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广西桂林十八中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷(理科)


广西桂林十八中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)函数 的定义域是()

A. B. (﹣∞,1]∪ (1)证明:CM∥平面 DFB (2)求异面直线 AM 与 DE 所成的角的余弦值.

20. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调递增

区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 成等差数列,且 =9,求 a 的值.



21. (12 分)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1, (1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求使得 值.



对任意 n∈N 都成立的正整数 m 的最小

*

22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) 2 2 +(y﹣5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标.

2

2

广西桂林十八中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)函数 的定义域是()

A. B. (﹣∞,1]∪ 专题: 计算题. 分析: 根据平方根的定义可知负数没有平方根,得到被开方数大于等于 0,列出关于 x 的 不等式,再根据两数相乘,同号得正的取符号法则转化为两个不等式组,求出两不等式组解 集的并集,即为函数的定义域. 解答: 解:∵函数
2

有意义,

∴x ﹣3x+2≥0,即(x﹣1) (x﹣2)≥0, 可化为: 或 ,

解得:x≥2 或 x≤1, 则函数的定义域为(﹣∞,1]∪ 专题: 计算题. 分析: 比较大小一般利用作差的方法,进而得到 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x+2,然后再利用 二次函数的性质解决问题即可. 2 2 解答: 解:由题意可得:f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1 2 2 所以 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≥1, 所以 f(x)>g(x) . 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握比较大小的方法与二次函数的性质, 并且结合正确 的运算.
2 2

8. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.10 B.﹣10 C.14

,则 a+b 的值是() D.﹣14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 不等式 ax +bx+2>0 的解集是 , 把解代入方程求出 a、b 即可.
2

,说明方程 ax +bx+2=0 的解为

2

解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是 即方程 ax +bx+2=0 的解为
2

2



a=﹣12b=﹣2∴

点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系, 一元二次不等式的解法, 是基础 题.

9. (5 分)己知 A.3



是夹角为 60°的两个单位向量,则 =2 B. C.

+

模是() D.7

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积的定义和性质即可得出. 解答: 解:∵ ∴ = , = = = . .

故选:C. 点评: 本题考查了数量积的定义和性质,属于基础题.

10. (5 分)若 tanθ+ A. B.

=4,则 sin2θ=() C. D.

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以 1,将 1 用同角三角函数关系代换,利用 齐次式的方法化简,可求出所求. 解答: 解:sin2θ=2sinθcosθ= = = = =

故选 D. 点评: 本题主要考查了二倍角公式,以及齐次式的应用,同时考查了计算能力,属于基础 题. 11. (5 分)数列 1, (1+2) , (1+2+2 ) ,…, (1+2+2 +…+2 n n n+1 A.2 ﹣1 B.n?2 ﹣n C.2 ﹣n
2 2 n﹣1

)…的前 n 项和为() n+1 D.2 ﹣2﹣n

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由 1+2+2 +…+2
2 n﹣1

=

=2 ﹣1 可知,数列的前 n 项和为: (2 ﹣1)+

n

1

(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+…+(2 ﹣1)=2 +2 +2 +…+2 ﹣n=

2

3

n

1

2

3

n

=2

n+1

﹣2﹣n

解答: 解:∵1+2+2 +…+2

2

n﹣1

=
2

=2 ﹣1
2 n﹣1

n

∴数列的前 n 项和为:1+(1+2)+(1+2+2 )+…+(1+2+2 +…+2 1 2 3 n =(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+…+(2 ﹣1) 1 2 3 n =2 +2 +2 +…+2 ﹣n = =2
n+1



﹣2﹣n

故选 D 点评: 本题为数列的求和问题,求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键, 属中档题.

12. (5 分)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0, 则在 中最大的是() A. B. C. D.



,…,

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 a8>0, a9<0. 由此可知 >0, >0, …, >0, <0, <0, ,

<0,所以在



,…,

中最大的是



解答: 解:由于 S15=

=15a8>0,

S16=

=8(a8+a9)<0,

所以可得 a8>0,a9<0.

