使得 BE⊥CE,求线段
故 DC ? CE ? tan 30? ? AD 的取值范围,并求当线段 PD 上有且只有一个点 E 使得 BE ⊥CE 时,二面角 E—BC—A 正切值的大小. A 答案:若以 BC 为直径的球面与线段 PD 有交点 E,由于点 D E 与 BC 确定的平面与球的截面是一个大圆,则必有 BE⊥CE, 因此问题转化为以 BC 为直径的球与线段 PD 有交点。 B C 设 BC 的中点为 O (即球心) 再取 AD 的中点 M, , 易知 OM ⊥平面 PAD,作 ME⊥PD 交 PD 于点 E,连结 OE,则 OE⊥PD,所以 OE 即为点 O 到直线 PD 的距离,又因为 OD>OC,OP>OA>OB,点 P,D 在球 O 外,所以要使以 BC 为直径 的球与线段 PD 有交点,只要使 OE≤OC(设 OC=OB=R)即可。 由于△DEM∽△DAP,可求得 ME=
4R 16 ? 4 R 2

, 所以 OE2=9+

4R2 令 OE2≤R2, 4 ? R2

即 9+ +∞ ) ,

4R2 ≤R2 , 解之得 R≥2 3 ; 所以 AD=2R≥4 3 , 所以 AD 的取值范围[ 4 3 , 4 ? R2

当且仅当 AD= 4 3 时,点 E 在线段 PD 上惟一存在,此时易求得二面角 E—BC—A 的 平面角正切值为

1 。 2

B组 1.三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB:A1B1=1:2 则三棱锥 A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1 的体积之比为 A、1:1:1 B、1:1:2 C、1:2:4 D、1:4:4 ( )

答案:B。解析:由棱台、棱锥公式可求得。 2.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体 积是 ( )

416 3π 208π 3 500π 3 C、 D、 cm 3 cm cm 3 3 3 4 500? 答案:C。解析:R=5,所以 V ? ? R3 ? cm3 。 3 3 3. 如图, 棱长为 5 的正方体无论从哪一个面看, 都有两个直通的 边长为 1 的正方形孔, 则这个有孔正方体的表面积(含孔内各 面)是 。

A、

100π cm 3 3

B、

A、258

B、234

C、222

D、210

答案:B。解析:注意重叠交叉的部分。 4.已知正三棱柱 ABC ? A?B?C?D? 底面边长是 10,高是 12,过底面一边 AB,作与底面 ABC 成 600 角的截面面积是___________________。 答案: 48 3 。解析:注意截面是一个等腰梯形。 1 5.若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积是底面积的 ,则锥体被截面截得 4 的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____ 答案:1∶8。解析:截面为锥体的中截面。 6.斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长等于 b,一条侧棱 AA1 与底面相邻两边 AB、AC 都成 450 角,求这个三棱柱的侧面积。 解析:过点 B 作 BM⊥AA1 于 M,连结 CM,在△ABM 和△ACM 中,∵AB=AC, ∠MAB=∠MAC=450,MA 为公用边,∴△ABM≌△ACM,∴∠AMC=∠AMB=900,∴ AA1⊥面 BHC,即平面 BMC 为直截面,又 BM=CM=ABsin450= 2x

2 a,∴BMC 周长为 2

2 a+a=(1+ 2 )a,且棱长为 b,∴S 侧=(1+ 2 )ab 2 7. 在平行四边形 ABCD 中,AD=a,AB=2a,∠ADC=60°,M、N 分别是 AB、CD 的中点, MN 为折痕把平行四边形折成三棱柱 AMB—DNC 的两个侧面, 以 求三棱柱体积的 最大值.

答案:解:在平行四边形 ABCD 中,连结 AC,由已知,AD=a,CD=2a,∠ADC=60° ∴AD⊥AC,MN⊥AC,设 AC∩MN=E,故折成三棱柱 AMB—DNC 后,∠AEC 是二面角 A —MN—C 的平面角,△AEC 是这个三棱柱的直截面.由题可得,
3 3 a, CE ? a, 设?AEC ? ? , 2 2 3 ? V三棱柱 ? S ?AEC ? AD ? a 3 sin? 8 AE ? 3 ? 当? ? 90 ? ,即折成直二面角时, (V三棱柱 ) max ? a 3 8

8.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点 A 1 在底面 ABC 上的射

影为 BC 边的中点 M。 (1)求证:BC 垂直于 A 1 ,A,M 三点确定的平面; (2)如果三棱锥 C ? A1 B1C1 的体积为 面角的大小。

3 3 a ,求棱锥侧面 ABB1 A1 与底面 ABC 所成锐二 12

答案: (1)连结 A1M AM。∵M 是 A1 在平面 ABC 上的射影, ∴ A1 M ? 平面 ABC,∵BC 在平面 ABC 上, ∴ A1 M ? BC 。由 AB=AC,M 是 BC 中点,有 AM ? BC 。∴BC⊥平面 A1 AM 。 (2)过 M 在平面 ABC 内作 MN ? AB 于 N,连结 A1 N ,则 A1 N ? AB 。 ∴ ?A1 NM 是侧面 ABB1 A1 与底面 ABC 所成的锐二面角的平面角。 由于三棱锥 C ? A1 B1C1 的高等于 A1 M 的长, 又三棱锥 C ? A1 B1C1 的体积为

3 3 1 a ,三角形 A1 B1C1 的面积为 a 2 , 12 2



1 1 2 3 3 3 ? a ? A1 M ? a ,∴ A1 M ? a。 3 2 12 2

∵ ?ABC 为等腰直角三角形,M 为斜边中点, MN ? AB , ∴ MN ?

1 a ,∴在 Rt?A1 MN 中, tan ?A1 NM ? 3 , 2

∴ ?A1 MN ? 60? 即侧面 ABB1 A1 与底面 ABC 所成的锐二面角为 60°。 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn


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高中数学(必修二)专题复习二---空间几何体的表面积与体积

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