这样

>0,

>0,…,

>0,

<0,

<0,…,

<0,

而 S1<S2<<S8,a1>a2>>a8, 所以在 , ,…, 中最大的是 .

故选 B 点评: 本题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)直线 2x﹣y+1=0 与直线 ax+y+2=0 垂直,则 a 等于 .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出. 解:∵直线 2x﹣y+1=0 与直线 ax+y+2=0 垂直,

∴斜率满足 2×(﹣a)=﹣1,解得 a= . 故答案为: . 点评: 本题考查了两条直线互相垂直的充要条件,属于基础题. 14. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则 f(x)的解析式为 .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数图象得到 ,解方程组得到 A,b 的值,再由图象得到周期,代

入周期公式求得 ω,再由 f(0)=1 求得 φ 的值. 解答: 解:由图可知, T=4,即 ,则 ω= . ,解得 A= ,b=1.

∴ 由 得 sinφ=0,φ=0. ∴ 故答案为: .

. ,



点评: 本题考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数解析式,考查了三角函数的周期 公式,是基础题. 15. (5 分)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)﹣ f(4)=﹣1. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 利用函数奇偶性以及周期性, 将 3 或 4 的函数值问题转化为 1 或 2 的函数值问题求 解即可. 解答: 解:∵若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x+5)=f(x) , ∴f(3)=f(﹣2)=﹣f(2)=﹣2, f(4)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1, ∴f(3)﹣f(4)=﹣2﹣(﹣1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查函数奇偶性的应用,奇(偶)函数的定义:一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=﹣f(x) ) (或 f(﹣x)=f(x) ) ,那么函数 f(x)是 奇(偶)函数.
n﹣1

16. (5 分)若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=(﹣2)



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把 n=1 代入已知式子可得数列的首项,由 n≥2 时,an=Sn﹣S n﹣1,可得数列为等比 数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案. 解答: 解:当 n=1 时,a1=S1= 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=( ,解得 a1=1 )﹣( )= ,

整理可得

,即

=﹣2,

故数列{an}从第二项开始是以﹣2 为首项,﹣2 为公比的等比数列,

故当 n≥2 时,an=(﹣2) =(﹣2) 经验证当 n=1 时,上式也适合,
n﹣1

n﹣1

n﹣1

故答案为: (﹣2) 点评: 本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的判定,属基础题. 三、解答题(17 小题 10 分,其余各 12 分,共 70 分) 17. (10 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 分析: (1)设出首项和公差,根据 a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程 组,解方程组得到首项和公差,写出通项. (2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前 n 项和,整理成关于 n 的一元二次函数, 二次项为负数求出最值. 解答: 解: (1)由 an=a1+(n﹣1)d 及 a3=5,a10=﹣9 得 a1+9d=﹣9,a1+2d=5 解得 d=﹣2,a1=9, 数列{an}的通项公式为 an=11﹣2n (2)由(1)知 Sn=na1+
2

d=10n﹣n .

2

因为 Sn=﹣(n﹣5) +25. 所以 n =5 时,Sn 取得最大值. 点评: 数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数, 当自变量从小到大依次 取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性. 18. (12 分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句 话.活动组织者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在 分组 频数 频率

30+ (3)由 ,解得 n=40.

=30+

≈33;

点评: 本小题主要考查频率分布直方图、中位数、分层抽样方法等基础知识.在解决频率 分布直方图的问题时,要注意直方图中的纵坐标,直方图中求频率等于纵坐标乘以组距. 19. (12 分)如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, ,M 是线段 EF 的中点. (1)证明:CM∥平面 DFB (2)求异面直线 AM 与 DE 所成的角的余弦值.

考点: 直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)设正方形的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,由条件证明 MF 和 CO 平行且相 等, 四边形 COFM 为平行四边形, 故 CM∥OF, 再由直线和平面平行的判定定理证得 CM∥ 平面 DFB. (2)建立空间直角坐标系,求得点 C、点 A、点 E、 ,点 D、点 M 的坐标,可得 坐标, 以及| |、 | |和 的值. 再利用两个向量的夹角公式求得 、 和 的

的夹角 θ 的

余弦值,再取绝对值,即得所求. 解答: 解: (1)设正方形的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,∵M 为的中点,ACEF 为矩形, 故 MF 和 CO 平行且相等, 故四边形 COFM 为平行四边形,故 CM∥OF, 而 OF?平面 DFB,CM 不在平面 DFB 内,∴CM∥平面 DFB. (2)以点 C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CE 为 z 轴,建立空间直角 坐标系,则点 C (0,0) ,点 A( , ,0) ,点 E(0,0,1) , 点 D( ∴ ,0,0) ,点 M( ,﹣ ,1) , , ,1) , ,0,1) ,| |= ,| |= , =1+0+1=2.

=(﹣

=(﹣





的夹角为 θ,cosθ=

=

=

,故异面直线 AM 与 DE 所成的角

的余弦值为



点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求异面直线所成的角的余弦值, 两个向量的夹角公式的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.

20. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;



(Ⅱ)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 成等差数列,且 =9,求 a 的值.

考点: 正弦函数的单调性;数列与三角函数的综合;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (I)利用两角和差的三角公式化简 f(x)的解析式,得到 sin(2x+ ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+ ,解出 x 的范围,即得 f(x)的单调递增区间. ,求得 A 的值;根据 b,a,c 成等差数列以及 =9, ) ,由 2kπ

(II)在△ ABC 中,由 利用余弦定理求得 a 值. 解答: 解: (I)f(x)= 令 2kπ﹣ ≤(2x+ )≤2kπ+

= ,可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+

sin2x+ cos2x=sin(2x+ ,k∈z.

) .

即 f(x)的单调递增区间为,k∈z. (II)在△ ABC 中,由 ∴2A+ = 或 ,∴A= ,可得 sin(2A+ (或 A=0 舍去) . =9,∴bccosA=9,即 bc=18.
2 2

)= ,∵

<2A+

<2π+



∵b,a,c 成等差数列可得 2a=b+c,∵
2 2 2

由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA=(b+c) ﹣3bc=4a ﹣54, 2 求得 a =18,∴a=3 . 点评: 本题考查等差数列的性质,正弦函数的单调性,两角和差的三角公式、余弦定理的 应用,化简函数的解析式是解题的突破口,属于中档题. 21. (12 分)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1, (1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn,并求使得 值. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 an+1=2an+1,知 an+1+1=2(an+1) ,由 此能证明数列{an+1}是等比数列, 并求出数列{an}的通项公式. 对任意 n∈N 都成立的正整数 m 的最小
*



(Ⅱ)由 由此能求出使得
*

,用裂项求和法求出 Tn= 对任意 n∈N 都成立的正整数 m 的最小值.



解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵an+1=2an+1 ∴an+1+1=2(an+1) , ∵a1=1,a1+1=2≠0…(2 分) ∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴ ∴ (Ⅱ)∵ ∴ = .…(8 分) , .…(4 分) ,…(6 分)

∵ 又 Tn>0, * ∴Tn<Tn+1,n∈N ,即数列{Tn}是递增数列. ∴当 n=1 时,Tn 取得最小值 要使得
*



.…(10 分)

对任意 n∈N 都成立,

结合(Ⅰ)的结果,只需



由此得 m>4. ∴正整数 m 的最小值是 5.…(12 分) 点评: 本题考查数列是 等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的 正整数的最小值的求法.解题时要认真审题,注意构造法和裂项求和法的合理运用. 22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) 2 2 +(y﹣5) =4. (1)若直线 l 过点 A (4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;转化思想;直线与圆. 分析: (1)直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,求出弦心距,即圆心到直 线的距离,得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,可求直线 l 的方程. (2)与(1)相同,设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,得到一个关于直线斜率 k 的方程, 解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 解答: 解: (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4) (1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(2 分)

d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a) ,k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a) (6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ , 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件(12 分)



点评: 在解决与圆相关的弦长问题时, 一般有三种方法: 一是直接求出直线与圆的交点坐 标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得 出,即设直线的斜率为 k,直线与圆联立消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程再利用弦 长公式求解,三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长 问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.


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